Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1244

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

902.72 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Первое уравнение умножим на 7, второе на 2 и сложим их. Этим исключим параметр из системы:

70 y2	40xy 14x 70 0

	x	7 y	7
		7 y

		2

Непосредственной подстановкой приходим к уравнению, которое после сокращений имеет вид 30y2 47 y 4 0 . Отсюда находим y1 1,5 , y2 0,1 и из системы получаем точки M1 1, 75;1,5 , M2 6, 65;0,1 , принадлежащие отрезку AB

.Вычисляем значения функции в стационарных точках z M1 z 1, 75;1,5 25,9 ,

z M2 z 6, 65;0,1 22,9

и на концах отрезка
z A z 7;0 20 ,	z B z 0; 2 1 .

Сравнивая все полученные величины, приходим к выводу: наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке A , а наименьшее в точке M1 .

Пример 2.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z 2x3 6xy 3y2 в замкнутой области,				ограниченной осью
Oy , прямой y 2	и параболой y x2		2 при x 0 (рис. 5).
Решение.	y
	y
	2 A	Q	B
	2 A		B
	1	H
		P
	O
	0	1 2	2	x

Рис. 5

1) Находим стационарные точки функции.
z	6x2 6 y	;		z	6x 6 y .
x	6x2 6 y	;			6x 6 y .
x				y
Решив систему уравнений
		2	6 y 0
	6x		6 y 0			,
						,

	6x 6 y 0
получим две стационарные точки O 0,0 и							H 1,1 . Первая из

них принадлежит границе области. Следовательно, если функ-

ция z принимает наибольшее (наименьшее) значение во внут-
ренней точке области, то это может быть только в точке H		1,1 .
Найдем z(H ) z(1;1) 1 .
2) Исследуем функцию на границе области
а) на отрезке OA имеем	x 0 , поэтому z 3y 2
0 y 2 - возрастающая функция	одной переменой	y ;

наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка OA. Найдем

z O z 0;0 0;		z A z 0;2 12;
б) на отрезке	AB	имеем y 2 , следовательно,
z 2x3 12x 12 0 x 2	представляет функцию одной пе-

ременной x ; ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди ее значений в критических точках и на концах отрезка.

Решая уравнение z 6x2 12 0 , находим x1,2 2 . Внутри

отрезка 0 x 2 имеется лишь одна						критическая точка
x
		2 ; соответствующей точкой отрезка AB является точка
Q	2;2 . Итак, наибольшее и наименьшее значения функции z
на отрезке AB находятся среди ее значений в точках A , Q и
B . Найдем
			z Q z	2; 2 12 8		z B z 2;2 4;
					2;
	19

в) на

дуге OB

параболы

y x2

2 имеем

0 x 2 . Решая

0 ,

z 4 x

уравнение

получим

x1 0 и x2

1; соответствующими точками парабо-

лы являются

точки

O 0,0 и

P 1;1 2 .

Таким

образом,

наибольшее и наименьшее значения функции

z на дуге

находятся среди ее значений в точках O ,

P и B . Найдем

z P z 1;1 2 1 4 .

Сравнивая значения функции

z 2x3 6xy 3y2 в

точках H , O ,

A , Q ,

B и P , получим решение задачи

zнаиб z A 12,

zнаим z H 1.

Задачи и упражнения для самостоятельного решения Решить задачи: [6], 3.25, 3.26, 3.27, 3.28, 3.35, 3.36, 3.37, 3.38.

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.

ЗАНЯТИЕ № 18

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К ОДНОРОДНЫМ

Литература: [1], c. 25-30; [3], c. 113-114; [7], c. 190-192

Контрольные вопросы и задания

1.Какие уравнения первого порядка называются однородными?

2.Как решаются такие уравнения?

3.Укажите вид уравнений, приводящихся к однородным.

4.Какие два случая различают при решении таких уравнений? Каков алгоритм решения в каждом из этих случаев?

