Учебное пособие 1184

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5 105 3 32 10−3

= 2887 К. A =

8,31 2 (1155 − 385)

= 0,4 МДж.

По первому началу термодинамики Q = ∆U + A.

A = A = 0,4 МДж. ∆U = 5

8,31 2 (2887 − 385) = 3,24 МДж.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

851.78 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Так как R = C

− C

, тогда

Cp − CV

= 0 .

Известно, что

= γ тогда

+ (γ −1)

= 0.

Интегрируя уравнение, получаем

(

γ −1

)

= const .

(3.34)

lnT + ln V

Или lnT (V γ −1 )= const. Потенцируя, получаем

T V γ −1	)	= const.
(	)
Τ1V1γ −1 = Τ2V2γ −1 .			(3.35)

Выражение (3.35) называют уравнением Пуассона для адиабаты. Заменим в (3.35) T = µ рV (из уравнения Менделеева-Клапейрона):

Rm
µ					рV Vγ −1 = const ,
					рV Vγ −1 = const ,
			Rm
т.к. для данной массы газа	µ	величина постоянная, то
т.к. для данной массы газа		величина постоянная, то
	m
рV γ = const				, р V γ = р V				γ .	(3.36)
				1		1	2	2

На рис. 3.3 приведены графики изотермы и адиабаты. Показатель степени γ >1, поэтому график адиабаты круче в сравнении с изотермой.

							V
					Рис. 3.3
Вычислим работу адиабатического процесса:
	m T2		m			m
A = ∫ рdV = −		T∫CVM dT = −		CVM	(T2 −T1) =		CVM	(T1	−T2 ).	(3.37)
A = ∫ рdV = −	µ	T∫CVM dT = −	µ	CVM	(T2 −T1) =	µ	CVM	(T1	−T2 ).	(3.37)
	1

3.6. Политропические процессы

Политропическими или политропными называют процессы, во время которых теплоёмкость газа остаётся неизменной. Уравнение политропы в параметрах p, V:

pV n = const,

(3.38)

где n – показатель политропы, произвольное число [−∞;+∞] .

Политропическими являются все рассмотренные выше процессы: адиабатический, изотермический, изобарический, изохорический. Представим их в виде (3.35).

1. Изобарический процесс p = сonst, n = 0:

γ R

C = γ −1 = γ CV = Cp.

2. Изотермический процесс Т = сonst, n = 1:

CT = ±∞.

3. Изохорический процесс V = сonst, n = ±∞:

R CV = γ −1.

4. Адиабатический процесс ∆Q = 0, n = γ, Сад = 0. Окончательно обобщённая формула для работы:

	PV		V		n−1
A =	1 1	1−		1		.
	n −1
			V2

Примеры решения задач

(3.39)

(3.40)

(3.41)

(3.42)

Задача 3.1

Определите удельные теплоемкости при постоянном объеме сV и при постоянном давлении сp для смеси неона и водорода, если их массовые доли составляют ω1=80 % и ω2=20 % соответственно.

Решение

Воспользуемся формулой для удельной теплоемкости: cV = 2i µR ,cp = i +22 µR .

Неон – инертный газ, который можем считать идеальным −i =3 и=20 10-3 кг/моль.

c	=	3	8,31		= 6,24 102 Дж/(кг К).
		2 20 10=3
V1
cp1	=	3+ 2 8,31				=1,04 103 Дж/(кг К).

		2		20 10=3
						42

Водород – двухатомный газ, значит, i=5 и µ=2 10-3 кг/моль.


c		=	5	8,31			=1,04 104		Дж/(кг К).
			2		2 10=3
V 2
c		= 5		+ 2		8,31		=1,46 104 Дж/(кг К).
	p2
				2		2 10=3

Запишем формулу для количества теплоты, необходимой для нагревания на ∆T:

Q = cV (m1 + m2 )∆T , и Q = (cV 1m1 + cV 2m2 )∆T .

