Учебное пособие 1178

Если матрица А неотрицательна, то согласно теореме Перрона - Фробениуса данное уравнение имеет единственное (с точностью до постоянного множителя) неотрицательное решение w. Для удобства можно нормализовать это

n

решение, введя условие wi 1 .

i 1

Втеории матриц установлено, что собственные

значения являются непрерывными функциями элементов. При малых возмущениях в элементах согласованной матрицы наибольшее из собственных значений будет близко к п, а все остальные будут близки к нулю. Таким образом, по решению уравнения Aw=λmaxw можно судить насколько близко к п окажется λmax. И поэтому отклонение λmax от п может является мерой согласованности матрицы А и полезности полученных результатов.

Однако матрица парных сравнений, составленная экспертами, в большинстве случаев получается несогласованной. Это связано с субъективностью суждения экспертов и особенностью сравниваемых объектов. Удачный пример несогласованности и нетранзитивности суждений приведен Саати Т.Л. Например, если сравнительная важность объекта C1 больше важности объекта C2, а сравнительная важность C2 больше важности C3, то не исключено, что объект C3 будет оценен как более важный при сравнении с C1. Такого рода примеры нередко встречаются на практике, например, в спортивных турнирах. Бывает, что команда C1 проигрывает команде C2, которая уже проиграла команде C3, а потом C1 выигрывает у C3. Таким образом, в биологических и социальных системах согласованности вообще может и не быть. Необходимо отметить, что в отличие от биологических и социальных систем в технике, где основные процессы описываются с помощью законов физики, примеров несогласованности, подобных описанному Саати Т.Л., не может быть. Поэтому одной из основных проблем составления матриц является

9

повышение ее согласованности. Очевидно, что если использовать группы экспертов, которым поручить независимое сравнение каждой пары объектов, то это позволит повысить согласованность матриц. Однако довольно сложно организовать группу экспертов из специалистов в определенной области техники.

После того как все матрицы определены, осуществляется их проверка. Т. е. считается коэффициент согласованности. В качестве оценки согласованности используется индекс согласованности

– максимальное собственное число матрицы, n – размерность матрицы. На основании индекса согласованности вычисляется отношение согласованности CR

значение которого для согласованной матрицы не должно превышать 10%; где M (CI ) - математическое ожидание

индекса согласованности, вычисленное для экспериментальной выборки матриц парных сравнений, заполненных случайным образом (табл. 2).

Таблица 2

Случайная согласованность

Если выясняется, что матрица несогласованна, необходимо пересмотреть те данные, которые ввел эксперт ранее и скорректировать их. Таким образом, выполняется итеративная процедура корректировки данных до тех пор,

10

пока матрица не будет согласована. После того, как все матрицы согласованы, необходимо выполнить их расчет, т. е. рассчитать вектор приоритетов критериев, вектор приоритетов альтернатив. Заключительным этапом решения задачи является выбор оптимального технического решения.

Рассмотрим на примере выбора оптимальной альтернативы метод анализа иерархий. Допустим иерархия имеет следующий вид (рис. 2):

Рис. 2. Иерархия

Критерии задачи можно разбить на группы (технические, экономические, антропологические и т. п.). В примере критерии разбиты условно на две группы G1, G2.

Составим для каждого уровня иерархии матрицы парных сравнений:

11

Для последнего уровня иерархии должны быть составлены матрицы парных сравнений размерностью 7. Все альтернативы необходимо сравнить по каждому критерию в отдельности. И для каждой матрицы должен быть определен

собственный вектор W C p . Такие матрицы составляются для

Ar

критериев, количественно оценить которые невозможно. Если критерии имеют количественную оценку, то процедуру парного сравнения можно заменить нормированием на 1. Допустим, что все критерии имеют количественную оценку, тогда получим следующую матрицу

12

Матрицы F и G2 нет смысла проверять на согласованность, так как их порядок равен 2. Проверим согласованность суждений в матрице парных сравнений G1, которая представляет собой матрицу попарного сравнения критериев С1, С2, С3.

следовательно матрица хорошо согласованна. Результирующий вектор приоритетов альтернатив

определяется следующим образом:

Подставив в это выражение вычисленные выше значения собственных векторов, получим

13

Таким образом, получаем следующее ранжирование альтернатив:

1.4. Учет мнений нескольких экспертов

Для повышения степени объективности и качества процедуры принятия решений целесообразно учитывать мнения нескольких экспертов. С этой целью проводится групповая экспертиза, причем множество экспертов может быть подразделено на несколько подмножеств в зависимости от области экспертизы, определяемой характером критериев, используемых в иерархии. Оценка весомости критериев и альтернатив с учетом данного подхода предполагает привлечение специалистов-управленцев, маркетологов, производственников, специалистов-теоретиков и т. п.

