Учебное пособие 1244
.pdf
Пример 2. Функцию из примера 1 разложить в ряд Фурье по косинусам.
Решение. Продолжим данную функцию на отрезок 2, 0 чет-
ным образом, а получившуюся функцию, в свою очередь, продолжим периодически (период T 2l 4 ) на всю числовую ось (рис.7).
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-6 |
-2 |
0 |
1 2 |
6 x |
||||
Рис. 7
Вычисляем коэффициенты ряда Фурье по формулам
|
|
a |
|
2 |
2 |
f x dx |
1 dx |
2 xdx |
5 |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
k x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
k x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
k x |
|
||||||||
ak f x cos |
|
dx cos |
dx x cos |
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
k x |
|
1 |
|
2x |
|
k x |
|
|
|
4 |
|
|
|
k x |
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 2 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
k |
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
k |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
k |
cos |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
k 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд , окончательно получим
|
5 |
|
4 |
|
1 |
|
|
k |
|
k |
k x |
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
cos |
|
cos |
|
. |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
k 1 k 2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||
Пример 3. Функцию из примера 1 разложить в ряд Фурье по синусам.
48
Решение. Продолжим данную функцию на отрезок 2, 0 не-
четным образом, а получившуюся функцию, в свою очередь, продолжим периодически (период T 2l 4 ) на всю числовую ось (рис. 8).
|
|
y |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-6 |
-2 |
0 |
1 2 |
6 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8
Вычисляем коэффициенты ряда Фурье по формулам
|
2 |
|
|
|
|
|
|
k x |
|
|
|
1 |
|
|
k x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
k x |
|
|
|
||||||||||||||
bk f x |
sin |
|
dx sin |
dx x sin |
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
k x |
|
1 |
|
|
|
2x |
|
|
k x |
|
|
|
|
4 |
|
|
k x |
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k 2 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
1 k |
|
4 |
|
|
|
sin |
k |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
k |
k |
k 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(10.5), окончательно получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
k x |
|
|
||||||||||||
f x |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
sin |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
k 1 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
№№ 12.495, 12.497, 12.500 [6].
Форма отчетности: устный опрос, контрольна
49
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данные методические указания помогут студентам самостоятельно изучать теоретические вопросы вышеуказанных тем курса математики, а также предоставят студентам широкие возможности для самостоятельного изучения и практической части .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.1.,2. - М.:Наука, 1985.
2.Мантуров О.В. Курс высшей математики. – М.:
Высш. шк., 1991.
3.Берман Г.Е. Сборник задач по курсу математического анализа для втузов. - М.: Наука, 1985.
4.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1.,2. - М.: Высш. шк.,
1980.
5.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Гостехиздат, 1953.
6.Сборник задач по математике для втузов. Ч.2. Специальные разделы математического анализа / Под ред. А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича. - М.:Наука, 1986.
7.КатраховаА.А., Купцов В.С.,Курс лекций по дисциплине «Математика».Учеб.пособие / Воронеж. гос.техн.ун-т. Воронеж, 2015. 302 с.
50
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………...……..1 Занятие № 15. Интегрирование дифференциальных биномов. Подстановки Чебышева. Подстановки Эйлера…..1 Занятия № 16. Несобственные интегралы.Приложения
определенного интеграла………………………………………...6 Занятие № 17. Дифференцирование неявных функций. Уравнение касательной и нормали к поверхности. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области………..……......16 Занятие № 18. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным…….…………………………………………...…...20 Занятие № 19. Дифференциальное уравнение Бернулли……..22 Занятие № 20. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной (Клеро, Лагранжа)…………..……23 Занятие № 21. Дифференциальные уравнения,допускающие понижение порядка.Метод Лагранжа для уравнений 2- го порядка с переменными коэффициентами…………….………..25 Занятие № 22. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами со специальной правой частью……………………...…………29 Занятие № 23. Решение систем дифференциальных
уравнений (метод исключения)……………………………...32 Занятие № 24. Понятие о теории устойчивости Ляпунова ..36 Занятие № 25. Приближенное решение дифференциальных уравнений……………………….………………………………..40 Занятие № 26. Применение степенных рядов к вычислению определенных интегралов и интегрированию дифференциальных уравнений…………………………………………………...41 Занятия № 27.Разложение в ряд Фурье функций, заданных на интервале (0, l)…………………………………………………...46 Заключение………………………………………………………50 Библиографический список…………………..………………...50
51
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по организации самостоятельной работы по курсу «Математика» по направлениям 13.03.02 «Электроэнергетика
иэлектротехника» (профили: «Электромеханика», «Электропривод и автоматика», «Электроснабжение», «Электропривод
иавтоматика робототехнических систем»), 27.03.04 «Управление в технических системах» (профиль: «Управление и информатика в технических системах»), очной формы обучения
Часть 2
Составители: Катрахова Алла Анатольевна, Купцов Валерий Семенович, Васильев Евгений Михайлович
В авторской редакции
Подписано к изданию 26.09. 2016. Уч.-изд. л. 3,2.
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный техническийуниверситет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14
52