Приравняем выражения и разделим обе части равенства на ∆T, тогда

cV (m1 + m2 ) = cV 1m1 + cV 2m2 . Выражаем cV:

c	= c	m1	+ c	m2	, в этом выражении дроби и есть массовые до-
		+ m
V	V1 m		V2 m	+ m
	1	2	1	2

ли газов:

c = c ω + c ω				, ω =		m1	и ω	2	=	m2	.
c = c ω + c ω				, ω =			и ω		=		.
V V	1	V	2	1		+ m2				m1 + m2
1		2			m1
					m1

Аналогично для ср: cp = cp1ω1 + cp2ω2 . Вычисляя, получаем:

cV = 6,24 102 0,8 +1,04 104 0,2 = 2,58 кДж/(кг К); cp =1,04 103 0,8 +1,46 104 0,2 = 3,75 кДж/(кг К).

Задача 3.2

Кислород находится в объеме V1=1 м3 под давлением p1=0,2 МПа, масса кислорода m=2 кг. Кислород нагрели при постоянном давлении до объема V2=3 м3, а потом при постоянном объеме − до давления p2=0,5 МПа. Как изменилась внутренняя энергия кислорода ∆U, какая работа им была совершена А и какое количество теплоты Q было передано газу?

Решение

Подставим в формулу для изменения внутренней энергии выражение для удельной теплоемкости при постоянном объеме

∆U = c m∆T =	i		R	m∆T , где	∆T = T − T – разница температур конечного

V	2	µ			3

и начального состояния. Для водорода i=5, так как газ двухатомный. Начальную и конечную температуру выразим из уравнения Менделеева -

Клапейрона pV = mµ RT , откуда

T = pV / (mR).

Работа газа при изобарном расширении равна A1 = m1 R∆T .

Работа газа при изохорном процессе равна нулю: A2 = 0. Суммарная работа газа в двух процессах равна A = A1 + A2 = A1 . Вычислим

T =	2 105	1 32 10−3	= 385 К, и T =	2 105	3 32 10−3	=1155 К.
T =			= 385 К, и T =			=1155 К.
1	2 8,31		2	2 8,31
	2 8,31			2 8,31

Q = 3,24 + 0,4 = 3,64 МДж.

Задача 3.3

Показатель адиабаты идеального газа количеством 1 моль равен γ . Газ совершает процесс по закону p = АTα ,где А и α − постоянные величины. Найдите: а) работу, которую совершит газ, если его температура увеличивается на ∆T; б) молярную теплоемкость газа.

Решение

По условию p = АT α , тогда pT −α = А. Из уравнение состояния идеального газа получим T = pV / R , тогда

pV −α

= A, или

p1−αV −α = AR−α ,

тогда pV −α /(α −1) = const . Показатель политропы равен n =

;

α-1

а) при политропическом процессе для одного моля газа работа газа равна

A =

R∆T

= R∆T(1−α);

1-n

−

α −1

б) молярная теплоемкость может быть найдена по формуле

C =

−

+ R(1−α).

γ −1

n −1

γ −1

−1

γ −1

α −1

Задача 3.4

Найдите удельную теплоемкость при изохорном процессе для газовой смеси, которая состоит из 4 кг неона и 1 кг водорода.

Решение

Количество теплоты δQ, переданное смеси, равно

δ Q = cV mdT ,

где сV – удельная теплоемкость смеси при постоянном объеме.

Однако выражение для δQ можно записать и так:

δQ = δ Q1 + δQ2 = (cV1m1 + cV 2m2 )dT ,

где сV1, сV2, m1, m2 − удельные теплоемкости и массы газов смеси соответственно. Приравняем эти выражения и сократим на dT:

cV (m1 + m2 ) = cV 1m1 + cV 2m2 .

Выразим сV: c

cV1m1 + cV 2m2

m1 + m2

Запишем формулы для удельных теплоемкостей для неона и кислорода

сV1, сV2:c

i1R

, c

i2R

2µ

V 2

2µ

С учетом этих выражений окончательно получаем

cV =

i1m1

i2m2

2(m + m )

Для неона i1=3 − инертный одноатомный газ; для водорода i2=5 – двухатомный газ. Вычисляя, получим сV =2,58 103 Дж/кг К.

Задача 3.5

Определите степень диссоциации азота, если соотношение его теплоемкостей cp cV равно 1,47.Молярная масса атомарного азота µ1=14 кг/кмоль, мо-

лярная масса молекулярного азота µ2=28 кг/кмоль.

