Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1740

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2511 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

4.2. Найти пределы: a) lim		4 − x −		4 + x		;
	x→0		3x
б) lim	x2 +1 −1		; в) lim		x	−1	;
	x2 + 2 −	2			3 x	−1
x→0				x→1
г) lim	1 + tgx −	1 −tgx .
x→1	sin 2x

Решение: a) Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю

lim	( 4 − x − 4 + x)( 4 − x +				4 + x ) = lim	− 2x	=
x→0		3x( 4 − x + 4 + x)			x→0	3x( 4 − x +	4 + x)
= −	2 lim	1	4 + x	= −1 .
	3 x→0	4 − x +	4 + x	6

б) Умножаем числитель и знаменатель на выражения сопряженные числителю и знаменателю

lim

(

x2 +1 −1)(

+1 +1)(

x2 + 2 +

x2 + 2 −

2)(

+1 +1)(

+ 2 +

x→0 (

= lim

x2 ( x2 + 2 + 2)

= lim

x2 + 2 + 2

x2 ( x2 +1 +1)

x2 +1 +

x→0

в) Делаем замену t6 = x, тогда при x→1,

t→1

lim

x −1

= lim

−1

x −1

−1

x→1

t →1

= lim

(t −1)(t2

+ t +1)

= lim

+ t

(t −1)(t +1)

t +1

t →1

г) Умножаем числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю

101

lim (

1 + tgx −

1 −tgx )(

1 + tgx +

1 −tgx )

x→0

sin 2x( 1 + tgx

+ 1 −tgx )

= lim

2tgx

sin 2x(

1 + tgx +

x→0

−tgx)

= lim

1 −tgx )

1 .

x→0

cos2 x( 1 + tgx +

sin

2tg π

4.3. Найти пределы: a) lim

; б) lim

;

x→0

в) lim

1 − cos 2x

; г)

lim

;

д) lim

sin2 (x−2)

xtgx

3 π

x2 − 4x +1

x→0

8sin

x→2

е) lim

sin 3x + sin 4x

; ж) lim

cos x − cos3x

;

x→0

з) lim xsin 3x x→0 tg 2 5x

;

Решение. a) Умножим и разделим знаменатель на 4 и подведем выражение под знаком предела к первому замечательному пределу


	sin		x		1		sin		x		1
lim	sin	4		=	1	lim	sin		4	=	1	.
lim		x		=		lim				=	4	.
x→0	4	x			4 x→0			x			4
	4	4						4

б) Представим тангенс через синус и косинус и воспользуемся теоремами о пределах

102

2sin2

sin2

1 .

lim

= 2 lim

lim

2 x

x→0

cos

x→0

cos

в) По формулам половинныx

углов имеем

lim

2sin2 x

= lim

2sin x cos x

= 2 lim

sin x

lim cos x = 2 .

xtgx

x→0

г) Умножим и разделим числитель на 4 в кубе

3 x

x 3

lim

= 8lim

= 8.

x→0 8sin3

x→0 sin3

д) Сделаем замену x-2 = t,

при x→2,

t→0:

lim

sin2 (x −2)

= lim

sin2 t

=1.

(x −2)2

x→0

t→0

е) На основании второй теоремы о пределах имеем

lim

sin 3x

+ lim

sin 4x

lim

sin 3x

lim

sin 4x

x→0

2 x→0

3 x→0

ж) Преобразуем числитель с помощью формул разности

косинусов двух углов и синуса двойного угла cosx - cos3x= =2sin2x sinx = 4sin2x cosx,

lim

cos x − cos3x

= 4lim

sin2

cos x = 4limcos x = 4.

x→0

4.4. Найти пределы: a) lim

3x4 −4x2 +1

;

2 +5x −2x4

x→∞

б) lim

2x3 + x5 −

;

в) lim

+ 2x3 + 4x5

;

6x2 − x

4x2 + x6

x→∞

103

г) lim

1 + 2 + 3 +... + n

; д)

lim

1 − 2n

; е) lim

10n −1

4n4 + 3

+ 2n+1

+10n+1

n→∞

n→∞ 1

n→− ∞ 1

Решение: а) Разделим числитель и знаменатель на x4

3 −

= −

lim

→∞

− 2

т.к. величины

есть величины при х → ∞ бесконечно

малые.