Пример решения задач Пример. Решить дифференциальное уравнение

y 2 dx 2x y 6 dy 0 .

			y 2

Решение. Приведем уравнение к виду	y	2x y 6		. Это
Решение. Приведем уравнение к виду	y	2x y 6		. Это

уравнение можно привести к однородному. Сделаем подста-

новку x u x0 , y v y0 . Подберем x0			и	y0 так, чтобы
y0	2 0	. Решая систему, находим x0		2 ,		y0 2 .
	y0 6 0
2x0
Тогда исходное уравнение принимает вид			dv		v	, т.е. яв-
			du		2u v

ляется однородным. Совершая подстановку v ut u , получим

t u

. Далее, разделив переменные, получим урав-

2u ut

t 2

нение

, проинтегрировав которое будем иметь

t t 1

. Учитывая, что t

y 2

записываем общий инте-

x 2

y 2 2

грал исходного дифференциального уравнения

C .

x y 4

Разберите также решения примеров № 552, 553 [3].

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

y 1

2) x y 2 dx 3x y 2 dy 0 ;

;

x y 2

3) x y 1 dx 2x 2y 1 dy 0 ; 4)

3x 4 y 2

3x 4 y 3

.5) Определить кривые, у которых отрезок касательной от точ-

ки касания M до пересечения с осью Ox равен отрезку, отсекаемому касательной от оси Ox .

Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет.

ЗАНЯТИЕ № 19

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Литература: [1], c. 30-35; [7], c. 192-194.

Контрольные вопросы и задания

1.Какие уравнения первого порядка называются линейными?

2.Какими методами решаются линейные дифференциальные уравнения?

3.В чем состоит метод Бернулли?

4.В чем состоит метод Лагранжа?

5. Какой вид имеет уравнение Бернулли?

6. Приведение уравнения Бернулли к линейным уравнениям? 7. Можно ли решать уравнение Бернулли, не приводя его к линейному виду?

Пример решения задач Пример. Решить дифференциальное уравнение

x y x

y .

Решение.Это

уравнение

Бернулли

n 1 2 .

Полагаем

y x u x v x .

Получаем

уравнение

u v uv x uv x uv

Подберем такую функцию v x ,

x uv .

или u v u v

чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решим диф-

ференциальное уравнение v 4x v 0 . Находим v x4 . Решаем

затем уравнение u x4 x ux4 и получаем его общее решение u 14 ln2 Cx . Следовательно, общее решение исходного урав-

нения y uv 14 x4 ln2 Cx . Нетрудно заметить, что y 0 явля-

ется особым решение исходного уравнения.

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи №№ 4038, 4039, 4041, 4043, 4044 [2].

Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет.

ЗАНЯТИЕ № 20

УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ (КЛЕРО, ЛАГРАНЖА)

Литература: [1], c. 47-50.

Контрольные вопросы и задания

1.Какие уравнения называются уравнениями Клеро?

2.Какая вспомогательная замена вводится при решении уравнений Клеро?

3.Что такое особое решение уравнения Клеро и каким свойством оно обладает?

4.Каков общий вид уравнений Лагранжа?

5.Какой вид уравнений более общий Клеро или Лагран-

жа?

6.Какой заменой решается уравнение Лагранжа?

7.Что такое особое решение уравнения Лагранжа?

8.Как ищется общее решение уравнения Лагранжа?

Примеры решения задач Пример 1. Решить уравнение y xy y 2 .

Решение. Уравнение имеет вид (5.2), т.е. это уравнение Клеро.

Положим y p .		Тогда заданное уравнение принимает вид
y px p2 .	Продифференцировав			его по x ,			имеем
y p x p 2 pp ,				учетом y p .			Если
y p x p 2 pp ,		или p x 2 p 0 с		учетом y p .			Если
	p C	и общее решение данного уравнения есть
p 0 , то	p C	и общее решение данного уравнения есть
y Cx C2 . Если		x 2 p 0 , то получаем y p 2 p p2 . Осо-
		x 2 p
				. Исключая параметр
бое решение данного уравнения			2	. Исключая параметр
		y p	2

p , находим особое решение в явном виде y					x2	.
p , находим особое решение в явном виде y						.
				4

Пример 2. Решить уравнение y x 1 y y 2 .

Решение. Уравнение имеет вид (5.1), т.е. это уравнение Лагранжа. Положим y p . Тогда заданное уравнение принимает

вид y x 1 p p2 . Продифференцировав его по x ,

имеем

x 2 p dx 1 0 .

p xp 2 pp ,

откуда

Из

этого

уравнения получаем

x 2 p – линейное относительное x

уравнение. Решим

его

методом

Бернулли.

Полагая

x p u p v p ,

получаем

u v uv uv 2 p

или

v 2 p .

Находим v , приравнивая скобку к нулю,

u v u

dp ,

разделяя

переменные

интегрируя:

v v 0 ,

ln	v	p , v e	p			p	2 p .

