Учебное пособие 1174

Среднеквадратическое отклонение ущерба:

1= √с + 1.

Третий центральный момент:

∙ (с2 + 5с + 6 − 3с2 − 9с − 6 + 2с2 + 4с + 2) = 2λ−3(с + 1).

= λ−4(с + 4)(с + 3)(с + 2)(с + 1) − 4λ−4(с + 3)(с + 2)(с + 1)2 + +6λ−4(с + 2)(с + 1)3 − 3λ−4(с + 1)4 = = λ−4(с + 1)((с + 4)(с + 3)(с + 2) −

−4(с + 3)(с + 2)(с + 1) + 6(с + 2)(с + 1)2 − 3(с + 1)3 = = λ−4(с + 1)(с3 + 9с2 + 26с + 24 − 4с3 − 24с2 − 44с − 24 + +6с3 + 24с2 + +30с + 12 − 3с3 − 9с2 − 9с − 3) =

= 3λ−4(с + 1)(с + 3).

9

10

Приравниваем выражение к нулю:

λcuc−1 exp(−λu) (1 + (c − 1) − λu) = 1 + (c − 1) − λu = 0,

Г(с)

с

u = λ.

Таким образом, аналитическое выражение для моды ущерба, то есть для значения ущерба, при котором достигается максимум риска, равно:

0 = с.

Зная моду, можно найти пик риска:

11

Графически решения последних двух уравнений можно проиллюстрировать с помощью рис. 2.

Рис. 2. Графическое изображение моды ущерба и пика риска

Среднеквадратическое отклонение от моды:

12

На основе среднеквадратического отклонения от моды представляется возможным найти островершинность риска:

где u0 = λс.

Рассчитанные параметры сведены в таблицу ниже, которую можно использовать для их вычислений.

Аналитические выражения риска и параметров для гаммараспределения плотности вероятности наступления ущерба

Аналитическое выражение риска наступления ущерба u

(λu)с

Risk(u) = Г(с) exp(−λu),

где u – ущерб, λ, с – параметр распределения плотности вероятности наступления ущерба

13

Продолжение таблицы

Полученные аналитические выражения для риска могут служить математической основой для оценки риска DDoS-атак на РКС.

1.2. Риск-анализ распределенных компьютерных систем, подвергающимся DDoS-атакам в диапазоне ущербов

Для нахождения значений ущерба по заданному уровню риска следует решить следующее уравнение:

Прологарифмируем выражение:

ln(uc ∙ exp(−λu)) = ln( сссkc), e λ

c ∙ ln(u) − λu = c ∙ (ln(c) − ln(λ) + 1) + ln(k).

14

Разложим логарифм в ряд Тейлора. При разложении ограничимся первыми двумя членами ряда.

где z = c ∙ (ln(c) − ln(λ) + 1) + ln(k).

Произведем следующую замену переменных

x − 1 y = x + 1,

где область определения -1<y<1.

Соответственно обратное преобразование будет иметь

вид

1 + y x = 1 − y.

Следовательно:

2c (y + 13 y3) − λ 11 +− yy = z,

2cy(1 − y) + 23 y3c(1 − y) − λ(1 + y) = z(1 − y), 2cy − 2cy2 + 23 y3c − 23 y4c − λ − λy = z − zy,

−23 y4c + 23 y3c − 2cy2 + y(2c + z − λ) − λ − z = 0.

Врезультате получено уравнение четвертой степени, которое, как известно, может быть решено в аналитическом виде. Два корня этого уравнения будут комплексными числами, а два других, имеющими физический смысл, действительными. Для них следует произвести обратное

преобразование и получить значения x1 и x2. Графически это решение можно проиллюстрировать с помощью рис. 3.

15