Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1326.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

990.5 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

G21 þ q 1r0kk

34 3 Transient Dynamics of Pre-Stressed Spatially Curved Thin-Walled Beams

G 2ðqG2 qG12 rkk0 Þ wðkþ1Þ xð1kxþ1Þ sin u þ xð1kyþ1Þ cos u

xð0kþ1Þ 2 sin 2u þ

hð0kþ1Þ sin u þ gð0kþ1Þ cos u ðK þ sÞ

2G 1

d h

1x sin

1y cos

wðkÞ

1 þ rkk ds

xðkÞ

u þ xðkÞ

xð0kÞ 2 sin 2u þ hð0kÞ sin u þ gð0kÞ cos u ðK þ sÞ

þ F6ðk 1Þ;

ð3:74Þ

G 2

ðq

IA 1k

F 0

2G 1

rkkÞ

P xðkþ1Þ þ

hðkþ1Þ

gðkþ1Þ

þ rkk

IPAxð1kkÞ þ ayFhð0kÞ axFgð0kÞ

þ FðK þ sÞ axhð0kÞ þ aygð0kÞ

þ G 1

qG22ayF þ Iy cos u qG12 þ qG22 þ 2rkk0

xð1kyÞ xð0kÞ sin u þ gð0kÞðK þ sÞ

þ G 1 qG22axF þ Ix sin u qG12 þ qG22 þ 2rkk0

cos

þ sÞ þ

G 1 F

þ q

xðkÞ

þ xðkÞ

u hðkÞ

rkk

ð3:75Þ

ax cos u þ ay sin u xð0kÞ þ F7ðk 1Þ;

where functions Fjðk 1Þ ðj ¼ 4; 5; 6; 7Þ are presented in Appendix 2.

The system of seven equations, (3.61)–(3.63) and (3.72)–(3.75), involves seven unknown values: x0ðkÞ; h0ðkÞ; g0ðkÞ; x1ðkxÞ; x1ðkyÞ; x1ðkkÞ; and wðkÞ; which are deﬁned uniquely from this set of equations.

To ﬁnd these values on the quasi-longitudinal shock wave and on the quasi- q

transverse shock wave, we should put in all equations G ¼ GI ¼ q

and G ¼ GII ¼ G22 þ q 1r0kk; respectively.

3.1.2.1 Solution on the Quasi-Longitudinal Wave

To deﬁne the velocity ﬁeld on the quasi-longitudinal wave, ﬁrst we put in all q

equations from (3.61)–(3.63) and (3.72)–(3.75) G ¼ GI ¼ G21 þ q 1r0kk; i.e. we write this system on the quasi-longitudinal shock wave. As a result we obtain

3.1 Theory of Thin-Walled Beams Based on 3D Equations

dx0

2G 1

ðkÞ

G 1

ðq

þrkkÞ

rkk

hð0kÞ þayxð1kkÞ

sinu gð0kÞ axxð1kkÞ

cosu

þF1ðk 1ÞjG¼GI ;

2G 1

d h

cos

xðkÞ

ðq

þ rkkÞds

þ xðkÞ

hðkÞð þ sÞ

¼ GI 1ðqG12 þ 2qG22 þ 2rkk0 Þ xð1kkÞ sin u F4ðk 1ÞjG¼GI ;

d h

2GI 1ðqG12

þ rkk0 Þ

xð1kyÞ xð0kÞ sin u þ gð0kÞðK þ sÞ

¼ GI 1ðqG12 þ 2qG22 þ 2rkk0 Þ xð1kkÞ cos u F5ðk 1ÞjG¼GI ;

2G 1

d h

1x sin

cos

2 sin 2

ðq

þ rkkÞds

u xðkÞ

wðkÞ xðkÞ

u þ xðkÞ

hð0kÞ sin u þ gð0kÞ cos u ðK þ sÞ ¼ F6ðk 1ÞjG¼GI ;

