Операции над отношениями

Ключевые слова: область отпределения отношения, область значения отношения, обратное отношение, композиция отношений.

Задача 2.1. Для данного отношения

найдите .

Решение. По определению инверсии, .

По определению композиции, , так как существует элемент такой, что и . Рассуждая аналогично, получим, что . Таким же образом можно получить . Используя определение проекций, найдем , , тогда .

Задача 2.2. Пусть

. Найдите для этого отношения .

Решение. Очевидно, что . По определению

.

Композиция отношений и определяет отношение

которое в данном случае примет вид

,

где .

Далее таким же образом получим

.

.

Задача 2.3. Докажите, что .

Решение. Пусть

,

что и требовалось доказать.

Задача 2.4. Для отношений и из уравнения найдите наименьшее отношение , если , и .

Решение. Искомое отношение должно быть наименьшим, т.е. иметь минимальную мощность. Найдем , Из определения композиции отношений и минимальности следует, что . Найдем композицию отношения с левой и правой частями равенства . Получим

или

,

откуда

.

Из равенств и определения композиции отношений следует, что Следовательно, верно равенство

.

Итак, отношение кроме пар отношения может содержать также пары отношения , не попавшие в . Выпишем все пары попавшие в

.

Выберем из этого отношения пары, образующие . Для этого построим таблицу, в столбцах которой выпишем пары, образующие отношение , а в строках – пары отношения . Для каждой пары звездочкой отметим пары из , попавшие в композицию . В результате получим следующую таблицу.

	
		
			
				
					
						

Выберем наименьшее число столбцов таблицы так, чтобы для любой строки в выбранном наборе нашелся столбец, имеющий символ  в данной строке, причем отношение не должно иметь пар, не входящих в . Видно, что такой набор образуют столбцы , , , поэтому .

Задачи для самостоятельного решения

1. Для каждого из следующих отношений, заданных на множестве натуральных чисел перечислите упорядоченные пары, принадлежащие отношениям:

а) ,

б) ,

в) .

2. Пусть - отношение на множестве , определенное условием: тогда и только тогда, когда - нечетное число. Представьте каждым из способов:

а) как множество упорядоченных пар,

б) в виде матрицы,

в) соответствующим графом.

3. Определите область определения и множество значений отношений

а) ,

б) ,

в) .

4. Найдите , если

а) ,

б) .

5. Пусть заданы следующие бинарные отношения и . Найдите отношения .

6. Пусть , а - отношения на множестве , определенные следующим образом:

,

,

,

.

Найдите , .

7. Пусть бинарные отношения определены следующим образом , . Опишите отношения

а) , б) , в) , г) .

8. Для отношений и из уравнения найдите наименьшее отношение , если и