Решение

Обозначим через α степень диссоциации. Диссоциированный азот – это одноатомный газ с тремя степенями свободы, i=3. Недиссоциированный азот (молекулярный азот) – это двухатомный газ с пятью степенями свободы, i=5. Для диссоциированного (одноатомного) азота:

c =	i1R	, c =	(i1 + 2)R	.
	2µ1		2µ1
V		p

Для недиссоциированного (молекулярного) азота:

c		=	i2R		; c		=	(i2 + 2)R		.


	DV	2µ		2		Dp		2µ	2

Для смеси атомарного и молекулярного азота запишем (см. задачу 3.4):

cсм =

cV m1 + cDV m2

= c

+ c

= c α + c

(1−α ),

m + m

DV m + m

m + m

где m1 и m2 – массы соответственно (атомарного) диссоциированного и (молекулярного) недиссоциированного азота.

Для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении применим тот же алгоритм и получим

cсмp = cpα − cDp (1 − α ).

Приняв отношение теплоемкостей γ = ссмp сVсм , запишем и вычислим

α = 53γ−−γ7 =23 %.

Задача 3.6

Нагреем один килограмм кислорода разными способами: от 300 до 350 К: а) изобарически, б) изохорически, в) адиабатически. Докажите, что изменение внутренней энергии идеального газа не зависит от способа нагревания. Найдите изменение внутренней энергии кислорода в каждом случае.

Решение

а) при p=сonst, изобарическое нагревание:

Q = mµ Cp ∆T и A = p∆V = mµ R∆T .

Из первого начала термодинамики найдем

∆U = Q − A = mµ ∆T (Cp − R)= mµ CV ∆T ; б) при V=сonst, изохорическое нагревание:

Q = mµ CV ∆T , А=0. Получаем ∆U = Q = mµ CV ∆T ;

в) при адиабатическом нагревании, из первого начала термодинамики следует: ∆U = − А = mµ CV ∆T .

Отсюда следует, что при любом способе нагревания газа изменение внутренней энергии одно и то же:

∆U = mµ CV (Т2 − Т1 )=3,2 103 Дж.

Задача 3.7

Идеальный газ расширяется изобарно так, что его объем увеличивается в 2 раза. Количество вещества – 103 моль, начальная температура Т1=290 К. Потом газ изохорно охладили до первоначальной температуры. Найдите: а) изменение внутренней энергии газа; б) работу газа; в) количество теплоты, полученной газом.

Решение
Построим графики перехода газа из одного состоя-			p
Построим графики перехода газа из одного состоя-					Q12
ния в другое в		рV координатах (рис. 3.4). Участок 1-2 –	p1	1		2
ния в другое в		рV координатах (рис. 3.4). Участок 1-2 –
изобара, температура повышается, внутренняя энергия			p2			3 Q23
увеличивается. Газ, расширяется (V2>V1), совершает по-				V1		V2 V
ложительную работу, на графике показана площадью за-				V1		V2 V
ложительную работу, на графике показана площадью за-
штрихованного прямоугольника V112V2.					Рис. 3.4
Прямая 2-3 – изохора. Давление уменьшается при
охлаждении газа от Т2 до Т3=Т1, внутренняя энергия уменьшается, работа не
совершается.
Суммарное изменение внутренней энергии ∆U складывается из измене-
ния внутренней энергии на участке 1-2 и изменения внутренней энергии на уча-
стке 2-3. Так как начальная и конечная температуры совпадают, то ∆T=0:
		∆U = ∆U1 + ∆U2 = 0 .
Работа, совершаемая газом при переходе из состояния 1 в состояние 3
равна работе газа на участке 1-2, так как на участке 2-3 работа равна нулю:
		А13 = А12 = p1 (V2 −V1 ).
С учетом уравнения состояния идеального газа и условия V2					= 2V1	получа-
ем A	= pV = m RT .
13	1 1	1

Для киломоля газа m = 1, тогда A13 = RT1 = 2,4 106 Дж.

Количество теплоты при переходе из состояния 1 в состояние 3 равно сумме количеств теплоты Q12 и Q23. Q13=Q12+Q23.

По первому началу термодинамики:

Q12 = ∆U12 + A12 и Q23 = ∆U23 , (А13=0).

