Учебное пособие 1830

M=Mупр.

9

Отсюда находим скорость электрона eBR и период m

его обращения Т 2 R 2 m.

eB

Движение электрона по окружности эквивалентно круговому току

e e2B Iэкв T 2 m .

Зная Iэкв , найдем магнитный момент эквивалентного тока, который выражается соотношением

pm IэквS ,

где S=πR2 – площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном.

Подставим значения Iэкв и S в формулу магнитного момента, окончательно получим

Пример 6. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 10мТл по винтовой линии, радиус которой равен 1 см и шаг h = 6 см (рис.6). Определить период Т обращения электрона и его скорость υ.

11

m 2 e B .

R

Перпендикулярная составляющая скорости будет равна

eBR

m .

Период обращения электрона связан именно с этой составляющей скоростью соотношением

T 2 R 2 m.eB

Проверим размерность полученного выражения и произведем вычисление:

Модуль скорости υ, как видно из рисунка, можно выразить через составляющие и ||

2 2

||

Параллельную составляющую скорости || найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдет вдоль силовой лини расстояние h, т.е. h T || , откуда

Пример 7. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течёт ток I = 50А, расположена прямоугольная рамка так, что две большие стороны её длиной l = 65см параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно её ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизывающий рамку?

Решение

Магнитный поток Ф через поверхность площадью S определяется выражением

BndS .

S

В нашем случае вектор магнитной индукции B перпендикулярен плоскости рамки. Поэтому для всех точек рамки Bn=B. Магнитная индукция B, создаваемая бесконечно

13

длинным прямым проводником с током, определяется формулой

B 0I , 2 x

где х – расстояние от провода до точки, в которой

пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площадки равноудалены (на расстояние x) от провода. С учётом сделанных замечаний элементарный магнитный поток можно записать в виде

d 0I dx.

2 x

Проинтегрировав полученное выражение в пределах от x1= a до x2 = 2a, найдём

Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу магнитного потока (Вб):

[μ0][I][l] = 1Гн/м·1А·1м = 1 Вб.

Произведя вычисления, найдём

Ф = 4,5 мкВб.

14

Пример 8. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл. Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон на угол 90˚.

Решение

Данную задачу можно решить несколькими способами. Способ 1.

На контур с током в магнитном поле (рис.8) действуетI момент силы

и B сонаправлены (α=0). Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил будет стремиться возвратить контур в исходное положение. В силу зависимости М от угля поворота α, для вычисления работы внешних сил воспользуемся интегрированием. Элементарная работа равна

dA= Mdα = IBa2sin α dα.

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте контура на конечный угол 2 :

15

A IBa2 sin d IBa2 cos 0 2 IBa2 .

0

Производя расчет в единицах СИ, получим

А = 100·1·0,12 Дж =1 Дж.

Способ 2.

Работа внешних сил при повороте контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока на изменение магнитного потока, пронизывающего контур:

A I I( 1 2 ),

где Ф1 – магнитный поток, пронизывающий контур до поворота, Ф2 – то же, после поворота.

Если 1 2 , то Ф1=ВS, Ф2=0.

Следовательно,

А = IBS = IBa2.

Способ 3.

Воспользуемся выражением для механической потенциальной энергии контура с током в магнитном поле

Wп pmBcos .

Работа внешних сил равна приращению потенциальной энергии

А=ΔWп = W2 - W1,

или

A pmB(cos 1 cos 2).

Так как рm= Ia2, cosα1=1 и cosα2=0, то

A=IBa2.

Пример 9. В однородном магнитном поле (В = 0,2Тл) равномерно с частотой ν = 600 мин-1 вращается рамка, содержащая N = 1200 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки S = 100 см2. Ось вращения лежит в

16

плоскости рамки и перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определите максимальную ЭДС, индуцируемую в рамке.

Решение

Согласно закону электромагнитной индукции

E =- d , dt

где Ф = NBScos α – полный магнитный поток, пронизывающий рамку.

При вращении рамки угол , образованный нормалью n к плоскости рамки и линиями индукции, изменятся по закону

t 2 t

Подставив в закон электромагнитной индукции выражение магнитного потока и продифференцировав по времени, найдем значение ЭДС индукции:

Ei = NBS d (cos2 t) NBS 2 sin2 t. dt

Максимальное значение ЭДС определится при условии, что sin2πνt =1. Таким образом,

Emax =2 NBS.

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу ЭДС (В):

Пример 10. Соленоид содержит N=1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока

17

I=4A магнитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию магнитного поля соленоида.

Решение

Индуктивность L связана с потокосцеплением Ψ = LI. Потокосцепление, в свою очередь, равно

Ψ = NФ.

На основании этих формул индуктивность соленоида

L N .

I

Энергия магнитного поля соленоида

W LI2 NФI . 2 2

Подставим в формулы для L и W значения физических величин и произведем вычисления:

L 1,2 103 6 10 6 Гн 1,8Гн; 4

W1 1,2 103 6 10 6 4Дж 14,4мДж. 2

Пример 11. Определить индукцию В и напряжённость Н магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей N = 200 витков, течет ток I =5 А. Внешний диаметр d1 тороида равен 30см, внутренний d2 = 20 см.

Решение

Для определения напряжённости магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектораН вдоль линий магнитной индукции поля

N

H d Ii .

L i 1

18