Учебное пособие 1253
.pdfВ точке A функция имеет наибольшее значение z1=7. В
точке M1 функция имеет наименьшее значение z1 11. 4
Вопросы для самопроверки
1.Дайте определение функции двух переменных.
2.Каков геометрический образ функции двух перемен-
ных?
3.Что называется линией уровня функции двух пере-
менных?
4.Что является частным приращением функции двух переменных?
5.Дайте определение частной производной функции двух переменных?
6.Каков геометрический смысл частной производной?
7.Что такое полный дифференциал функции двух пере-
менных?
8.Дайте определение производной функции по направлению вектора.
9.Что такое градиент функции двух переменных?
10.Что показывает направление градиента?
11.О чем говорит модуль градиента?
12.Сформулируйте теорему о необходимом условии экстремума функции двух переменных.
13.Как определить, максимум или минимум находится в точке экстремума?
14.Как найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области?
Задачи для самостоятельного решения
Найти частные производные функций:
1. z arctg xy . Ответ: |
z |
|
|
y |
, |
z |
|
x |
. |
x |
|
|
|
1 x2 y2 |
|||||
|
1 x2 y2 |
|
y |
|
|||||
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
zy
2. |
z xy 2 . Ответ: |
z |
y 2 xy 1 , |
|
z |
|
|
xy 2 ln x. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
z arcsin x y . |
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
1 |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 x y 2 |
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 x y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
z ln |
|
|
x2 |
y2 |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x2 y2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: |
z |
|
|
|
2 |
|
, |
z |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
x2 y2 |
|
|
|
y x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
z ex . Ответ: |
|
ex |
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Найти полные дифференциалы от функций:
|
|
x |
dz |
dx |
|
dy |
|||
6. |
z ln |
|
|
. Ответ: |
|
|
. |
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
||||
7. |
z x2 y cosx ey 1 . |
|
|
|
|
Ответ: dz 2xy sin x dx x2 ey 1 dy . 8. z ex2 y . Ответ: dz ex2 y 2xdx ex2 ydy.
Вычислить частные производные второго порядка:
9. z x3 4x2 y 5y2 . Ответ: 2z 6x 8y, 2z 10,
x2 y2
2z 8x.x y
101
|
|
10. |
z ex ln y sin yln x. |
|
|
Ответ: |
|
2z |
ex ln y |
sin y |
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2z |
|
ex |
sin yln x, |
|
|
2z |
|
|
|
ex |
|
|
|
cosy |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
y2 |
y2 |
|
x y |
|
|
y |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
11. Найти |
производную |
функции |
z 5x2 3x y 1 |
в |
||||||||||||||||||||||
точке M 2,1 в направлении вектора l |
3,4 . Ответ: 9,4. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
12. |
Найти |
градиент |
|
|
и |
|
|
его |
|
модуль |
для функции |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
u |
|
x2 y2 z2 |
в точке М (1;2;2). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Ответ: gradu |
|
|
i |
|
|
|
j |
|
|
k ; |
gradu |
1. |
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
3 |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследовать на экстремумы функций:
13. z x3y2 1 x y . Ответ: максимум находится в точ-
1 1
ке , .
2 3
14. z x2 xy y2 1 1 . Ответ: минимум находится в x y
1 1
точке , .
3 3 3 3
102
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотренные разделы высшей матаматики являются базовыми и входят в обязательный перечень тем, необходимых для успешного освоения специальных дисциплин по направлению 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств».
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов / Н.С. Пискунов. М.: Наука, 1985. Т. 1.
2.Толстов Г.П. Элементы математического анализа / Г.П. Толстов. М.: Наука, 1974. Т. 1.
3.Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. М.: Наука, 1975.
4.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для втузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. М.: Высш. шк., 1996. Ч. 1.
