Учебное пособие 2047

1.2.7. Геометрические построения. Построение правильных многоугольников

Иногда при выполнении чертежей приходится делить на равные части отрезки, углы и окружности. Рассмотрим некоторые из этих построений.

Деление отрезка на две равные части

Разделить отрезок АВ (рис. 23) на две равные части можно при помощи циркуля. Для этого из концов отрезка АВ одним и тем же радиусом R, составляющим больше половины длины отрезка АВ (R >1/2 АВ), проводят дуги до их взаимного пересечения. Затем точки пересечения дуг соединяют прямой. Эта прямая является перпендикуляром к АВ и делит отрезок АВ на две равные части АС и СВ.

Рис. 23. Последовательные этапы деления отрезка на две равные части

Деление угла на две равные части

Разделить угол на две равные части можно также при помощи циркуля. Для этого нужно через вершину В угла АВС (рис. 24) провести окружность любого радиуса R (рис. 24, а).

Рис. 24. Последовательные этапы деления угла

на две равные части

37

Она пересечет стороны этого угла в точках 1 и 2. Далее проводятся еще две окружности радиусом R с центрами в точках 1 и 2 (рис.24,б). Эти две окружности пересекутся в общей точке D. Соединив точку D с вершиной В угла АВС, получим биссектрису этого угла

(рис. 24, в).

1.3. Построение правильных многоугольников, вписанных в окружность

1.3.1.Построение вписанного в окружность равностороннего треугольника

Вершины такого треугольника можно построить при помощи циркуля. Для этого сначала чертим осевые — горизонтальные и вертикальные — линии и вычерчиваем окружность радиусом R (рис. 25, а). Обозначаем на ней диаметрально противоположные точки 1 и 2. При помощи циркуля из точки 2 радиусом данной окружности R делаем засечки (рис. 25, б), обозначаем их точками 3 и 4 (рис. 25, в). Эти точки будут являться вершинами треугольника. Далее, соединяя последовательно точки 1, 3 и 4, получаем вписанный в окружность равносторонний треугольник (рис. 26, г).

Рис. 25. Последовательные этапы построения вписанного

в окружность равностороннего треугольника

1.3.2. Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника

Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника основано на том, что его сторона равна радиусу R описанной окружности (рис. 26, а). Поэтому для построения достаточно разде-

38

лить окружность данным радиусом из точек 1 и 2 (рис. 26, б) с помощью циркуля на шесть равных частей (рис. 26, в) и последовательно соединить найденные точки между собой (рис. 26, г).

1.3.3. Построение вписанного в окружность правильного двенадцатиугольника

Построение вписанного в окружность правильного двенадцатиугольника основано на предыдущем построении вписанного в окружность правильного шестиугольника. Для построения достаточно разделить окружность на шесть равных частей сначала из точек 1 и 2 (рис. 27, а), а затем из точек 3 и 4 (рис. 27, б) и последовательно соединить найденные точки между собой (рис. 27, в).

Рис. 27. Последовательные этапы построения вписанного

в окружность правильного двенадцатиугольника

1.3.4. Построение квадрата, вписанного в окружность

Это построение можно выполнить двумя способами.

Первый способ (рис. 28) основан на том, что любой диаметр делит окружность на две равные части, а два взаимно перпендикуляр-

39