Учебное пособие 1244

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ются из системы уравнений

. Отсюда нахо-

дим три положения равновесия O 0, 0 ,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

902.72 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

3) Если a 0 , то	x	x	x ta	ta	x	при
3) Если a 0 , то	x	x	x ta	ta	x	при
	ч	ч	0		0

t . Следовательно, решение неустойчиво.

Пример 2. Исследовать на устойчивость все положения равно-


dx	2x y x3

		.
весия системы уравнений dt
dy	x 2 y 3x	5


dt

Решение. Положения равновесия данной системы определя-

Исследуем вопрос устойчивости каждого из них, для чего

определяем производные

2x y x3 2 3x2 ,

2x y x3

2 y 3x5 1 15x4 ,

x 2y 3x5 2 .

1) Для точки O 0, 0

получаем

a 2 ,

b 1, c 1,

d 2 .

Поэтому соответствующая система первого приближения име-

		dx		2x y
				2x y
ет вид				. Ее характеристическое	уравнение
ет вид		dt		. Ее характеристическое	уравнение
			dy	x 2 y
				x 2 y

		dt
	2	1		2 4 5 0 . Корни этого	уравнения
	2	1
	1	2
	1	2

1,2 2 i . Значит,

положение равновесия O 0, 0 является

устойчивым фокусом.

2) Для точки A 1,1 получаем a 1,

b 1, c 14 , d 2 .

Поэтому

соответствующая

система первого

приближения

d x 1

x 1 y 1

имеет

вид

. Ее характеристиче-

y 1

14 x 1 2 y 1

ское

уравнение

16 0 .

Корни

этого

уравнения

0 . Значит,

поло-

жение равновесия A 1,1 неустойчиво и является седлом.

3) Для точки B 1, 1

получаем a 1,

b 1,

c 14 , d 2 .

Поэтому соответствующая система первого приближения име-

					d x 1			x 1 y 1

					dt
ет вид					dt					.		Ее	характеристическое
ет вид				y 1						.		Ее	характеристическое
		d		y 1		14 x 1 2 y 1
						14 x 1 2 y 1
					dt
уравнение					1		1		2 16 0 . Корни этого уравне-
уравнение					1		1		2 16 0 . Корни этого уравне-
					14 2

ния			1 65			0		и			1 65	0 .	Значит, положение
ния						0		и				0 .	Значит, положение
	1			2					2	2
				2						2
равновесия B 1, 1								неустойчиво и является седлом.

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

В задачах №№ 1, 2 исходя из определения устойчивости по Ляпунову, выяснить устойчивость решения дифференциаль-


ных уравнений	dx		f t, x		с начальным условием x 0 0 .
ных уравнений	dt		f t, x		с начальным условием x 0 0 .
	dt
1)		dx		1 t x .		2)	dx	sin2 x .
1)		dt		1 t x .		2)	dt	sin2 x .
		dt					dt

В задачах №№ 3–10 исследовать тип положения равновесия систем и построить фазовые траектории.

3x 2 y ,

x 4 y .

x ,

x 2 y .

2 y ,

2x 3y . 6)

x y

x y .

4x 2 y ,

2x y .

0 ,

x y .

x y ,

x y .

10)

x ,

y .

В задачах №№ 11, 12 исследовать на устойчивость все положения равновесия систем.

	dx		x x y 2			dx		sin y

11) dt						, 12) dt		.
		dy		y 1	x		dy	sin x

		dt				dt

Форма отчетности: конспект, устный опрос.

ЗАНЯТИЕ № 25.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

При изучении этой темы воспользуйтесь методическими указаниями к выполнению лабораторных работ на языках программирования высокого уровня .

Контрольные вопросы и задания

1. В чем состоит метод Эйлера приближенного решения дифференциального уравнения вида y f x, y ? Опишите алгоритм метода?

2.Что такое ломаная Эйлера? Как она соотносится с интегральной кривой?

3.Каков алгоритм метода Адамса приближенного решения дифференциальных уравнений?

4.Как выводится формула Адамса? Как при этом используется формула Тейлора?

5.Какой метод более точный: метод Эйлера или метод Адамса?

6.В чем заключается метод Рунге-Кутта приближенного решения дифференциальных уравнений?

7.Какие Вы еще знаете методы численного решения дифференциальных уравнений?

