Учебное пособие 1178

1. ВЫБОР НАИЛУЧШЕГО ВАРИАНТА СРЕДСТВ ЗАЩИТЫ ПРОГРАММ И ДАННЫХ НА ОСНОВЕ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

1.1. Иерархическое представление проблемы

Метод анализа иерархий (МАИ) предполагает декомпозицию проблемы на все более простые составляющие части и обработку суждений лица, принимающего решение. В результате определяется относительная значимость исследуемых альтернатив для всех критериев, находящихся в иерархии. Относительная значимость выражается численно в виде векторов приоритетов. Полученные таким образом значения векторов являются оценками в шкале отношений и соответствуют так называемым жестким оценкам.

Можно выделить ряд модификаций МАИ, которые определяются характером связей между критериями и альтернативами, расположенными на самом нижнем уровне иерархии, а также методом сравнения альтернатив.

По характеру связей между критериями и альтернативами определяется два типа иерархий. К первому типу относятся такие, у которых каждый критерий, имеющий связь с альтернативами, связан со всеми рассматриваемыми альтернативами (тип иерархий с одинаковыми числом и функциональным составом альтернатив под критериями). Ко второму типу иерархий принадлежат такие, у которых каждый критерий, имеющий связь с альтернативами, связан не со всеми рассматриваемыми альтернативами (тип иерархий с различными числом и функциональным составом альтернатив под критериями).

ВМАИ имеется три метода сравнения альтернатив: попарное сравнение; сравнение альтернатив относительно стандартов и сравнение альтернатив копированием.

Впервой модификации метода рассмотрим иерархию с

одинаковыми числом и функциональным составом

альтернатив под критериями и метод попарного сравнения элементов иерархии.

Построение иерархии начинается с очерчивания проблемы исследования. Далее строится собственно иерархия, включающая цель, расположенную в ее вершине, промежуточные уровни (например, критерии) и альтернативы, формирующие самый нижний иерархический уровень. На рис. 1 приведены варианты отображения иерархий, где Elj - элементы иерархии, Af - альтернативы. Верхний индекс у элементов указывает уровень иерархии, а нижний индекс - их порядковый номер.

Рис. 1. Варианты отображения иерархий:

а - декомпозиция; б - синтез; в - упорядочение

2

1.2. Шкала отношений

Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала отношений (табл. 1). Данная шкала позволяет ЛПР ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа.

Правомочность этой шкалы доказана теоретически при сравнении со многими другими шкалами. При использовании указанной шкалы ЛПР, сравнивая два объекта в смысле достижения цели, расположенной на вышележащем уровне иерархии, должен поставить в соответствие этому сравнению число в интервале от 1 до 9 или обратное значение чисел. В тех случаях, когда трудно различить столько промежуточных градаций от абсолютного до слабого предпочтения или этого не требуется в конкретной задаче, может использоваться шкала с меньшим числом градаций. В пределе шкала имеет две оценки: 1 - объекты равнозначны; 2 - предпочтение одного объекта над другим.

1.3. Матрицы парных сравнений

После построения иерархии устанавливается метод сравнения ее элементов. Если принимается метод попарного сравнения, то строится множество матриц парных сравнений. Для этого в иерархии выделяют элементы двух типов: элементы-«родители» и элементы-«потомки». Элементы- «потомки» воздействуют на соответствующие элементы вышестоящего уровня иерархии, являющиеся по отношению к первым элементами-«родителями». Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов-«потомков», относящихся к соответствующему элементу-«родителю». Элементами-«родителями» могут являться элементы, принадлежащие любому иерархическому уровню, кроме последнего, на котором расположены, как правило, альтернативы. Парные сравнения проводятся в терминах

3

доминирования одного элемента над другим. Полученные суждения выражаются в целых числах с учетом девятибалльной шкалы.

4

Заполнение квадратных матриц парных сравнений осуществляется по следующему правилу. Если элемент Е1 доминирует над элементом Е2, то клетка матрицы, соответствующая строке Е1 и столбцу Е2, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке E2 и столбцу Е1, заполняется обратным к нему числом. Если элемент Е2 доминирует над Е1, то целое число ставится в клетку, соответствующую строке Е2 и столбцу Е1, а дробь проставляется в клетку, соответствующую строке Е1 и столбцу

5

Е2. Если элементы Е1 и Е2 равнопредпочтительны, то в обе позиции матрицы ставятся единицы.

Для получения каждой матрицы эксперт или ЛПР выносит n(n-1)/2 суждений (здесь п - порядок матрицы парных сравнений).

Рассмотрим в общем виде пример формирования матрицы парных сравнений.

Пусть Е1, Е2, ..., Еn - множество из п элементов (альтернатив) и v1, v2, ...vn - соответственно их веса, или интенсивности. Сравним попарно вес, или интенсивность, каждого элемента с весом, или интенсивностью, любого другого элемента множества по отношению к общему для них свойству или цели (по отношению к элементу-«родителю»). В этом случае матрица парных сравнений [Е] имеет следующий вид:

При проведении попарных сравнений следует отвечать на следующие вопросы: какой из двух сравниваемых элементов важнее или имеет большее воздействие, какой более вероятен и какой предпочтительнее. При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию – какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна.

6

1.3.1. Собственные векторы и собственные значения матриц

Ранжирование элементов, анализируемых с использованием матрицы парных сравнений [Е], осуществляется на основании главных собственных векторов, получаемых в результате обработки матриц.

Вычисление главного собственного вектора W положительной квадратной матрицы [Е] проводится на основании равенства

где max - максимальное собственное значение матрицы [E]. Для положительной квадратной матрицы [Е] правый

собственный вектор W, соответствующий максимальному собственному значению max, с точностью до постоянного сомножителя С можно вычислить по формуле

где еT - единичный вектор-строка = (1,1,…,1);

11

e - единичный вектор-столбец = . ;

:1

k = 1, 2, 3, ... - показатель степени; С - константа. Вычисления собственного вектора W по выражению производятся до достижения заданной точности:

7

где l - номер итерации, такой, что l = 1 соответствует k= 1; l = 2, k = 2; - допустимая погрешность. С достаточной для практики точностью можно принять = 0,01 независимо от порядка матрицы. Умножение eTW - можно производить сложением всех элементов W.

Максимальное собственное значение вычисляется по формуле:

1.3.2. Оценка согласованности матриц

Если все экспертные оценки точны, т. е. aij=wi/wj, то матрица сравнений согласованна. Под согласованностью матрицы понимается выполнение соотношений aijajk=aik и, в частности, aii=1 и aji=1/aij. Очевидно, что при согласованности матрица А имеет единичный ранг, и поэтому достаточно знать одну ее строку, чтобы вычислить все остальные элементы. Если известна, скажем, первая строка, то aij=a1j/a1i, при условии a1i≠0 для всех i (нулевой результат парного сравнения означает, что два объекта вообще несравнимы).

Кроме того, согласованность матрицы А должна удовлетворять следующим условию

где п - это максимальное собственное значение А, а остальные ее собственные значения равны нулю.

Поскольку А имеет единичный ранг и сумма всех собственных значений равна следу матрицы ∑aii=n.

В общем случае можно считать, что искомый набор значений (w1, ..., wn) должен удовлетворять уравнению Aw=λmaxw, где λmax - наибольшее из собственных значений А.

8