ð3:76Þ

ð3:77Þ

ð3:78Þ

ð3:79Þ

( d

GI 2ðqG12 qG22Þ hð0kÞ þ ayxð1kkÞ ¼ 2GI 1ðqG22 þ rkk0 Þ

hð0k 1Þ þ ayxð1kk 1Þ

)

þ ðK þ sÞ gð0k 1Þ axxð1kk 1Þ

þ GI 1ðqG12 þ qG22 þ 2rkk0 Þ xð0k 1Þ sin u

(

)

þ GI 1qG22 xð1ky 1Þ xð0k 1Þ sin / þ gð0k 1ÞðK þ sÞ

þ F2ðk 2ÞjG¼GI ;

ð3:80Þ

( d

GI 2ðqG12 qG22Þ gð0kÞ axxð1kkÞ ¼ 2GI 1ðqG22 þ rkk0 Þ

gð0k 1Þ axxð1kk 1Þ

)

ðK þ sÞ hð0k 1Þ þ ayxð1kk 1Þ

G 1

qG12

qG22

2r0

x0k 1 cos u

(þ

ð Þ

)

þ GI 1qG22

xð1kx 1Þ þ xð0k 1Þ cos / hð0k 1ÞðK þ sÞ

þ F3ðk 2ÞjG¼GI ;

ð3:81Þ

36 3 Transient Dynamics of Pre-Stressed Spatially Curved Thin-Walled Beams


GI 2ðqG12 qG22Þ IPAxð1kkÞ þ ayFhð0kÞ axFgð0kÞ
			d
¼ 2GI 1		qG22	þ rkk0		IPAxð1kk 1Þ þ ayFhð0k 1Þ axFgð0k 1Þ
¼ 2GI 1		qG22	þ rkk0	ds	IPAxð1kk 1Þ þ ayFhð0k 1Þ axFgð0k 1Þ

2GI 1			þ 2rkk0
2GI 1		qG22	þ 2rkk0	FðK þ sÞ axhð0k 1Þ þ aygð0k 1Þ
þ GI 1							þ 2rkk0
þ GI 1	qG22ayF þ Iy cos u qG12 þ qG22						þ 2rkk0
h							i
xð1ky 1Þ xð0k 1Þ sin u þ gð0k 1ÞðK þ sÞ
þ GI 1
þ GI 1	qG22axF þ Ix sin u qG12 þ qG22 þ 2rkk0
h							i
xð1kx 1Þ þ xð0k 1Þ cos u hð0k 1ÞðK þ sÞ
þ GI 1					þ 2rkk0
þ GI 1	F qG12 þ qG22				þ 2rkk0	ax cos u þ ay sin u xð0k 1Þ
þ F7ðk 2ÞjG¼GI :								ð3:82Þ

Reference to Eqs. 3.76–3.82 shows that on the quasi-longitudinal wave the discontinuities x0ðkÞ; x1ðkxÞ; x1ðkyÞ; and wðkÞ are deﬁned from the differential Eqs. 3.76–3.79 within the accuracy of arbitrary constants, while the discontinuities h0ðkÞ; g0ðkÞ; and x1ðkkÞ are found from the algebraic Eqs. 3.80–3.82, in so doing the discontinuities h0ðkÞ; g0ðkÞ; and x1ðkkÞ have the higher order than the discontinuities x0ðkÞ; x1ðkxÞ; x1ðkyÞ;

and wðkÞ:

For arbitrary magnitudes of k, the set of Eqs. 3.76–3.79 can be rewritten in the form