Учитывая, что ∆U12 = −∆U23 , получаем Q13 = A12 =2,4 106 Дж.

Задача 3.8

Воздух в объеме 10 л сжимается в двигателе дизеля в 12 раз адиабатически. Начальная температура 10 0С. Вычислите конечное давление, конечную температуру, работу при сжатии.

Решение

	Атмосферный воздух состоит в большей степени из кислорода О2 и азота
N2.	Его	можно	считать	двухатомным	газом,	для	которого

γ = С		С =	i + 2	=1,41.
γ = С	p	С =		=1,41.
	p	V	i
			i
				47

Конечное давление p2 найдем из уравнения адиабаты: p1V1γ = p2V2γ .

Выразим p2 = p1 (V1 V2 )γ и вычислим p2=32,5 105 Па. Запишем основное уравнение для двух состояний газа:

p1V1 = m RT1 , p2V2 = m RT2 ,

подставим уравнение адиабаты, найдем конечную температуру: Т2 = Т1 (V1 V2 )γ −1 =763 К.

Работу адиабатического сжатия можно вычислить двумя способами. Из определения работы при адиабатическом сжатии

	V2	V2	pVγ −1			pV	1− (V1 V2 )	γ −1	.
	A = ∫ pdV =∫			1 1	dV =	1 1
	A = ∫ pdV =∫			γ	dV =	γ −1
	V	V		V		γ −1
	1	1
Вычисляя, получаем А=−4,8 103 Дж.
Или,	используя	первое		начало			термодинамики,			запишем:

dA = −dU = − m CV dT , получим A = − m CV (T2 − T1 ) = − m CVT1 (V1 V2 )γ −1 ,

где CV = 52 R , А=− 4,8 103 Дж.

Задачи для самостоятельного решения

3.1.Определить удельные теплоемкости cV и cр газообразной окиси углерода (СО). Молекулы считать жесткими. Ответ: cV=7,42 102 Дж/кг град; cр=1,04 103 Дж/кг град.

3.2.Чему равны удельные теплоемкости cV и cр некоторого двухатомного газа, если плотность этого газа при нормальных условиях равна ρ0=1,43 кг м-3 Ответ: cV=6,5 102 Дж/кг град, cр=9,1 102 Дж/кг град.

3.3.Определить удельные теплоемкости cV и cр для газа, состоящего по массе из 85 % О2 и 15 % озона (О3). Молекулы О2 и О3 считать жесткими.

Ответ: cV=6,3 102 Дж/кг град, cр=8,8 102 Дж/кг град.

3.4. Смесь газов состоит из 8 г гелия и 16 г кислорода. Определить отношение ср сV для данной смеси. Ответ: γ=1,59.

3.5.Часть молекул кислорода (25 %) диссоциировано на атомы. Опреде-

лить удельные теплоемкости cV и cр такого газа. Ответ: cр=1,05 кДж/кг К, cV=67 кДж/кг К.

3.6.Определить отношение γ=ср сV для смеси 3 молей аргона и 5 молей кислорода. Ответ: γ=1,46.

3.7.Определить молярную массу M двухатомного газа и его удельные теплоемкости, если известно, что разность (сp-cv) удельных теплоемкостей этого

газа равна 260 Дж/(кг К). Ответ: сp=909 Дж/(кг К), cv=649 Дж/(кг К), M=32 г/моль.

3.8.Определить показатель адиабаты γ идеального газа, который при температуре Т=350 К и давлении p=0,4 МПа занимает объем V=300 л и имеет теплоемкость СV =857 Дж/К. Ответ: 1,4.

3.9.В сосуде вместимостью V=6 л находится при нормальных условиях

двухатомный газ. Определить теплоемкость СV этого газа при постоянном объеме. Ответ: 5,5 Дж/К.

3. 10. Определить молярные теплоемкости газа, если удельные теплоемкости cV=10,4 кДж/(кг·К) cp=14,6 кДж/(кг·К). Ответ: Сp=29,2 Дж/(моль К), Сv=20,8 Дж/(моль кг).

3.11.Вычислить удельные теплоемкости газа, зная, что его молярная масса M=4 10-3 кг/моль и отношение теплоемкостей. Ответ: Сp/CV=1,67.