б) Здесь можно разделить числитель и знаменатель на x2

2x +1 −

= lim

2x +1

= ∞.

lim

x→∞

−

в) Деля числитель и знаменатель на x6, получим

lim

= 0.

x→∞

г) Здесь числитель есть сумма арифметической прогрессии.

Находя в числителе сумму арифметической прогрессии,

получим

1+ n

n + n2

lim

= lim

n→∞ 4n4 +3

n→∞ 2 4n4 +3

n→∞

4 +

д) Делим числитель и знаменатель на 2n+1

104

−

lim

2n+1

= −

n→∞

2n+1

е) При

п→ −∞

10n и

10n+1 стремятся к нулю и

неопределенности в пределе нет

lim

10n

−1

= −1.

1 +10n

+ 0

n→∞

4.5. Найти пределы: а) lim

−

;

→1

−

x −1

+ x − x

+ x −1

)

sin x

б) lim

;

в)

lim tg

−

x→∞ (

x→

cos2 x

Решение: a) Приведем к общему знаменателю

lim

1−2(x +1) = lim

−2x −1 .

x→1

x2 −1

x→1

x2 −1

При x→ 1 знаменатель стремится к нулю, следовательно, дробь является бесконечно большой величиной и стремится к

∞.

б) Умножим и делим на сопряженное выражение

lim

x2 + x − x2 − x +1

= lim

= 0.

x2 + x +

x2 + x −1

x→+∞

x→+∞ x2 + x +

в) Раскрываем тангенс и приводим к общему знаменателю

lim

sin2 x −sin x

= lim

sin x(sin x −1)

= −lim

sin x

= −

cos2 x

1−sin2 x

1 + sin x

x→π

πx ;

4.6. Найти пределы: a) lim (1 − x)tg

б) lim 3n tg3−n.

x→1

n→∞

Решение: а) Делаем замену x = 1-α , тогда при х→1, α→0

105

limαtg π (1 −α)

= limαctg

α =lim

α cos 2 α

α →0

sin

π α =

lim

limcos

π α →0

sin

α →0

, получим

б) Полагая 3

lim 3n tg3−n = lim

tgx = lim

sin x

=1.

n→∞

→0

x→0 x cos x

4.7. Найти пределы: а) lim

4 5x

+ 2

1+3x

; б) lim

;

→∞

x→∞

+ 5

2+3x 2

x −1

3−2 x

в) lim

;

г) lim

+ 2

x→∞ x

x→∞

Решение. а) Разделим почленно числитель на x

lim

1 +

=lim

1 +

x→∞

Если сделать замену х = 4t, то при х→ ∞,

t→ ∞ и

1 t

lim

= e

x→∞

t→∞

б) Выделим целую часть и почленно разделим числитель

на знаменатель

+1 +1 1+3x

1+3x

lim

= lim 1 +

x +

x→∞

x +1

x→∞

Сделаем замену x+1=t. Тогда при x → ∞,

t → ∞ и предел

106

1 3t −2

1 t 3

1 −2

примет вид

lim 1

= lim 1

lim 1

= e

t →∞

t→∞

т.к. второй предел неопределенности не представляет и равен единице.

в) Выделим в скобках целую часть

+ 2 + 3

2+3x 2

2+3x2

lim

= lim 1

+ 2

x→∞

Сделаем замену х2 + 2 = 3t.

Тогда при х → ∞, t→ ∞ и предел примет вид

1 9t−4

1 −4

lim 1+

= lim 1+

lim

= e

t→∞

→∞

t→∞

г) Представим предел в виде

3−2 x

lim 1 −

=lim 1

−

lim

x→∞

→∞

В первом пределе сделаем замену -

= t. Тогда при х→∞,

t→0 и предел примет вид

lim (1+t

+3 lim

2 x

)

2 3

= e2 lim

= ∞.

t→0

x→∞

ln(1 + x)

4.8. Найти пределы: а) lim(1 + 5x)

, б)

lim

;

e−x −1

a3x

x→0

в) lim

; г) lim

−1

; д) lim(1 + 2tg 2 x)ctg 2 x ;

x→0

→0

е)	lim(sin 2x)tg 2 2 x ; ж) lim esin 2 x
	x→	π	x→0
	x→	4
з)	lim x(ln x −ln(x + 2)).
	x→∞

−esin x

;

107

Решение. а) Сделаем замену 5х =t при x→0, t→0 предел примет вид

= lim (1 + t)1t

= e10

lim(1 + t)

→0

t →0

б) Сделаем преобразования

lim

ln(1+ x)2

= 2lim

ln(1+ x) = 2lim ln(1+ x)x =

x→0

→0

= 2ln lim(1+ x)

= 2ln e = 2 .

x→0

в) Полагая e-x - 1= t, получим, что при х→0,

t→0.

ex =

x = ln

Таким образом,

lim

= −lim

= −

= −1.

ln(t +1)−1

t →0

ln(t +1)t

ln lim(t +1)t

t →0

г) Полагая

a3x - 1 = t,

получим,

что

при

x→0, t→0.