8.Как ищется приближенное решение систем дифференциальных уравнений первого порядка?

9.Составить программу для приближенного решения уравнений или систем одним из перечисленных методов.

Форма отчета: программа и результаты счета.

ЗАНЯТИЕ № 26

ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

КВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГЛОВ

ИИНТЕГРИРОВАНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

Литература: [1], c. 290-294

Контрольные вопросы и задания

1.При каких условиях степенной ряд можно почленноинтегрировать и интеграл от суммы равен сумме интегралов?

2.Как используются степенные ряды для приближенных вычислений определенных интегралов?

3.Когда степенной ряд можно почленнодифференцировать и производная суммы равна сумме производных?

4.Как найти приближенное решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда?

5.Если решение представимо в виде ряда Тейлора, как находится приближенное решение?

6.В чем состоит метод решения дифференциального уравнения с помощью степенных рядов?

Примеры решения задач Пример 1. С помощью разложения в степенной ряд вычислить

1 2		dt
интеграл I		dt	с точностью до 0,0001.


	1 t4
0	1 t4

Решение. Разложим подынтегральную функцию в биномиаль-

ный ряд			1 x m 1										m			x				m m 1					x2		,		полагая	в нем
ный ряд			1 x m 1													x									x2		,		полагая	в нем
												1!										2!
x t4 , m					1	:			1					1					1		t4			1 3		t8			. Этот ряд схо-
					2														2					2 2 2
								1	t			4
												4

дится при		t		1. Интегрируя его, найдем																										1 2
дится при		t		1. Интегрируя его, найдем
					1 2				1			4			3			8										t5	t9
					1 2				1			4			3			8										t5	t9
			I				1				t						t						dt t
			I				1				t						t						dt t

					0				2						8												10		24	0
					0																									0
	1					1						1									0,50000 0,00313 0,00008
						25				24				29							0,50000 0,00313 0,00008
2			10			25				24				29

Полученный результат представляет знакочередующийся сходящийся числовой ряд. Взяв сумму первых двух его чле-

нов, получим приближенное значение интеграла с заданной

точностью: I 0,50000 0, 00313 0, 49687 0, 4969 ,	так как
абсолютное значение третьего члена меньше 0,0001.	Заметим

здесь, что промежуточные вычисления проводятся с одним лишним знаком после запятой.

Пример 2.				Найти решение дифференциального		уравнения
		y				0 0.

	x		y 0
y					с начальными условиями y 0 1, y

Решение. Полагая, что искомое решение представляет сходящийся степенной ряд


y a0 a1x a2 x2	ak xk	ak xk ,
		k 0

найдем ряды для y и y его почленным дифференци-

рованием

y a1 2a2 x 3a3x2 k 1 ak 1xk k 2 ak 2xk 1

y 2a2 6a3x 12a4 x2			k 2 k 1 ak 2 xk .
Используя начальные условия, найдем значения двух
первых коэффициентов:		y 0 a0	1,	y 0 a1	0 . Подстав-
ляя ряды для y , y	и y в исходное уравнение и сделав приве-
дение подобных слагаемых, получим
1 4a 9a x a 16a x2 a 25a x3
2	3	2	4	3	5
	ak k 2 4k 4 ak 2 xk				0 .

Приравнивая к нулю все коэффициенты ряда, стоящего в левой части этого равенства, получаем систему уравнений

x0	1 22 a 0
		2
x1	32 a 0
		3
x2	a	42 a	0
	2	4
x3	a	52 a	0
	3	5
	..................................
xk	a k 2 2 a			k 2	0
	k			k 2
	..................................

из которой определяем значения остальных коэффициентов:

a a a	a		0 ,	a	1	,	a	1
a a a	a		0 ,	a		,	a
3 5 7	2m 1			2	22		4	2242
					22			2242
		,

	1
a6		, …, a2m		1 m			1 m	,
a6	224262	, …, a2m	224262		2m 2	4m m! 2		,
	224262		224262		2m 2	4m m! 2

….

Таким образом, искомое частное решение дифференци-

ального уравнения имеет вид

y 1

1! 2

2! 2

4m m! 2

m! 2

m 0

Пример 3. Найти первые шесть членов разложения в ряд решения уравнения y xsin y , удовлетворяющего начальным

условиям y 1 0 , y 1 2 .

