Дифференциальные уравнения. Провоторова Е.Н

Для того, чтобы уравнение (6.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы

x y

Если U(x,y) известна, то все решения уравнения (6.1) удовлетворяют условию U(x,y) = С. где С - произвольная постоянная. Чтобы, найти функцию U(x,у) воспользуемся равенствами

(6.2)

Интегрируя первое из них по х, определим функцию U(x,y) с точностью до произвольной дифференцируемой функции:

Дифференцируя (6.3) по у с учетом второго из равенств (6.2), получаем уравнение для определения функции

(у):

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

(sin xy + xy cos xy)dx + x2 cos xy dy = 0.

Р е ш е н и е. Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Имеем

При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений можно так сгруппировать члены, что получаются легко интегрируемые комбинации.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение

(x3 xy2 )dx (x 2 y y 3 )dy 0. (2 )

условие (2) выполнено и, следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Но это уравнение легко привести к виду du=0 непосредственной группировкой его членов. С этой целью перепишем его так:

Поэтому уравнение (2 ) можно записать в виде

есть общий интеграл уравнения (2 ).

Внекоторых случаях, когда левая часть уравнения

(1)не является полным дифференциалом, удаѐтся

подобрать функцию (x, y), после умножения, на которую левая часть (1) превращается в полный дифференциал

Такая функция (x, y) называется интегрирующим множителем. Из определения интегрирующего множителя имеем

Мы получили для нахождения интегрирующего множителя уравнения в частных производных.

Отметим некоторые частные случаи, когда удается сравнительно легко найти решение уравнения (5), т. е. найти интегрирующий множитель.

Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от y, необходимо и достаточно, чтобы правая часть (6) была функцией только x. В таком случае ln найдѐтся интегрированием по х.

Пример 3. Рассмотрим уравнение

(x + y2) dx – 2xy dy = 0.

Р е ш е н и е. Здесь

M = x+y2, N = - 2xy.

Имеем

Следовательно,

Уравнение

есть уравнение в полных дифференциалах. Его левую часть можно представить в виде

и общий интеграл данного уравнения есть

1.7 Уравнения, неразрешенные относительно производной

Общего метода решения уравнений, неразрешимых относительно производной, нет. Если дифференциальное уравнение F(х,у,у ) = 0 разрешимо либо относительно искомой функции у = f(x.y'), либо относительно аргумента х = f(y,y ), то оно может быть проинтегрировано путем введения параметра р = у'. Исходное уравнение перейдет в алгебраическое, дифференцируя соответственно по х или по у, получим системы уравнений

параметрическом виде.

Рассмотрим, например, уравнение Лагранжа

у = xf(y')+ (y').

Введением параметра р=у' уравнение Лагранжа приводится к виду у = хf(р)+ (р). Дифференцируя по х, получим

или, после замены у' через р и алгебраических преобразований,

Это линейное уравнение относительно х и производной

Совместно с уравнением

у = xf(y')+ (у)

он дает общий интеграл уравнения Лагранжа. Произведенное преобразование возможно лишь, если р- f(р) 0. Корни уравнения p-f(p)=0 дадут также решения уравнения Лагранжа, это особое решение, представляющее собой прямую линию. К уравнениям, не разрешенным относительно производной, приводят чаще всего различные геометрические задачи такие, как задачи об изогональных траекториях и др.

Пример 1. Найти общий интеграл уравнения:

Р е ш е н и е: Разлагая левую часть уравнения на

являются уравнениями с разделяющимися переменными. Их общие интегралы:

Пример 2: Найти общее решение уравнения

xysin y

впараметрической форме.

Р е ш е н и е: Положим yp ; тогда x psin p .

dy

Равенство p dx

Исключим параметр p. Для этого из первого уравнения

Пример 4: Найти общее решение уравнения:

Следовательно, общее решение в параметрической форме примет вид:

Решение: Общее решение получаем непосредственно из уравнения заменой p на C:

этого возведем обе части второго уравнения в квадрат и