Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

По аналогии находим: y(n) = 3ne3x.

Рассмотрим механический смысл второй производной.

Пусть путь S, пройденный телом по прямой за время t, выражается формулой S = f (t). Известно, что при этом скорость V в момент времени t равна производной от пути по времени: V = S′(t) . В момент времени t + t скорость получит

приращение

Следовательно, ускорение при прямолинейном движении равно второй производной от пути по времени: a = S''(t).

Перейдем к рассмотрению дифференциалов высших порядков.

Пусть y = f (x), x X. Дифференциал этой функции

y = f '(x)dx является функцией от x (если x – не фиксированное число), dx – приращение аргумента x, оно не зависит от x.

Дифференциал от дифференциала функции называется

дифференциалом второго порядка и обозначается d2y или d2f (x).

61

Итак, d2y = d(dy), но dy= f ′(x) dx, поэтому

d2y = d( f ′(x) dx) = ( f ′′(x) dx)dx = f ′′(x) (dx)2.

Будем вместо (dx)2 писать dx2.

Дифференциалом третьего порядка называется диффе-

ренциал от дифференциала второго порядка и обозначается d3y

или d3f (x): d3y = d(d2y) = d( f ′′(x) dx2) = f ′′′(x) dx3 и т.д.

Дифференциалом n-го порядка называется дифференци-

ал от дифференциала (n – 1)-го порядка

d ny = d(d n – 1y) = d(f (n – 1)(x)dxn – 1) = f (n)(x)dxn.

Заметим, что выражение производной через отношение дифференциалов часто бывает удобно, поэтому оно широко используется.

Так, вместо y′x будем писать: dydx , вместо yt′ пишем: dydt .

Пример 3. Найти d3y для функции y = cos2x.

Решение. d 3y = y'''dx3. Вычислим y''', находя последова-

тельно y', y'', y''':

y' = (cos2x)' = –2cosxsinx = –sin2x, y'' = (–sin2x)' = –2cos2x, y''' = 4sin2x. Следовательно, d3y = 4sin2xdx3.

Рассмотрим нахождение производных высших порядков для функций, заданных параметрически и неявно.

Пусть функция y, зависящая от x, задана параметрически уравнениями

x = ϕ(t) , t T

y = g(t)

62

Аналогично будут вычисляться d 3 y и т.д. dx3

Пример 4. Функция y от x задана параметрически урав-

63

y

y' = – e y + x .

Для нахождения y'' будем дифференцировать равенство ey y' + y + xy' = 0, получим:

ey (y')2 + ey y'' + y' + y' + xy'' = 0,

отсюда найдем y'', затем подставим найденное значение y':

2.9. Основные теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ферма. Пусть функция f (x) определена, непрерывна на интервале (a, b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает свое наибольшее или наименьшее значение. Если в точке x0 существует производная этой функции, то f ′(x0 ) = 0.

64

Доказательство. Пусть f (x0) = M – наибольшее значение функции на (a, b). Покажем, что f '(x0) = 0. По определению производной

Так как f ′(x0 ) – определенное число, то получаем, что f ′(x0 ) = 0. Теорема доказана.

Геометрически теорему Ферма поясняет рис. 2.7. В точке x1 функция принимает наибольшее значение M, а в точке x2 – наименьшее значение m, касательные к графику y = f (x) в точках A и B параллельны оси Ox, так как f '(x1) = 0 и f '(x2) = 0.

Теорема Ролля. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема в каждой внутренней точке и f(a) = f(b), то существует, по крайней мере, одна внутренняя точка x0 отрезка [a, b], что f'(x0) = 0.

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и своего наименьшего значения m (см. раздел 1)

Если M = m, то функция f (x) постоянна на отрезке [a, b], а потому f '(x) = 0 для любого x (a, b).

Рассмотрим случай, когда M ≠ m. Так как f(a) = f(b), то либо M ≠ f(a), либо m ≠ f(a), тогда либо наибольшее значение M, либо наименьшее значение m достигается во внутренней точке x0, x0 (a, b).

65

y

M0

y = f(x)

f(a) =

Рис. 2.7

Следовательно, по теореме Ферма

f ′(x0 ) = 0. Теорема доказана.