14

Для агрегирования мнений экспертов принимается среднегеометрическое, вычисляемое по следующему соотношению:

где aijA агрегированная оценка элемента, принадлежащего i-й

строке и j-му столбцу матрицы парных сравнений; п - число матриц парных сравнений, каждая из которых составлена одним экспертом.

Логичность критерия становится очевидной, если два равноценных эксперта указывают при сравнении объектов соответственно оценки а и 1/а, что при вычислении агрегированной оценки дает единицу и свидетельствует об эквивалентности сравниваемых объектов.

Осреднение суждений экспертов может быть осуществлено и на уровне собственных векторов матриц парных сравнений. Покажем это на следующем примере.

Пусть заданы суждения двух экспертов в виде матриц попарных сравнений [А1] и [А2]:

Для этих матриц собственные векторы WAj, максимальные собственные значения λmах имеют следующий вид:

для матрицы [А1]

WA1= {0,150 0,160 0,744}т; max = 3,121;

для матрицы [А2]

WA2= {0,223 0,127 0,650}т; max = 3,297;

15

Осреднение на уровне элементов собственных векторов

дает

WA = {0,184 0,117 0,699}т.

Усредняя элементы матриц [А1] и [А2] получим матрицу [А3]

Правый собственный вектор матрицы [А3] следующий:

WA3= {0,184 0,116 0,699}т.

Сравнивая два собственных вектора WA и WA3 определенных двумя разными способами, можно убедиться в их совпадении.

В достаточно ответственных задачах при оправданных затратах на экспертизу осреднение суждений экспертов проводится с учетом их квалификации («веса»). Для определения весовых коэффициентов экспертов целесообразно использовать иерархическую структуру критериев.

Расчет агрегированной оценки в случае привлечения п экспертов, имеющих различную значимость, осуществляется по формуле

где a ij - оценка объекта, проведенная k-м экспертом с весовым коэффициентом k ; при этом 1 + 2 +...+ n = 1.

16

Качество получаемых решений практически полностью определяется тем, насколько хорошо удалось формализовать среду задачи принятия решений и тем, насколько предпочтения ЛПР соотносятся с действительностью. При этом математические методы получения количественных оценок на основе качественных могут гарантировать (в лучшем случае) лишь то, что в результате математических выкладок не будет потерян вложенный в качественные оценки смысл. Ошибки, неточности или просто непродуманное представление проблемы делают применение математической модели принятия решения бессмысленным.

Задачи и контрольные вопросы для проверки

1.Какой тип иерархии используется в методе анализа иерархий?

2.Дайте численную и лингвистическую характеристики шкалы отношений.

3.Постройте матрицу попарных сравнений для семи альтернатив.

4.Составьте алгоритм и программу для расчета собственного вектора и собственного значения матрицы попарных сравнений.

5.Составьте алгоритм и программу для определения индекса и отношения однородности матрицы попарных сравнений.

6.Разработайте универсальный алгоритм и программу для решения задачи синтеза приоритетов для иерархий, элементы которых могут иметь различные связи.

7.Разработайте алгоритм и программу для оценки однородности иерархии, имеющей любую структуру.

17

2.ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

2.1.Лабораторная работа №1

Выбор варианта средства защиты программ и данных на автономном компьютере

Цель:

-изучить методику выбора варианта средства защиты программ и данных с использованием метода анализа иерархий (МАИ);

-решить задачу выбора варианта средства защиты программ и данных с использованием МАИ.

Содержание работы

1.Изучить метод анализа иерархий.

2.В Internet собрать данные (прайс-листы) о характеристиках конкретного средства защиты информации различных фирм (не менее семи).

3.На основе собранной информации формализовать критерии и альтернативы для выбора наилучшего варианта.

4.С помощью МАИ обосновать выбор наилучшего варианта средства защиты информации.

Пример. Дана группа из пяти альтернатив антивирусного программного обеспечения и пяти критериев, предназначенных для оценки альтернатив. Требуется выбрать наилучшую из заданных альтернатив, при которой достигается наиболее предпочтительный компромисс между рассматриваемыми критериями.

Для рассмотрения были выбраны пять антивирусов:

Антивирус Касперского, Eset Nod32, Dr.Web, Norton Anti-

Virus, Avira Antivirus. Данные антивирусные программы оценивали по следующим наиболее важным критериям (табл. 3):

18