3.12.Трехатомный газ под давлением p=240 кПа и температуре t=20 0C

занимает объем V=10 л. Определить теплоемкость Сp этого газа при постоянном давлении. Ответ: 32,8 Дж/К.

3.13.Одноатомный газ при нормальных условиях занимает объем V=5 л.

Вычислить теплоемкость СV этого газа при постоянном объеме. Ответ: 2,75 Дж/К.

3.14.При изотермическом расширении азота при температуре T=280 К объем его увеличился в два раза. Определить: 1) совершенную при расширении газа работу А; 2) изменение внутренней энергии∆U; 3) количество теплоты Q, полученное газом. Масса азота m=0,2 кг. Ответ: Q=A=11,5 кДж, ∆U=0.

3.15.При адиабатном сжатии давление воздуха было увеличено от

p1=50 кПа до р2=0,5 МПа. Затем при неизменном объеме температура воздуха была понижена до первоначальной. Определить давление р3 газа в конце процесса. Ответ: 0,26 МПа.

3.16.Кислород массой m=200 г занимает объем V1=100 л и находится под давлением р1=200 кПа. При нагревании газ расширился при постоянном давле-

нии до объема V2=300 л, а затем его давление возросло до р3=500 кПа при неизменном объеме. Найти изменение внутренней энергии ∆U газа, совершенную

газом работу А и теплоту Q, переданную газу. Ответ: A=40 кДж, ∆U=325 кДж, Q=365 кДж.

3.17.Во сколько раз увеличится объем водорода, содержащий количество вещества ν=0,4 моль при изотермическом расширении, если при этом газ полу-

чит количество теплоты Q=800 Дж? Температура водорода Т=300 К. Ответ: е0,8=2,2.

3.18.Какая работа совершается при изотермическом расширении водорода массой m=5 г, взятого при температуре T=290 К, если объем газа увеличился

втри раза? Ответ: 6,62 кДж.

Контрольные вопросы

1.Каков физический смысл первого начала термодинамики? Сформулируйте первое начало термодинамики.

2.Можно ли осуществить процесс, при котором тепло, взятое от нагревателя, полностью преобразуется в работу?

3.Что такое внутренняя энергия идеального газа? В результаате чего может изменяться внутренняя энергия системы?

4.Как определяется работа в термодинамике?

5.Что называется количеством теплоты?

6.Какая из величин А, Q, U является функцией состояния термодинамической системы и почему?

7.Запишите первое начало термодинамики для всех известных изопроцессов идеального газа.

8.Что такое теплоемкость тела?

9.Какая из теплоемкостей – СV или Ср – больше и почему?

10.Приведите уравнение Майера. В чем физический смысл универсальной газовой постоянной?

11.Каковы теплоемкости одноатомных и многоатомных газов?

12.Что характеризует коэффициент Пуассона?

13.Что такое степень свободы частицы?

14.Почему колебательная степень свободы частицы имеет вдвое большую энергию, чем поступательная и вращательная?

15.Сформулируйте закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул?

16.Какой процесс является адиабатическим или адиабатным?

17.Как можно осущеставить процесс, близкий к адиабатному?

18.Почему на графике адиабата круче изотермы?

19.Изменится ли температура газа при адиабатическом сжатии?

20.Дайте определение политропическому процессу.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022286.57 Кб3Учебное пособие 118.pdf
#
30.04.2022847.4 Кб6Учебное пособие 1180.pdf
#
30.04.2022848.79 Кб7Учебное пособие 1181.pdf
#
30.04.2022850.04 Кб4Учебное пособие 1182.pdf
#
30.04.2022851.36 Кб3Учебное пособие 1183.pdf
#
30.04.2022851.78 Кб8Учебное пособие 1184.pdf
#
30.04.2022852.44 Кб3Учебное пособие 1185.pdf
#
30.04.2022853.95 Кб5Учебное пособие 1186.pdf
#
30.04.2022854.75 Кб6Учебное пособие 1187.pdf
#
30.04.2022854.96 Кб5Учебное пособие 1188.pdf
#
30.04.2022855.4 Кб7Учебное пособие 1189.pdf