Решение. Будем искать решение уравнения в виде ряда Тейло-

		k	1
ра: y x	y		1	x 1 k	. Подставляя в исходное уравне-
ра: y x		k !		x 1 k	. Подставляя в исходное уравне-
k 0		k !
k 0
					44

, находим

1 1 sin

1 . Далее, по-

ние x0 1 и y 1

следовательно дифференцируя уравнение, имеем

y sin y xy cos y ,

y 1 1,

sin y

cos y

xy y

2y cos y xy cos y x y 2 sin y ,

yIV 1 1,

2y cos y 2 y 2 sin y y cos y xyIV cos y

xy y sin y y 2 sin y 2xy y sin y x y 3 cos y

3y cos y 3 y 2 sin y 3xy y sin y xyIV cos y

x y 3 cos y ,

yV 1 3 3 6 .

Так как первое слагаемое ряда

y 1 0 , то вычислим

еще

cos y

sin y

6y y

sin y

cos y

3x y

3y y

sin y

3xy y

sin y

cos y

yIV cos y xyV cos y xyIV y sin y y 3 cos y

3x y 2

y cos y x y 4 sin y ,

yVI 1 3 6 3 3 3 1 1 10 .

Таким образом, первые шесть членов разложения в ряд частного решения уравнения имеют вид

y x 2 x 1 12 x 1 2 16 x 1 3 241 x 1 4

1	x 1 5	1	x 1 6 .
20		72

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

№№ 2930, 2931, 2935, 2936 [3]; 12.325, 12.326, 12.327,

12.329, 12.332 [6].

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.

ЗАНЯТИЕ № 27

РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА ИНТЕРВАЛЕ (0, l)

Литература: [1], 331-333; [7], 257-259.

Контрольные вопросы и задания

1.Какой ряд называется тригонометрическим?

2.Сформулируйте достаточный признак разложимости функций в ряд Фурье.

3.Как разложить в ряд Фурье периодическую функцию с пе-

риодом 2 ?

4.Выведите формулы для вычисления коэффициентов ряда Фурье, если функция имеет период 2l .

5.Как разложить в ряд Фурье функцию, заданную на интерва-

ле 0, l ?

6.Что означает: "продолжить функцию четным образом", "нечетным образом"?

7.Как будет выглядеть график функции, продолженной четным или нечетным образом?

8.Как при таких продолжениях определяются коэффициенты разложения в ряд Фурье?

Примеры решения задач

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на ин-

тервале 0, 2 :	1,	0	x 1
тервале 0, 2 :	f x		x 2	.
	x, 1		x 2
			46

Решение. Продолжаем периодически данную функцию на всю числовую ось (рис. 6).

-4

-2

Рис. 6 Вычисляем коэффициенты ряда Фурье по формулам , учитывая, что T l 2 :

a	2	2	f x dx	1	1dx	2 xdx x		1		x2	2	5

													,
	2							0				2
0									2
2		0		0	1	1	2				1


ak f	x cos k x dx cos k x dx x cos k x dx
0					0		1

	sin k x	1		sin k x	cos k x		2


			x
	k			k	k 2 2
		0					1


	2			1		2
bk f x sin k x dx sin k x dx
	0			0		1

1 1 k ,

k 2 2

x sin k x dx

cos k x

sin k x

k 2 2

Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд , окончательно получим

	5		1	1	1 1	k
f x

4		k 1 k			k

cos k x sin k x .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022288.61 Кб3Учебное пособие 124.pdf
#
30.04.2022898.88 Кб26Учебное пособие 1240.pdf
#
30.04.2022899.42 Кб11Учебное пособие 1241.pdf
#
30.04.2022900.68 Кб3Учебное пособие 1242.pdf
#
30.04.2022902.67 Кб55Учебное пособие 1243.pdf
#
30.04.2022902.72 Кб2Учебное пособие 1244.pdf
#
30.04.2022905.24 Кб6Учебное пособие 1245.pdf
#
30.04.2022906.77 Кб7Учебное пособие 1246.pdf
#
30.04.2022907.47 Кб2Учебное пособие 1247.pdf
#
30.04.2022907.69 Кб4Учебное пособие 1248.pdf
#
30.04.2022908.02 Кб4Учебное пособие 1249.pdf