Геометрически теорема Ролля утверждает (рис. 2.8), что если функция непрерывная на [a, b] и дифференцируемая на (a, b), имеет на концах отрезка [a, b] одинаковые значения, то найдется точка x0 (a, b), для которой касательная к графику параллельна оси абсцисс.

Теорема Лагранжа. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b), то найдется хотя бы одна внутренняя точка x0 отрезка [a, b], такая, что

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функ-

цию:

F(x) = f(x) – f (b) − f (a) (x – a) b − a

и покажем, что она удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Функция F(x) непрерывна на [a, b], так как на [a, b] непрерывны функции f (x) и (x – a). Производная

существует в интервале (a, b). Вычислим F(x) на концах отрез-

ка [a, b]:

66

F(a) = f (a) – f (b) − f (a) (a – a) = f (a), b − a

F(b) = f (b) – f (b) − f (a) (b – a) = f (b) – f (b) + f (a) = f (a). b − a

y M

Значит, F(a) = F(b). По теореме Ролля найдется точка x0 (a, b), такая, что F'(x0) = 0. Подставив x0 в равенство (2.15)

хорды AB, соединяющей точки A(a, f (a)), B(b, f (b)), f '(x0) – угловой коэффициент касательной к графику y = f (x), прове-

денной в точке M0(x0, f (x0)), и f ′(x0 ) = tgα. Теорема Лагранжа

утверждает, что на графике функции y = f (x) найдется хотя бы одна точка M0, в которой касательная к графику параллельна хорде AB.

Заметим, что формулу (2.14) можно записать в виде:

67

αf(a)

Формулы (2.16), (2.17) называют формулами конечных приращений, а теорему Лагранжа – теоремой о конечных приращениях. При этом теорема Лагранжа переформулируется следующим образом: приращение дифференцируемой функ-

ции на отрезке равно произведению длины отрезка на значение производной этой функции в некоторой внутренней точке отрезка.

Получим следствие из теоремы Лагранжа. Известно, что производная постоянной функции равна нулю. Докажем обратное утверждение.

Следствие. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и во всех внутренних точках этого отрезка f ′(x) = 0, то

функция f (x) постоянна на отрезке [a, b].

Доказательство. Пусть x – произвольная точка отрезка [a, b], не совпадающая с a, тогда по формуле (2.16) конечных приращений применительно к отрезку [a, x] имеем:

68

Теорема Коши. Пусть функции f(x), g(x) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на (a, b), причем g'(x) ≠ 0 для любой точки x из интервала (a, b). Тогда существует внутрен-

Доказательство. Отметим, что ϕ(b) ≠ ϕ(a), так как в противном случае по теореме Ролля ϕ'(x) = 0 в некоторой точке x0 (a, b).

Введем вспомогательную функцию:

F(x) = f (x) – f (b) − f (a) (ϕ(x) – ϕ(a)) ϕ(b) −ϕ(a)

и покажем, что F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Очевидно,

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши будут многократно применяться на протяжении курса математического анализа.

69

2.10.Правило Лопиталя

Вразделе 1 мы познакомились с приемами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно

больших функций, т.е. раскрытия неопределенностей типа 00 и

∞∞ . В этом разделе мы рассмотрим новый способ вычисления

таких пределов, так называемое правило Лопиталя. Теорема Лопиталя. (Раскрытие неопределенностей типа 00 )

Пусть функции f(x), g(x) определены, непрерывны и дифференцируемы в точке x0 и некоторой ее окрестности, причем g'(x) ≠ 0 для любого x из этой окрестности, и пусть f(x0) = 0, g(x0) = 0 (следовательно, f(x), g(x) – бесконечно малые

Доказательство. Равенство (2.18) называют правилом

Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа 0 .

0

Дадим значению аргумента x0 приращение x, такое, чтобы точка x = x0 + x принадлежала рассматриваемой окрестности точки x0.

Случай 1. x > 0, тогда x > x0. Функции f (x), g (x), рассматриваемые на отрезке [x0, x], удовлетворяют теореме Коши,

70