					dx0
					ðkÞ	¼ A0ðkÞðsÞ;		ð3:83Þ
					ds	¼ A0ðkÞðsÞ;		ð3:83Þ
			d
				xð1kxÞ þ xð0kÞ cos u			¼ A1ðkÞðsÞ;	ð3:84Þ
		ds		xð1kxÞ þ xð0kÞ cos u			¼ A1ðkÞðsÞ;	ð3:84Þ
			d
				xð1kyÞ xð0kÞ sin u			¼ A2ðkÞðsÞ;	ð3:85Þ
			ds	xð1kyÞ xð0kÞ sin u			¼ A2ðkÞðsÞ;	ð3:85Þ
	d
		wðkÞ xð1kxÞ sin u þ xð1kyÞ cos u xð0kÞ 2 sin 2u ¼ A3ðkÞðsÞ;						ð3:86Þ
	ds	wðkÞ xð1kxÞ sin u þ xð1kyÞ cos u xð0kÞ 2 sin 2u ¼ A3ðkÞðsÞ;						ð3:86Þ
where functions AiðkÞðsÞ ði ¼ 0; 1; 2; 3Þ are presented in Appendix 3.
Integrating (3.83)–(3.86) yields
					Zs
				xð0kÞ ¼ A0ðkÞðsÞds þ c0ðkÞ;				ð3:87Þ
					s0

3.1 Theory of Thin-Walled Beams Based on 3D Equations

				Zs
		xð1kxÞ ¼ xð0kÞ cos u þ c1ðkÞ þ			A1ðkÞðsÞds;	ð3:88Þ
				s0
				Zs
		xð1kyÞ	¼ xð0kÞ sin u þ c2ðkÞ þ		A2ðkÞðsÞds;	ð3:89Þ
				s0
0		Zs		1
		Zs
wðkÞ ¼ @c1ðkÞ þ			A1ðkÞðsÞdsA sin u
		s0
	0		Zs	1	Zs
			Zs		Zs
@c2ðkÞ þ				A2ðkÞðsÞdsA cos u þ c3ðkÞ þ A3ðkÞðsÞds;		ð3:90Þ
			s0		s0

where c0ðkÞ; c1ðkÞ; c2ðkÞ; and c3ðkÞ are arbitrary constants to be determined from the initial conditions.

Reference to Eqs. 3.87–3.90 shows that the main values on the quasi-longitu- dinal wave, which deﬁne the type of this wave, i.e. x0ðkÞ; x1ðkxÞ; x1ðkyÞ; and wðkÞ; are interconnected with each other, since they are expressed in terms of x0ðkÞ:

This coupling is governed by the curvature and the angle u between the reference systems x - y and s n locating in the plane of the strong discontinuity.

Thus, for example, at k = 0 the values h0ð0Þ; g0ð0Þ; and x1ð0kÞ deﬁned by the algebraic Eqs. 3.80–3.82 vanish to zero, while according to (3.87)–(3.90) the

values x0	; x1x	; x1y	; and w	take the form
ð0Þ	ð0Þ	ð0Þ	ð0Þ
			xð00Þ ¼ const ¼ c0ð0Þ;		ð3:91Þ
			xð10xÞ ¼ xð00Þ cos u þ c1ð0Þ;		ð3:92Þ
			xð10yÞ ¼ xð00Þ sin u þ c2ð0Þ;		ð3:93Þ
	wð0Þ ¼ c1ð0Þ sin u c2ð0Þ cos u þ c3ð0Þ
	¼ xð10xÞ sin u xð10yÞ cos u þ xð00Þ 2 sin 2u þ c3ð0Þ;				ð3:94Þ

where c0ð0Þ; c1ð0Þ; c2ð0Þ; and c3ð0Þ are arbitrary constants to be determined from the initial conditions.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022979.62 Кб50Учебное пособие 1320.pdf
#
30.04.2022980.94 Кб1Учебное пособие 1321.pdf
#
30.04.2022981.27 Кб3Учебное пособие 1322.pdf
#
30.04.2022981.6 Кб6Учебное пособие 1323.pdf
#
30.04.2022986.35 Кб10Учебное пособие 1324.pdf
#
30.04.2022990.5 Кб2Учебное пособие 1326.pdf
#
30.04.2022993.76 Кб4Учебное пособие 1327.pdf
#
30.04.2022994.91 Кб3Учебное пособие 1328.pdf
#
30.04.2022998.21 Кб8Учебное пособие 1329.pdf
#
30.04.2022294.32 Кб3Учебное пособие 133.pdf
#
30.04.2022999.11 Кб2Учебное пособие 1330.pdf