Преобразуем замену

ln(t +1)

a3x= t+1; 3xlna = ln(t+1); x =

Отсюда

3ln a

3t ln a

lim

= 3ln a

= 3ln a .

t →0 ln(t +1)

limln(t

+1)t

t →0

Решение этого примера можно найти и более простым путем

lim	a3x −1	= lim3	a3x −1	= 3ln a .
	x		3x
x→0		x→0

108

д) Делаем замену

tg 2 x = t.

При x→0,

t→0 и предел

примет вид

lim(1 + 2t)t = lim (1 + 2t)

= e2 .

t →0

→0

е) Делаем замену sin 2х = 1+t. При x→π

t→0.

Представим

(1 + t)2

(1 + t) 2

tg22x =

sin2 2x

= −

1 −sin2 2x

1 −(1 + t)2

t(2 + t)

Тогда

(1+t)

+t )1t

−

lim

2+t

= e−2

t→0

ж) Сделаем следующие преобразования

lim

esin 2 x

−esin x

esin x (esin 2 x−sin x

−1)

= lim

x→0

= lim

esin x (esin 2 x−sin x −1)(sin 2x −sin x)

= lim

sin 2x −sin x

x(sin 2x −sin x)

x→0

= 2 lim sin 2x −lim sin x = 2 −1 =1.

→0

x→0

з) Воспользовавшись свойствами логарифмов, имеем

x x

x + 2

−x

lim xx(ln x −ln(x + 2)) = lim ln

= lim ln

x→∞

x +2

x→∞

2 −x

−2

= ln lim

= ln e

−2

= −2 .

= ln lim 1+

x→∞

109

4.9. Найти пределы: a) lim xsin x ; 6) lim		1
4.9. Найти пределы: a) lim xsin x ; 6) lim		(ln x) x .
x→0	x→∞
Решение. a) Неопределенность	вида 0°. Обозначая

функцию под знаком предела за y и логарифмируя, будем иметь

lny=sin x lnx= sinx x xlnx

Отсюда, на основании пункта 4, имеем

limln y = lim sin x lim x ln x = 0, следовательно, lim xsin x =1.
x→0	x→0	x	x→0	x→0

6) Неопределеность вида ∞0 . Обозначая функцию под знаком предела за y и логарифмируя, будем иметь

lny = 1x lnlnx.

Отсюда на основании пункта 4° имеем

lim ln y = lim			ln ln x		ln x		= 0, следовательно,

x→+∞		x→+∞		ln x		x
		lim		1		=1 .
				(ln x)x
		x→+∞					(e2 x3 −1)sin 3x
4.10. Найти пределы: a) lim								;
							ln(1 −3x2 )(1 −cos 2x)
						x→0
б) lim	( 1 + sin x −1)arctg3x).
x→0		(etgx −1)arctg2x

Решение. а) Так как при x→0, 2x3→0, Зх→0,

-3x2→0, и 2х →0, имеем неопределенность 00 . Заменяя исходные бесконечно малые эквивалентными, получим

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2511 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.93 Mб8Учебное пособие 1736.pdf
#
30.04.20221.93 Mб12Учебное пособие 1737.pdf
#
30.04.20221.93 Mб6Учебное пособие 1738.pdf
#
30.04.20221.95 Mб2Учебное пособие 1739.pdf
#
30.04.2022312.19 Кб3Учебное пособие 174.pdf
#
30.04.20221.95 Mб5Учебное пособие 1740.pdf
#
30.04.20221.95 Mб19Учебное пособие 1741.pdf
#
30.04.20221.96 Mб9Учебное пособие 1742.pdf
#
30.04.20221.97 Mб4Учебное пособие 1743.pdf
#
30.04.20221.97 Mб4Учебное пособие 1744.pdf
#
30.04.20221.97 Mб7Учебное пособие 1745.pdf