Учебное пособие 1830
.pdf
tg A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2 ,
Откуда
= - 0.2 рад.
Уравнение результирующего колебания запишется в виде
х = 8,5cos( t – 0,2) см.
Пример 4. На концах тонкого стержня длиной = 1 м и массой m1 = 0,4кг укреплены шарики малых размеров массами m2 = 0,2 кг и m3 = 0,4 кг. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Определить период колебаний, совершаемых стержнем.
Решение
Стержень с шариками (рис.10) представляет собой физический маятник, период колебаний которого определяется формулой
T 2 |
|
I |
, |
|
|
||
|
mg c |
||
где - момент инерции |
маятника |
||
относительно оси колебаний; m – |
масса; c |
||
– расстояние от центра масс маятника до оси. Принимая шарики за материальные точки, общий момент инерции маятника
определяем выражением
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|||
I |
|
m |
|
m |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12 |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|||
1 2(m1 3m2 3m3), 12
Подставляя числовые значения,
m2
m1 2
с
C
m3
Рис.10
29
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0,183 кгּ◌м2. |
|
|
|
||||||
|
Расстояние c от оси маятника до его центра масс равно |
|||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
mix1 |
|
m1 |
0 m2 |
|
|
m3 |
|
|
|
|
m3 m2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
c |
i 1 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
10см. |
||||
3 |
|
m1 m2 m3 |
|
|
|
2 m1 m2 m3 |
||||||||
|
mi |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1
Произведя вычисления, найдем
Т = 2,7 с.
Пример 5. Тело массой m = 5 г совершает затухающие колебания. В течении времени t =50с тело потеряло 60 % своей энергии. Определить коэффициент сопротивления r.
Решение
Полная энергия тела, совершающего колебания, определяется по формуле
E = mA2 2 .
2
Учитывая зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени
получим |
|
|
|
A = А0 е- t, |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
mA |
2e 2 t 2 |
|
|
|
|
|
E |
0 |
|
E0e 2 t , |
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
где E0 |
|
mA0 |
2 2 |
– энергия тела в момент времени t = 0. |
|||
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
||
К моменту времени t =50 с тело потеряло 60% своей первоначальной энергии, следовательно, энергия колебаний составит
30
E = 0,4E0.
Тогда можно записать
0,4E0 E0e 2 t ,
сокращая на E0 и логарифмируя обе части равенства, найдем
ln2,5 = 2 t.
Отсюда выражаем :
= (ln2,5)/2t.
Сдругой стороны, по определению = r/2m, откуда
r = (m ln2,5)/t
После подстановки числовых значений найдем r = 9,16 10-5 кг/с.
Пример 6. Тело массой m = 10 г совершает затухающие колебания с максимальным значением амплитуды 7 см, начальной фазой, равной нулю, коэффициентом затухания, равным 1,6 с-1. На это тело начала действовать внешняя периодическая сила, под действием которой установились вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид x =5sin(10 t - 0,75 ) см. Найти: 1) уравнение свободных колебаний; 2) уравнение внешней периодической силы.
Решение
Уравнение свободных затухающих колебаний имеет
вид
|
|
|
|
|
х = А0 е- t sin t, |
|
где |
|
2 |
2 |
- частота затухающих |
колебаний; |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
– собственная |
частота колебаний; - |
коэффициент |
|||
затухания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
По условию сдвиг фаз между собственными и вынужденными колебаниями равен (–0,75 ), следовательно, tg(-0,75 ) = 1.
С другой стороны,
tg |
2 в |
. |
|||
|
|
||||
|
|
|
2 |
2 |
|
Из равенства |
|
0 |
в |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 в |
1, |
|
||
|
|
|
|||
2 |
2 |
|
|
||
0 |
|
в |
|
|
|
следует |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 . |
0 |
в |
в |
По условию в = |
10 , |
= 1,6 с-1. Подставляя эти |
значения получим 0=10,5c-1. |
С учётом того, что 2 << 02, |
|
можно считать, что частота затухающих колебаний равна частоте 0 собственных колебаний. Следовательно, уравнение свободных затухающих колебаний примет вид
х=7e-1,6tsin10,5 t, см.
Уравнение внешней периодической силы
F=F0sin вt.
Амплитудное значение вынуждающей силы
F0 f0m Am
( 02 в2)2 4 2 в2.
После подстановки числовых значений получаем
F0 =72мН.
С учетом этого уравнение внешней периодической силы будет иметь вид
F = 72 sin10 t, мН.
32
Пример 7. Сила, действующая на материальную точку, изменяется по гармоническому закону F=F0sin t. В начальный момент времени скорость точки равна нулю. Как с течением времени изменяется скорость и положение точки?
Решение
По второму закону Ньютона
F ma m d , dt
или
F0 sin t m d . dt
Отсюда |
d |
F0 |
sin tdt, |
тогда |
скорость |
|
m |
||||||
|
|
|
|
|
колеблющейся точки
|
t |
F |
F |
||||
d |
|
0 |
sin tdt |
0 |
(1 cos t). |
||
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
m |
m |
|||
Обозначая |
F0 |
|
m , перепишем в виде |
||||
m |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
m (1 cos t).
