Дифференциальные уравнения. Провоторова Е.Н

потерять решения, которые обращают в нуль его

Непосредственной проверкой убеждаемся, что функции y = - x и y = x являются решениями уравнения.

Функции y = - x и y = x являются особыми решениями данного уравнения.

Пример 2. Решить уравнение

Р е ш е н и е. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:

x y 2 0 . x y 4 0

Определитель этой систем:

Уравнение (2) является однородным уравнением.

Возвращаемся к переменным x, y:

Пример 3. Решить уравнение

x y 1 dx 2x 2 y 1 dy 0

Р е ш е н и е. Система линейных алгебраических уравнений

x y 1 0

2x 2 y 1 0

несовместна. Определитель системы

1 1

0

2 2

В этом случае метод, применѐнный в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку

x + y = z, dy = dz – dx.

Уравнение примет вид

(2 – z)dx + (2z – 1)dz = 0.

Разделяя переменные, получим

Возвращаясь к переменным x, y получим общий интеграл данного уравнения

x 2y 3ln | x y 2 | C .

1.5. Линейные уравнения и уравнения, приводящиеся

к ним

Уравнения вида

называются линейными уравнениями первого порядка. При b(х)=0 уравнение (5.1) называется однородным уравнением. Существует несколько методов решения этого уравнения. Рассмотрим метод вариации произвольных постоянных, предложенный Ж.Л Лагранжем. Решение однородного уравнения представляется, очевидно, формулой

(5.3)

Чаще используется метод И. Бернулли. В этом случае решение находят в виде у(х) = u(x)v(x). Подставляя в уравнение, получим

сводится к линейному, если переменную х рассматривать как функцию аргумента у:

К линейным приводятся и уравнения вида

называемые уравнениями Бернулли. Достаточно сделать замену х = у1-n. Однако решение уравнения Бернулли удобнее искать в виде у = uv, не приводя к линейному.

Уравнение Рикатти

у'+ а(х) у + b(х) у2 = с(х)

вобщем случае не интегрируется в квадратурах. Но если известно одно частное решение у = у(х), то заменой у = у + z уравнение Риккати сводится к уравнению Бернулли. Частное решение иногда можно подобрать, исходя из

вида свободного члена уравнения.

Например, для уравнения у'+у=2/х2 будем искать у

ввида у=k/х. Подставляя в уравнение, находим k=-1 и k=2. Замена у = z-1/х приводит исходное уравнение к

является следствием нарушения непрерывности в правой части уравнения при х=0.

Пример 1. Решить уравнение

Р е ш е н и е. Данное уравнение является линейным, если рассматривать x как функцию от y

Ищем общее решение данного уравнения в виде x u(y)v(y)

Берѐм любое частное решение этого уравнения,

Следовательно, общим решением будет функция

uu 2 ln x . Откуда, разделяя переменные и интегрируя, v2

получим

Так что общее решение уравнения имеет вид

x

y 1 cx ln x .

Пример 3. Найти решение задачи Коши

y’+y=xy2 , y(0)=1.

Р е ш е н и е. Уравнение Бернулли будем интегрировать с помощью подстановки y=uv. Тогда

y’=u’v+uv’. И после подстановки первоначальное уравнение примет вид:

u’v + uv’ +uv = xu2v2

u’v + u(v’ +v) = xu2v2 (*)

Приравняем к нулю выражение стоящие в скобках

Из общего решения выберем одно частное уравнение v=e-x

Подставляя v в уравнение (*) , получим новое уравнение

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Решаем его

Следовательно, общее решение первоначального уравнения

e x

y xe x e x C .

Для того, чтобы найти С, воспользуемся начальным условием.

1

y x 1 .

1.6 Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y), т.е.