103
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение………………………………………………………… |
3 |
1. Введение в математический анализ…………………… |
4 |
1.1. Понятие множества и операции над множествами |
4 |
1.2. Понятие функции…………………………………… |
5 |
1.3. Способы задания функций………………………….. |
6 |
1.4. Классификация функций…………………………… |
7 |
1.5.Некоторые классы функций………………………... 9 Вопросы для самопрорверки……………………..... 10
2.Предел. Непрерывность функции……………………...….. 10
2.1Предел функции………………………………………. 10
2.2.Бесконечно малые величины и их основные свойства……………………………………………... 12
2.3.Основные теоремы о пределах……………………... 13
2.4. Предел функции sin x при x 0 (первый замеча-
x |
14 |
тельный предел)…………………………………...... |
|
2.5. Число e. Второй замечательный предел…………… |
16 |
2.6.Раскрытие некоторых неопределенностей………... 17
2.7.Сравнение бесконечно малых величин……………. 21
2.8.Непрерывность функции в точке………………….. 23
2.9. Точки разрыва функции и их классификация…….. 25
2.10.Основные теоремы о непрерывных функциях…... 27
2.11.Свойства функций, непрерывных на отрезке……. 28 Вопросы для самопрорверки……………………..... 30 Задачи для самостоятельного решения……………. 30
3. Производная функции и ее приложения…………………… |
32 |
3. 1. Определение производной………………………… |
32 |
3.2. Геометрический и физический смысл производной |
34 |
3.3. Правила дифференцирования……………………… |
36 |
3.4.Производная степенной, показательной и тригонометрических функций……………………………... 38
104
3.5. Обратные функции. Производная обратной функ-
ции…………………………………………………... 40
3.6.Сложная функция. Производная сложной функции. 42
3.7.Гиперболические функции и их производные……. 43
3.8.Таблица производных………………………………. 44
3.9.Метод логарифмического дифференцирования….... 45
3.10.Производная параметрически заданной функции... 46
3.11.Неявная функция и ее дифференцирование……... 47
3.12.Уравнение касательной и нормали к графику
функции…………………………………………….. 48
3.13.Производные высших порядков явно заданной функции……………………………………………… 49
3.14.Производные второго порядка от функций, задан-
ных параметрически………………………………… 50
3.15.Понятие дифференциала функции………………... 51
3.16.Дифференциалы высших порядков……………….. 52
3.17.Правило Лопиталя………………………………….. 53
3.18.Формула Тейлора…………………………………… 57
3.19.Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена………………………………..... 58
Вопросы для самопрорверки……………………….... |
61 |
Задачи для самостоятельного решения……………... |
61 |
4. Исследование функций и построение графика функции….. |
65 |
4.1. Возрастание и убывание функции……………….… |
65 |
4.2. Максимум и минимум функции………………….… |
66 |
4.3. Наибольшее и наименьшее значение функции |
|
на отрезке……………………………………………. |
69 |
4.4. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки |
|
перегиба……………………………………………... |
70 |
4.5. Асимптоты графика функции и их построение…… |
72 |
4.6.Общая схема исследования функции и построения графика………………………………………………. 74
Вопросы для самопрорверки………………….......... 82 Задачи для самостоятельного решения…………….. 83
105
5. Функции нескольких переменных............................…….…. |
83 |
5.1. Понятие функции двух перемен- |
83 |
ных………………… |
|
5.2. Частные производные и частные дифференциалы |
|
первого порядка......................................................... |
85 |
5.3.Полное приращение функции и полный диффе-
ренциал...................................................……………. 88
5.4. Производная по направлению. Градиент................ |
89 |
5.5. Частные производные и дифференциалы высших |
|
порядков....................................................................... |
92 |
5.6. Дифференцирование функций, заданных неявно..... |
94 |
5.7. Экстремум функции несколькихпеременных. |
|
Необходимое условие...................................................... |
95 |
5.8. Достаточный признак экстремума........................... |
96 |
5.9. Наибольшее и наименьшее значение функции в |
|
замкнутой области........................................................ |
97 |
Вопросы для самопроверки.......................................... |
100 |
Задачи для самостоятельного решения……………... |
100 |
Заключение……………………………………………………… |
103 |
Библиографический список..................................................... |
103 |
106
Учебное издание
Горбунов Валерий Викторович Соколова Ольга Анатольевна
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Часть 2
В авторской редакции
Компьютерный набор В.В. Горбунова
Подписано в печать 30.05.2017.
Формат 60х84/16. Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 6,7. Уч.-изд. л. 5,5. Тираж 250 экз.
Зак. № 71.
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14
Участок оперативной полиграфии издательства ВГТУ 394026 Воронеж, Московский просп., 14