Учебное пособие 1293

Примеры тестовых заданий1

Задание 1.

Плоская кривая изображена на рисунке

...

Решение. Плоская кривая линия - это линия, все точки которой лежат в одной плоскости.

1 Приведены тесты, которые встречались среди АПИМ 2008-2011 гг. и в демонстрационных материалах на сайте ФЭПО. Правильный вариант (или варианты) в методических указаниях отмечены точкой или галочками.

12

Решение. Плоскость, не параллельная ни одной образующей конуса, пересекает его по эллипсу.

Задание 3.

Решение. Вращением прямой a вокруг прямой i (a пересекает i в точке S) можно задать коническую поверхность вращения.

Классификация плоских и пространственных кривых

Кривой линией называется совокупность последовательных положений точки, перемещающейся в пространстве.

Кривые линии делятся на плоские, все точки которых лежат в одной плоскости (например, окружность, эллипс, парабола, спираль Архимеда), и пространственные, точки которых не лежат в одной плоскости (например, цилиндрическая винтовая линия, коническая винтовая линия).

Если закон перемещения точки может быть выражен аналитически в виде уравнения, то образующаяся при этом линия называется закономерной, в про-

тивном случае - незакономерной или графической.

Аналитически закономерные линии подразделяют на алгебраические и трансцендентные. В первом случае линию можно описать алгебраическим

13

уравнением, во втором - трансцендентным (например, тригонометрическим). Порядок алгебраической кривой равен степени ее уравнения или максимальному числу точек ее возможного пересечения (действительных, совпавших и мнимых) с прямой линией для плоских кривых или с произвольной плоскостью для пространственных.

Примерами алгебраических кривых служат кривые: второго порядка (коники - эллипс (окружность - частный случай), парабола, гипербола), третьего порядка (циссоида, строфоида, Декартов лист), четвертого порядка (лемниската Бернулли, кардиоида, улитка Паскаля, овалы Кассини - плоские кривые на торе).

К трансцендентным линиям относят графики тригонометрических функций (синусоида, косинусоида), спирали, циклоиды, эвольвенту окружности и др.

Из пространственных линий наибольший практический интерес представляет цилиндрическая винтовая линия (рис. 6). Цилиндрическая винтовая линия - это линия, описываемая точкой при равномерном движении по прямой, если эта прямая равномерно вращается вокруг параллельной ей оси. Высота h, на которую поднимается точка за один полный оборот, называется шагом вин-

товой линии. Угол называется углом подъема винтовой линии. Фронтальная проекция цилиндрической винтовой линии - синусоида, горизонтальная - окружность. Если винтовая линия, нанесенная на цилиндр, имеет на передней (видимой) стороне цилиндра подъем вправо (слева направо), она называется правой (с правым ходом). Левая винтовая линия (с левым ходом) по передней стороне цилиндра идет вверх справа налево.

Рис. 6. Цилиндрическая винтовая линия

14

В практике используется и кони-

ческая винтовая линия (рис. 7) - это линия, которую описывает точка, перемещающаяся равномерно по образующей прямого кругового конуса, если эта образующая совершает вращательное движение с постоянной угловой скоростью вокруг оси конуса. Горизонтальная проекция конической винтовой линии - спираль Архимеда, фронтальная - синусоида с уменьшающейся амплитудой.

Рис. 7. Коническая винтовая линия

Примеры тестовых заданий

Задание 4.

Решение. Цилиндрическая винтовая линия - это линия, которую описывает

15

точка, движущаяся по образующей цилиндрической поверхности; при этом образующая цилиндра равномерно вращается вокруг оси цилиндра.

Задание 5.

Пространственная кривая линия показана на чертеже …

Решение. Пространственная кривая линия - линия, точки которой не лежат в одной плоскости.

16

Решение. Кривой второго порядка является парабола.

ТЕСТЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

17

Задание 3.

Пространственная кривая изображена

на рисунке ...

18

19

Задание 6

Винтовая линия изображена на рисунке

...

20