ФГ БОУВПО

«Воронежский государственный технический университет»

Кафедра автоматизированных и вычислительных систем

***-2011

Методические указания

по выполнению лабораторных работ по дисциплине "Дискретная математика"

для студентов специальности 230101

«Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»

очной формы обучения

Часть 1

Воронеж 2011

Составители: д-р техн. наук Т.М. Леденева,

канд. техн. наук Т.Н. Недикова,

канд. физ.-мат. наук С.Ю. Балашева

УДК 681.3.06

Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине "Дискретная математика" для студентов специальности 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» очной формы обучения. Ч. 1 / ФГ БОУВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. Т.М. Леденева, Т.Н. Недикова, С.Ю. Балашева. Воронеж, 2011. 42 с.

В методических указаниях приводятся ключевые слова, примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения по темам «Множества. Отношения. Комбинаторика».

Предназначены для студентов специальности 230101 по дисциплине "Дискретная математика".

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word XP и содержатся в файле ДМ_очн_1.doc.

Ил. 2. Библиогр.: 6 назв.

Рецензент д-р техн. наук, доц. Т.В.Азарнова

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. С.Л. Подвальный

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

 ФГ БОУВПО "Воронежский государственный технический университет", 2011

Содержание

Введение……………………………………………………...	2
Операции над множествами и их свойства………………...	2
Операции над отношениями………………………………...	12
Основные типы отношений…………………………………	18
Элементы комбинаторики………………………………….	28
Библиографический список…………………………………	41

Введение

Выполнение данных лабораторных работ позволяет лучше усвоить теорию, базовые понятия дисциплины, прочувствовать связи между ними и получить практические навыки работы с объектами, являющимися предметом изучения дискретной математики, а также отработать приемы решения основных типов задач по следующим разделам: множества, отношения, комбинаторика.

Операции над множествами и их свойства

Ключевые слова: множество, подмножество, булеан; отношения включения и равенства множеств; операции над множествами и их свойства; покрытие и разбиение.

Задача 1.1. Докажите, что

.

Решение. Чтобы доказать равенство двух множеств и , нужно показать истинность включений и . Докажем, что . Для этого выберем произвольный элемент из множества и покажем, что он принадлежит множеству . Итак, пусть , тогда и . Если , то , и . Если , то , а значит, . Таким образом, . Теперь докажем другое включение . Пусть . Если , то и . Отсюда следует, что и , т.е. . Если , то и . Отсюда следует, что и , т.е. . Итак, . Таким образом, получили, что и , а это значит, что эти два множества равны.

Решение подобных задач можно оформлять в более формализованном виде, используя скобки { для системы высказываний, объединенных союзом «и», [ - для системы высказываний, объединенных союзом «или».

Задача 1.2. Докажите следующее утверждение: если , то .

Решение. Чтобы доказать , выберем произвольный элемент и покажем, что . Итак,

Таким образом, , что и требовалось доказать.

Задача 1.3. Докажите, что .

Решение. Используя свойства операций над множествами, покажем, что правую часть выражения с помощью равносильных преобразований можно свести к левой.

Задача 1.4. Упростите выражение

.

Решение. Упростим выражение с помощью равносильных преобразований

Задача 1.5. Пусть заданы множества

, .

Убедитесь, что .

Решение. Прежде всего, заметим, что универсальным множеством здесь является

,

тогда .

Найдем

,

, ,

,

откуда следует, что .

Задача 1.6. Существуют ли множества , удовлетворяющие условиям

?

Решение. Изобразим множества в виде прямоугольников, расположенных на плоскости в общем положении, и поставим в соответствие каждой полученной области некоторый символ. Например, символ 4 обозначает совокупность всех элементов, попавших во множества и , но не попавших во множество . Теперь составим множества и универсальное множество , так что каждому множеству будет соответствовать совокупность определенных символов (рис. 1.). Получим

.

Рис. 1.

Изменим множества так, чтобы выполнились условия нашего задания. Из того, что , следует, что множество не должно содержать элементов, т.е. из удаляем и . Чтобы выполнилось условие , нужно удалить элементы списков . Тогда получится, что множества примут вид:

.

Заметим, что для этих множеств .

Если под символами понимать соответствующие числа, то мы получим конкретный пример множеств , для которых выполнены все условия заданного набора требований.

Задача 1.7. Выясните взаимное расположение множеств

,

если - произвольные подмножества универсального множества .

Решение. Возьмем множества , находящиеся в общем положении. Из рис.222 следует, что

.

В данном случае, как и при решении предыдущей задачи, цифры обозначают соответствующие совокупности элементов множеств. Тогда

,

,

тогда .

Заметим, что выполняются включения и для любых множеств . Таким образом, множества и могут находиться в общем положении.

Задача 1.8. Докажите, что для любых множеств из условия следует включение .

Решение. Возьмем множества , находящиеся в общем положении, тогда на основе рис. определим

.

В данном случае, как и при решении предыдущей задачи, цифры обозначают соответствующие совокупности переменных. Тогда и из включения следует, что список пуст, . Рассмотрим и . , . Так как , то включение имеет место в предположении, что .

Задачи для самостоятельного решения

1. Перечислите элементы множеств

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

2. Опишите следующие множества с помощью характеристического свойства:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

3. Установите истинность или ложность каждого из следующих утверждений:

а)

( - произвольное множество);

б) ,

в) .

4. В качестве универсального множества данной задачи зафиксируем . Пусть , , . Найдите элементы следующих множеств: , , , , , .

5. Рассмотрим следующие подмножества целых чисел

, ,

.

Используя операции на множествах, выразите следующие подмножества через :

а) ;

б) ;

в) .

6. Наследником множества называется множество . Определите наследников следующих множеств

а) , б) , в) .

7. Множество всех подмножеств множества называется булеаном (или показательным множеством) Докажите, что

а) ;

б) ;

в) покажите на примере, что не всегда совпадает с .

8. Выразите операции

а) через ;

б) через ;

в) через .

9. Доказать, что нельзя выразить

а) через и ;

б) через и .

10. Докажите, что если , то справедливы следующие соотношения для любых множеств и :

а) ; б)

в) ; г) ; д) .

11. Докажите, что если , то и .

12. Докажите, что если , то .

13. Докажите, что для любых множеств , таких что , справедливо .

14. Докажите, что для произвольных множеств справедливы следующие соотношения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

15. Пусть и . Доказать, что в этом случае .

16. Докажите

а) ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) .

17. Докажите:

а) если , то и ,

б) если , то и ,

в) если , то ,

г) если , то .

18. Для универсального множества , множества , заданного списком, и для , являющегося множеством корней уравнения , найдите множества , если

а) , ,

б) , ,

в) , ,

г) , .

19. Постройте диаграммы Венна для следующих множеств

а) , б) ,

в) , г) .

20. С помощью диаграмм Венна докажите, что . Покажите на примере, что множество не обязательно совпадает с множеством .

21. Определим операцию по формуле . Изобразите на диаграмме Венна множество . С помощью законов алгебры множеств докажите тождества

а) ,

б) ,

в) .

23. Существуют ли множества , удовлетворяющие заданному набору условий?

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

24. Выясните взаимное расположение множеств , если - произвольные подмножества некоторого универсального множества :

1
2
3
4
5
6

25. Проверьте, что для любых множеств справедливо включение , если и заданы в таблице:

1
2
3
4
5
6