Учебное пособие 1850

Отсюда следует, что и напряжение трения

dV

0 dyx 0

y 0

в точке отрыва.

Полученный результат хорошо подтверждается экспериментом.

Если в поток поместить цилиндр, то можно обнаружить срывающиеся с него вихри, образующие вихревую дорожку.

Если пограничный слой отсасывать внутрь цилиндра, то срыв вихрей можно устранить.

Таким образом, теория пограничного слоя позволяет управлять пограничным слоем.

5. ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ПОТОКОМ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

5.1.Уравнение Эйлера

Впотоке идеальной жидкости выделим элементарный параллелепипед (рис. 5.1). Пусть R x, y, z – единичная

массовая сила, а X ,Y, Z – проекции единичной массовой сипы. На параллелепипед будут действовать инерционные силы:

Так как жидкость идеальная, то из всех поверхностных сил будут действовать только силы давления. Пусть давление в точке A

P x, y, z . Тогда ввиду малости граней проходящих

61

через, точку А и не зависимости давления от ориентации площади, на эти грани будет тоже действовать давление Р.

Согласно принципу Даламбера сумма проекций на любую ось всех сил, действующих на параллелепипед, равна нулю.

В результате в проекции на оси х получим:

Уравнения Эйлера содержат 5 неизвестных: Vx ,Vy ,Vz , , P.

К этим уравнениям можно добавить уравнение неразрывности

Пятое уравнение получить из принципов механики нельзя. Его следует получить, исходя из физических свойств жидкости или газа. Например, const для несжимаемой жидкости. Для

62

газа, где C p и CV – удельные теплоемкости при постоянном давлении и объеме.

5.2. Уравнение Бернулли

Дифференциальные уравнения движения жидкости в форме Эйлера в общем виде не интегрируется.

Только в частных случаях, когда движение жидкости потенциальное или установившееся, можно проинтегрировать уравнения движения жидкости.

Рассмотрим случай установившегося движения. Представим, что

Так как движение жидкости установившееся, то траектории и линии тока совпадают.

За время dt частица жидкости пройдет по траектории путь ds , так что

ds Vdt .

Спроектируем элементарное перемещение частицы вдоль линии тока на оси координат. Тогда получим:

dx Vx dt; dy Vy dt; dz Vz dt.

Умножим уравнения Эйлера на элементарные перемещения и сложим. В результате получим:

Справа в скобках стоят полные дифференциалы, т.е.

Xdx Ydy Zdz d

63

и уравнение можно переписать в виде

Причем, так как элементарные перемещения рассматривались вдоль линии тока, то и интегрирование производится вдоль линии тока, поэтому константа C при переходе от одной линии тока к другой меняет свое значение. Уравнение можно представить в виде:

dP V 2 C . 2

Это уравнение носит название уравнения Бернулли для сжимаемой жидкости.

Если пренебречь массовыми силами, получим:

P V 2 C

2

Это упрощенное уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости.

64

6. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕХНИЧЕСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

6.1 Основные понятия

Техническая гидродинамика (гидравлика) исследует

тяжести.

В этом случае уравнение Бернулли принимает вид:

Живым сечением потока называется поверхность, ортодоксальная во всех своих точках к направлениям местных скоростей.

В общем случае сечение живого потока представляет собой криволинейную поверхность, и лишь в частном случае, случае параллельно-струйного течения, оно бывает плоским.

Параллельно-струйным называется такое течение, при котором местная скорость в любой точке потока направлена параллельно стенке. Такой поток можно разбить на параллельные струйки.

Основная особенность этого типа течений состоит в том, что в его живом сечении давление P распределяется по закону гидростатического давления. Это происходит потому,

65

жидкости, как и при действительном распределении скоростей. Очевидно, что

VdS

где S – площадь живого сечения.

Для потока переменного сечения справедливо условие неразрывности потока, т.е. m1 m2 , где m1 и m2 – массы протекающей жидкости через два живых сечения с площадями

т.е. средняя скорость в живом сечении потока обратно пропорциональна площади сечения.

Таким образом, зная форму трубопровода, можно найти распределение Vср по длине трубопровода.

Рассмотрим применение уравнения Бернулли к плоскопараллельному потоку вязкой жидкости, имеющему переменную скорость по сечению. Определим энергию жидкости, протекающей через элементарную площадку dS живого сечения в единицу времени. Обозначим ее через dE . Очевидно,

dG VdS – весовой расход жидкости в единицу времени. Очевидно,

67

Отнеся энергию E к весу жидкости, протекающей в единицу времени, G Vср S , получим, что полная удельная

энергия потока равна:

Коэффициент учитывает неравномерность распределения скоростей в живом сечении потока.

Для вязкой жидкости часть энергии при переходе от сечения к сечению теряется, т.е. переходит в тепло или внутреннюю энергию потока.

В этом случае уравнение Бернулли для двух сечений потока можно представить в виде:

где hl – гидравлические потери, распределенные по длине; hM – гидравлические потери, вызванные местными

условиями (местные сужения, вентили и т.д.).

68

Разобьем живое сечение ламинарного потока в трубе на элементарные кольца шириной dr . Тогда элементарный расход через кольцо равен:

r 2

dQ V 2 rdr Vmax 1 R2 2 rdr.

Полный расход через живое сечение равен:

70