График зависимости скорости от времени представлен на рис.11.
Если начальное положение точки принять за начало координат, то координата точки в любой момент времени определяется выражением
m
0 T 2T t
Рис.11
tt
xdt m (1 cos t)dt
0 0
33
t m sin t.
m
Таким образом, движение точки под действием периодической силы является поступательным с периодическим возрастанием скорости от 0 до 2 m, а затем снова до 0.
Пример 8. Плоская волна распространяется вдоль прямой со скоростью υ =20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии х1=12 м и х2=15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз φ = 0,75 π. Найти длину волны λ, написать уравнение волны и найти смещение указанных точек в момент t = 1,2 с, если амплитуда колебаний А = 0,1 м.
Решение
Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны λ, колеблются с разностью фаз, равной 2π; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии x, колеблются с разностью фаз, равной
x 2 
(x2 x1) 2 
.
Решая это равенство относительно λ, получим
2 (x2 x1)
.
Подставляя числовые значения величин, входящих в выражение, получим λ = 8 м.
Для того чтобы написать уравнение плоской волны, надо ещё найти циклическую частоту ω. Так как ω=2π/T (T = λ/υ – период колебаний), то
2 
.
Произведя вычисления, найдём
2 20
8 5 c 1 .
34
Зная амплитуду колебаний А, циклическую частоту ω скорость распространения волны υ, можно написать уравнение плоской волны для данного случая
y Acos (t x
),
где А= 0,1м, |
ω=5π с-1, υ= 20 |
м/c. |
|
|
Чтобы найти смещение указанных точек y , достаточно в |
||||
уравнение плоской волны подставить значения t и х: |
|
|||
|
y1 = - 0,1м ; |
y2 = |
7,1см. |
|
Пример 9. Омическое |
сопротивление |
контура |
||
R 102 Ом, |
индуктивность L 10-2 Гн , ёмкость |
С 10-6 Ф . |
||
Определить силу тока в контуре в момент времени t 5 10-5с, если при t 0 заряд на конденсаторе q0 10 5 Кл, а начальная сила тока равна нулю.
Решение
Общий вид уравнения затухающих колебаний в контуре запишем в виде:
q qme- tsin( t 0 ),
где R/2L 5 103c 1 ,
|
|
|
|
1 |
|
R 2 |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
2 |
|
3 |
c |
1 |
. |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
8,7 10 |
|
|
||
|
LC |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2L |
|
|
|
|
|
||
Начальную фазу 0 и амплитудное значение заряда qm
определим из начальных условий. Учитывая, что при t 0 q q0 , получаем
q0 qm sin 0 .
Закон изменения силы тока найдем, дифференцируя уравнение колебаний
35
I dq , dt
I qm[ e t sin( t 0) e t cos( t 0)].
Для определения силы тока в контуре в указанный момент времени, необходимо определить начальную фазу колебаний и амплитуду заряда. Из начальных условий при t 0 сила тока I = 0, получаем
sin 0 cos 0 0 .
Откуда tg 0 / и начальная фаза составит
0 arctg( / ) /3.
Амплитуда заряда тогда
|
|
|
qm |
q0 |
|
2q0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учётом найденных параметров уравнения определим |
|||||||||||||||||
силу тока в контуре в момент времени t 5 10 5c , |
|||||||||||||||||
|
|
|
I 4,6 10-2A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример |
10. |
В |
цепи, |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
||||
состоящей |
из |
последовательно |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
соединённых |
резистора |
R 20Ом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
катушки индуктивностью L 1мГн и |
|
|
|
|
R |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
конденсатора ёмкостью C=0,1мкФ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
действует |
синусоидальная |
ЭДС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Рис.12 |
|||||||||||||
(рис.12). Определите частоту ЭДС, при которой в цепи наступит резонанс. Найти
действующие значения силы тока I и напряжений UR, UL, UC на всех элементах цепи при резонансе, если при этом действующее
значение ЭДС E=30B.
36
Решение
Под действием переменной ЭДС в цепи установятся вынужденные колебания. При этом амплитудные значения тока I0 и ЭДС связаны соотношениями
I0 2
L C
Всоответствии с формулами, связывающими амплитудные и действующие значения токов и напряжений,R2
I |
I |
0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
2 |
|
||||
данное соотношение имеет аналогичный вид и для действующих значений:
I0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|||
|
|
|
|||||
|
|
R |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
C |
|
|
Максимальному току при резонансе Iрез соответствует такое значение ,при котором выполняется условие
L |
1 |
0, |
откуда |
|
|
1 |
1 105 рад с. |
||||
|
|
|
|
||||||||
|
C |
|
|
|
p |
|
|
LC |
|||
При этом сила тока |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
IP |
|
E |
|
E |
1,5A |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
R2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|||||
Зная силу тока IP , найдём действующие значения напряжения на каждом из элементов контура. В соответствии с законом Ома для каждого из участков получим:
UR=IR·R=E=30B,
37
UL IP L E L 150B
R
1
UC IP C UL 150B.
Равенство UL U c следует из равенства L 1
C при резонансе.
38