				. Тогда уравнение примет вид u e
Отсюда u 2 pe pdp 2e p p 1 C .					Учитывая,	что y

x 1 p p2 , получим y 2 2 p Ce p 1 p p2 . Таким

образом, общее решение уравнения имеет вид (в параметрической форме)

x 2 2 p Ce p

y 2 2 p Ce p 1 p p2 .

Особого решения данное уравнение не имеет.

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

1)	y xy y y 2 ;	2) y xy 3 y 3 ;
3)	y x y 2 y 2 ;	4) y x 1 y y 2 .

Форма отчетности: устный опрос, самостоятельная работа.

ЗАНЯТИЕ № 21

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА.

Литература: [1], c. 56-66; [7], c. 196-198

Указание. Перед изучением этой темы повторите все виды уравнений первого порядка и способы их решения.

Контрольные вопросы и задания

1.Какие уравнения второго порядка приводятся к уравнениям первого порядка?

2.Как решаются уравнения вида y f x ?

3. Как решаются уравнения вида y n f x ?

4. Как решаются уравнения вида F x, y , y 0 ?

5.Как решаются уравнения вида F x, y n 1 , y n 0 ?

6.Как решаются уравнения вида F y, y , y 0 ?

7.Можно ли понизить порядок дифференциального уравнения

y, y , y , , y n 0 ?

Примеры решения задач

Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения y xe2x , удовлетворяющее заданным начальным усло-

виям y 0 1,	y 0 2 .
Решение. Интегрируя левую			и правую части, находим
y xe2xdx	1	e2x 2x 1 C1 .	Повторное интегрирование
y xe2xdx	4	e2x 2x 1 C1 .	Повторное интегрирование
	4
приводит к общему решению			y	1	e2x x 1 C x C . Учи-
приводит к общему решению			y		e2x x 1 C x C . Учи-
			4		1	2
			4

тывая начальные условия, записываем систему уравнений для определения постоянных C1 и C2 :


y 0	1		1 C 1			C			5
	4			2			2	4 .
	4							4 .
		1						9
y 0	4			1 C1	2	C1		4
	4							4

Подставляя найденные значения постоянных в общее решение уравнения, получаем искомое частное решение

yч 14 e2x x 1 94 x 54 .

Пример 2. Решить уравнение y y ctg x 2x sin x .


Решение.		Данное уравнение имеет вид						0 . Поло-
							F x, y , y
жим y	p x . Тогда y					x . Получаем дифференциальное
					p
уравнение		первого порядка						– линейное
						p pctg x 2x sin x
относительно неизвестной функции p x . Его общее решение
p x2	C1 sin x ,		т.е.	y x2 C1 sin x . Интегрируя это ра-
венство,		найдем	общее			решение	исходного	уравнения
y x2 C1 cos x 2x sin 2cos x C2 .

Пример 3. Найти частное решение дифференциального урав-

нения

1 yy y 1 y 2 y ,

удовлетворяющее начальным

условиям y 0 y 0 1.

0 . Подста-

Решение. Данное уравнение имеет вид F y, y , y

p y ,

новка

dy p

приводит

его к виду

1 py p

1 p2

p , откуда

p 0 , т.е. y C (это решение

не удовлетворяет начальным условиям), или

1 p2

Полученное дифференциальное уравнение первого порядка не относится к уравнениям известного нам типа. Перепишем его в виде

1 py

1 p2

Это линейное уравнение относительно

функции y p . Его

общее решение имеет вид y p C

1 p2 .

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022288.61 Кб3Учебное пособие 124.pdf
#
30.04.2022898.88 Кб26Учебное пособие 1240.pdf
#
30.04.2022899.42 Кб11Учебное пособие 1241.pdf
#
30.04.2022900.68 Кб3Учебное пособие 1242.pdf
#
30.04.2022902.67 Кб55Учебное пособие 1243.pdf
#
30.04.2022902.72 Кб2Учебное пособие 1244.pdf
#
30.04.2022905.24 Кб6Учебное пособие 1245.pdf
#
30.04.2022906.77 Кб7Учебное пособие 1246.pdf
#
30.04.2022907.47 Кб2Учебное пособие 1247.pdf
#
30.04.2022907.69 Кб4Учебное пособие 1248.pdf
#
30.04.2022908.02 Кб4Учебное пособие 1249.pdf