Учебное пособие 1371

А2В2, а второй катет равен разности расстояний концов этого отрезка до той же самой плоскости проекций (здесь - разность координат у для точек А и В) [2].

Задание 3.

Натуральная величина угла наклона АВ к 1 П2 указана на рисунке цифрой … 4 2 3

Решение. Угол наклона гипотенузы А0В2 (это натуральная величина отрезка прямой АВ) к проекции отрезка А2В2 равен углу наклона прямой АВ к фронтальной плоскости проекций. Этот угол обозначен на чертеже цифрой

1[2].

Перпендикулярность на чертеже

Признаки перпендикулярности двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей рассматриваются в стереометрии. Напомним некоторые из них:

-две прямые называются взаимно перпендикулярными, если угол между ними равен 90o;

-прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости (рис. 2,а);

-прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна к любой прямой, принадлежащей этой плоскости (рис. 2,б);

-если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости (рис. 2, в).

На основании указанных признаков в пространстве начертательная геометрия разработала соответствующие признаки для комплексного чертежа.

Проекции прямого угла. Любой линейный угол (острый, тупой, прямой) образуется двумя пересекающимися прямыми. На плоскости проекций он проецируется в общем случае с искажением. Однако если обе стороны угла параллельны какой-либо плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость без искажения, т. е. в истинную величину. Исключение составляет прямой угол, который проецируется в истинную величину и в том случае, когда лишь одна из

11

его сторон параллельна плоскости проекций.

Теорема 2. Прямой угол проецируется в виде прямого угла, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а вторая - не перпендикулярна к этой плоскости проекций (рис. 3,в).

Проекции прямого угла DВС, сторона (ВС) которого параллельна плоскости П1, изображены на рис. 3,а. На рис. 3,б показаны проекции взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых, одна из которых является горизонталью.

Рис. 2. Перпендикулярность двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей

Рис. 3. Проекции прямого угла

12

Прямая, перпендикулярная к плоскости. Для того чтобы прямая была перпендикулярна к плоскости, необходимо и достаточно, чтобы горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, фронтальная проекция - к фронтальной проекции фронтали плоскости (рис. 4).

другой плоскости (или параллельна этой прямой), то она перпендикулярна к этой плоскости.

Следовательно, чтобы построить плоскость, перпендикулярную к задан-

13

ной, нужно:

-либо восстановить к данной плоскости перпендикуляр и через него провести новую плоскость;

-либо провести в заданной плоскости прямую и перпендикулярно к ней взять искомую плоскость.

Таким образом, построение взаимно перпендикулярных плоскостей сводится к построению взаимно перпендикулярных прямых и плоскости (рис. 6).

Примеры тестовых заданий

Задание 4.

Решение. На чертеже прямая перпендикулярна плоскости общего положения, если она перпендикулярна пересекающимся горизонтали и фронтали этой плоскости [2].

14

Решение. Плоскость, проходящая через точку k и перпендикулярная плоскости треугольника АВС, должна содержать прямую, перпендикулярную этой плоскости. Такой прямой является прямая m [2].

Задание 6.

Отрезок АВ правильно определяет проекции расстояния от точки А до прямой m на рисунке ...

Решение. Прямой угол проецируется на плоскость проекций П2 без искажений, так как одна его сторона - прямая m - есть прямая уровня [2].

15

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежа - это способы, с помощью которых можно осуществить переход от общих положений заданных геометрических образов к частным. Преобразовать чертеж можно различными способами:

-заменить данную систему плоскостей новой;

-изменить положение заданных геометрических фигур относительно неподвижных плоскостей проекций;

-изменить направление проецирования. Рассмотрим некоторые их них.

Способ замены плоскостей проекций. Сущность способа состоит в том,

что одну из заданных плоскостей проекций (П1 или П2) заменяют новой плоскостью П4. При этом положение второй плоскости проекций и заданных геометрических фигур остается неизменным. Новая плоскость проекций П4 выбирается с таким расчетом, чтобы она занимала частное положение по отношению

крассматриваемой геометрической фигуре и была при этом перпендикулярной

кнезаменяемой плоскости проекций. Большинство задач решается с применением одного или двух последовательных преобразований исходной системы плоскостей проекций (рис. 7).

Рис. 7. Способ замены плоскостей проекций

Способ вращения. Вращением фигуры вокруг оси называется такое дви-

жение, при котором каждая точка фигуры перемещается по окружности, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, центр расположен в точке пересечения оси вращения с плоскостью вращения, а радиус равен расстоянию от точки до оси вращения. Для упрощения построений на комплексном чертеже в качестве оси вращения выбирают проецирующую прямую или линию уровня

(рис. 8).

16

Примеры тестовых заданий

Задание 7.

Решение. При замене плоскостей проекций геометрический объект в пространстве сохраняет свое положение. Система основных плоскостей проекций дополняется плоскостями, перпендикулярными основным [2].

Решение. Натуральная величина отрезка прямой определена способом вращением вокруг проецирующей прямой [1].

18

Решение. Натуральная величина отрезка прямой определена способом плоскопараллельного перемещения. Плоскопараллельное - это такое перемещение объекта, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных одной плоскости, принятой за неподвижную. В способе плоскопараллельного перемещения за неподвижную плоскость принимают плоскость проекций [2].

Применение способов преобразования чертежа к решению задач

Общие положения. Метрическими называются задачи, связанные с измерением расстояний и углов. В них определяются действительные величины и форма геометрических фигур, расстояния между ними и другие характеристики по их метрически искаженным проекциям. Решение метрических задач основано на том, что геометрическая фигура, принадлежащая плоскости, параллельной плоскости проекций, проецируется на нее в конгруэнтную ей фигуру. Поэтому при решении метрических задач широко используются способы преобразования комплексного чертежа. Выбирая способ преобразования комплексного чертежа при составлении алгоритма, следует исходить из требований компактности чертежа, простоты графических операций, их четкости и наименьшему количеству. Рассмотрим следующие группы метрических задач:

-задачи на определение расстояний между геометрическими образами;

-задачи на определение действительных величин плоских фигур и углов.

Задачи на определение расстояний между геометрическими образами.

Искомое расстояние измеряется длиной отрезка, заключенного между заданными геометрическими образами и перпендикулярного к одному из них (задачи 1 и 4) или одновременно к двум (задачи 2, 3 и 5). Этот отрезок проецируется в конгруэнтный ему отрезок на плоскость проекций, которая будет перпендикулярна одному (задачи 1, 3 и 4) или двум (задачи 2 и 5) геометрическим образам, между которыми определяется расстояние. Отсюда вытекает следующая схема решения задач:

19

-одним из способов преобразования комплексного чертежа привести оба заданных геометрических образа (или один из них) в положение, перпендикулярное какой-либо плоскости проекций;

-построить проекцию искомого отрезка на эту плоскость.

20