![](/user_photo/_userpic.png)
- •1. Основные понятия
- •Основные определения
- •Событие, вероятность события (частота события)
- •2. Случайные величины и законы распределения
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Моменты для непрерывных величин:
- •2.2. Законы распределения случайной величины
- •I f(X) c α β X X I) равномерный
- •2.3. Определение законов распределения случайных величин
- •3. Системы случайных величин
- •3.1. Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •3.2. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин
- •Распределение Пуассона:
- •Л огнормальный закон распределения:
- •Нормальный закон распределения:
- •4.2. Распознавание в многомерном пространстве
- •Платежная матрица:
- •4.3. Параметрические методы распознавания
- •5. Функции случайных величин
- •Теорема сложения математических ожиданий
- •Теорема умножения математических ожиданий.
- •И вообще для некоррелированных случайных величин:
- •Для нескольких случайных величин:
- •6. Случайные функции
- •6.1. Законы распределения случайной величины
- •6.2. Корреляционная функция и ее свойства
- •Основные свойства корреляционной функции:
- •6.3. Пример случайной функции
- •Математическое ожидание случайной функции X(t) будет равно
- •Дисперсия случайной функции X(t) равна:
- •6.4.Cпектральные плотности
- •Введем понятие «плотность» дисперсии
- •На рис.6.2 показана спектральная плотность
- •Преобразование случайной функции линейной системой
- •Применение теории случайных функций к задачам анализа и синтеза
- •7. Прикладные задачи теории вероятности
- •7.1. Определение статистических характеристик
- •7.2. Нахождение функциональной зависимости
- •С оответственно:
- •7 .3. Линейная функция многих переменных Вводится новый набор переменных
- •Список литературы
- •Введение 3
3. Системы случайных величин
Если мы имеем две
величины
и
,
то:
- интегральный
закон;
- плотность
распределения
Свойства
аналогичны тем, что были для
;
;
.
Условные законы
распределения
и
это закон распределения случайной
величины х фикси-значении y.
Зависимые и
независимые случайные величины – Y
не зависит от X,
если
не зависит от значений
.
.
Для независимых
случайных величин
- это необходимое и достаточное условие
независимости
и
.
3.1. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Начальный момент
;
Центральный момент
.
- математические
ожидания произведений
в степенях
- порядок системы
случайных величин.
Легко записать формулы для непрерывных и дискретных случайных величин:
Наиболее часто используют следующие характеристики:
а)
начальные моменты первого порядка;
б)
центральные моменты;
(Здесь
и
)
в)
корреляционный момент.
Если
и
независимы, то для них
и тогда
.
г) Обычно используют нормированное значение корреляционного момента:
- коэффициент
корреляции;
Коэффициент корреляции характеризует точность линейной связи:
.
Чем точнее линейная
связь (меньше разброс), тем ближе
к |1|.
3.2. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин
Если имеем
- n случайных величин, то минимальное
число характеристик для них:
n математических операций
;
n дисперсий
;
n(n-1) корреляционных моментов:
где
для характеристики попарной корреляции
случайных величин.
Т
ак
как,
,
то удобно все дисперсии и корреляционные
моменты поместить в одной матрице:
Так как
,
то матрица симметрична относительно
главной диагонали. Если
-
независимые величины, то все элементы,
кроме главной диагонали равны нулю:
Если осуществить
нормировку (разделить на
),
то получим матрицу коэффициентов
корреляции симметричную относительно:
3
.3.
Примеры законов распределения двух
случайных величин.
Распределение Релея.
Для независимых
случайных величин:
при
;
Распределение Пуассона:
при ;
- коэффициент
корреляции;
- дисперсии;
- переменные целочисленные.
Л огнормальный закон распределения:
Нормальный закон распределения:
4. Распознование состояний в одно и многомерном случае
4.1. Распознавание двух состояний по одному признаку
вероятн.
Состояние А:
распред.
вероятн.
Рис. 4.1. Распознавание
двух состояний по
одному
признаку
-распред.
Введем отношение вероятностей:
(если неизвестная
точка
обозначена
).
Возможны несколько критериев распознавания:
Критерий максимального правдоподобия, т. е. верна та гипотеза, для которой вероятность больше (критерий Вальда):
- априорные
вероятности;
Для неизвестной
точки
:
П
рологарифмируем
и найдем корни квадратного уравнения:
а) частный случай:
Если,
,
то получаем:
б) частный случай:
Если пограничная
точка
соответствует равным вероятностям, то
и
получаем
2
A
x0
B
)
Критерий с взвешенными оценками
(Неймана-Пирсона)Задана матрица С
стоимости правильных и неправильных
решений отправляющие свойства препарата;
нападение противника; смертельный исход
лечения).
Рис. 4.2. Критерий
Неймана-Пирсона
- потери (затраты)
при правильных;
решениях
- потери (затраты)
при неправильных решениях..
С
оответственно,
различают ошибки I рода (объект относиться
к классу 1 (А), а его отнесли к классу 2
(В) и ошибки второго (II) рода (класс 2
отнесли к классу 1).
При многократном определении (классификации), средние потери находят как:
Если найти
(min потерь) и приравнять к нулю, то:
Е
сли
в частном случае:
;
.
Т
о
приходим к старому решению: