Учебное пособие 1253

Найдем производные от функции f x :

fx sin x cos x ,

2

fx cosx cos x 2 ,

2

……………………………….

fn x cos x n ,

2

где 0,x .

Приведем разложение по формуле Маклорена некоторых других элементарных функций:

( 1)...( n)(1 ) n 1 xn 1, (n 1)!

где 0,x .

60

Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение дифференцируемой функции.

2.Что называется производной? Каков геометрический и физический смысл производной?

3.Всегда ли непрерывная функция имеет производную?

4.Сформулируйте основные правила дифференцирова-

ния.

5.Выведите формулу производной показательной функции исходя из определения производной.

6.Выведите формулы производных обратных тригонометрических функций.

7.Что собой представляет логарифмическое дифференцирование? Когда целесообразно его использование?

8.Как производится дифференцирование сложных функ-

ций?

9.Выведите уравнения касательной и нормали к графику функции.

10.Как находится производная второго порядка параметрически заданной функции?

11.Дайте определение дифференциала функции.

12.Что такое правило Лопиталя?

13.О чем говорит теорема Тейлора?

14.Каков смысл остаточного члена?

15.Чем отличается формула Маклорена от формулы

Тейлора?

Задачи для самостоятельного решения

Найти производные функций:

4. y arcsinsin x.

cos x

Ответ: y .

2sin x sin2 x

Найти производные функций, заданных параметрически:

Ответ: y t . 2

62

Найти производные неявно заданных функций:

Найти тангенс угла наклона касательной к кривой

12. x = t -sint, y =1-cost при t .

2

Ответ: tg 1.

Вычислить производные различных порядков:

63

22. Написать формулу Маклорена третьего порядка для функции y = arctgx.

64

4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

4.1. Возрастание и убывание функции

Одним из простейших приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции.

Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.

Теорема. (Необходимое условие возрастания (убыва-

ния) функции). Если непрерывная и дифференцируемая на интервале a,b функция f x возрастает (убывает), то для лю-

f x 0 f x 0 .

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что для возрастающей дифференцируемой функции касательная к графику имеет положительный угловой коэффициент и образует острые положительные углы с положительным направлением оси Ох. Для убывающей дифференцируемой функции касательная к графику функции в любой точке имеет отрицательный угловой коэффициент.

Теорема. (Достаточное условие возрастания (убыва-

4.2. Максимум и минимум функции

Точка x0 называется точкой максимума (точкой мини-

мума) функции y f x , если существует такая -окрестность точкиx0 , что для всех остальных значений x из этой окрест-

ности будет выполняться неравенство

f x0 f x , ( f x0 f x ).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции.

Понятие экстремума функции является локальным для функции, поскольку всегда связано с определенной окрестностью точки из области определения функции. Необходимо отметить, что точки экстремумов могут быть только внутренними точками области определения. Рассмотрим необходимое условие существования экстремума функции.

Теорема. (Необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция y f x имеет в точке x x0 максимум или минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т.е

f x0 0.(обратное не верно).

Доказательство. Рассмотрим случай, когда точка x0 яв-

ляется точкой максимума. Это означает, что в окрестности

по условию теоремы существует, а

66

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что в точке экстремума дифференцируемой функции y f x касательная к её графику параллельна оси Ox .

Точки, в которых производная обращается в нуль, назы-

ваются стационарными.

Однако, можно привести ряд примеров, когда обращение в нуль производной не связано с наличием экстремума. На-

пример, для функции y x3 её производная y 3x2 равна ну-

лю при x 0, но в начале координат функция y x3 не имеет экстремума.

Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной. Например, непрерывная функция y x в

точке x 0 производной не имеет, но точка x 0 является точкой минимума.

Точки непрерывности, в которых производная функции равна нулю, или не существует называются критическими точками первого рода.

Теорема. (Достаточное условие экстремума). Если не-

прерывная функция y f x дифференцируема в некоторой

-окрестности критической точки x0 и при переходе через

при переходе через точку x0 слева направо меняет знак с плю-

са на минус. Тогда функция y f x возрастает на промежуткеx0 ,x0 и убывает на промежутке x0,x0 . Отсюда сле-

67

симума функции в точке x0 .

Аналогичным образом можно рассмотреть случай изменения знака производной с минуса на плюс при переходе через точку x0 .

Производная непрерывной функции не существует при x1 0 и равна нулю при x2 8. Две критические точки разбивают всю область определения функции на три интервала,0 , 0,8 , 8, . Определим знаки производной на каждом из трех интервалов.

В некоторых задачах удобнее использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на определении знака второй производной.

68

Теорема. (Второй достаточный признак существова-

ния экстремума). Если в точке x0 первая производная функ-

Аналогично доказывается, что если f x0 < 0, то в точке x0 функция имеет максимум.

4.3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Рассмотрим функцию y f x , непрерывную на отрезкеa,b . Тогда такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять

либо в точках экстремумов, либо на граничных точках отрезка

a,b .

Получаем следующее правило нахождения наибольшего

инаименьшего значений функции на a,b :

1)найти критические точки первого рода функции на интервале a,b ;

69