Учебное пособие 1086

В поле Filter Specifications заданы контуры АЧХ проек-

тируемого фильтра, а в поле Freguency Speccifications и Magnutide Specifications требования к фильтру принимают конкретный вид, заданный соответствующими цифрами.

Например, из полей Freguency Speccifications и Magnutide Specifications следует, что первая полоса задерживания простирается от 0 до 7200 Гц. при ослаблении -80 Дб., а вторая полоса задерживания простирается от 12800 Гц. до 24000 Гц. при ослаблении -80 Дб.

Теперь, когда заданы все характеристики фильтра, можно приступить к его проектированию (нажатие кнопки Design Filter). В результате выполнения программы на рис.2.3 появиться АЧХ проектируемого фильтра.

Рис. 2.3. АЧХ проектируемого фильтра

В области «Текущая информация» (Current Filter Information) отображаются данные, характеризующие проектирующий фильтр (форма представления фильтра, порядок, источник проектирования). В меню Edit имеется подменю Convert Structure (выбор структуры), вход в которое позволяет рассмотреть различные формы реализации фильтров. Подчеркнем, что появляющиеся информация не позволяет изменить структуру проектируемого фильтра, которая для FIRфильтров всегда остается неизменной – прямой формы (Direct form FIR). Выпадающий список подменю Convert Structure

следует интерпретировать как подсказку пользователю, кото-

9

рая указывает, что кроме проектируемой формы фильтра существуют и другие формы.

Меню Analysis делает доступным команды, позволяющие всесторонне охарактеризовать проектирующий фильтр:

-Filter Specifications (спецификация фильтра);

-Magnitude Response (амплитудно-частотная характеристика);

-Phase Response (фазо-частотная характеристика);

-Magnitude and Phase Response (AЧX, ФЧХ);

-Group Delay (групповое время задержки);

-Impulse Response (импульсная характеристика);

-Step Response (переходная характеристика);

-Pole/Zero Plot (полоса и пули);

-Filter Coefficients (коефициенты фильтра);

Для отображения той или иной характеристики фильтра, необходимо выбрать соответствующую команду или нажать одну из кнопок, расположенных вверху главного окна под строкой меню. Меняя тип окна и параметра фильтра, имеется возможность создать виртуальные модели различных фильтров и исследования их характеристики.

Таким образом, в вышеприведенном описании представлены последовательности шагов для проектирования FIR фильтра, в котором все операции над данными выполнялись с машинной точностью.

Теперь проанализируем, что произойдет при учете квантования и при учете изменения формата, в котором определяются коэффициенты передаточной функции. В правой части окна имеются кнопки, управляющие разделом Quantization. Установим параметры квантования (Set Quantization Parameters). В главном окне появиться новое поле, содержащее кнопку Turn Quantization On (возвращение к квантованным коэффициентам). Для запуска процедуры расчета фильтра с квантованными коэффициентами установим флажок, запустив тем самым расчет квантованного фильтра с параметрами квантования, заданными его умолчанию.

10

По окончании процедуры расчета график нового (квантованного) фильтры наложились на AЧX фильтра-прототипа, рассчитанного ранее (рис.2.4). Из рис.4 следует, что АЧХ представленных фильтров (кривая 1 и кривая 2) имеют незначительные отличия, что характерно для цифровых фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры).

Рис. 2.4. Амплитудно-частотные характеристики филь- тра-прототипа и квантованного фильтра с конечной импульсной характеристикой

Используя те же исходные данные (рис. 2.2), спроектируем цифровой фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр). Для примера, на рис.2.5 (кривая 1) представлен полосовой фильтр Баттерворта. В области Current Filter Information указано, что этот фильтр реализован передаточной функцией 30 порядка, которые в программе fdatool представлены прямой формой, состоящих из 15 секций второго порядка. Вход в подменю Convert Structure из меню File дает представление о структурах, которые могут быть использованы при реализации IIR фильтров. Эту информацию следует считать справочной, так как программе fdatool при проектировании IIR фильтров реализует их единственным способом – в виде прямой формы 2, состоящих из секций второго порядка

(Direct form || second –order -sections). Рассмотрим, как изме-

ниться характеристики и параметры фильтра, если коэффициенты фильтра будут задаваться с ограниченной точностью и параметрами квантования, заданными по умолчанию. После

11

перехода к окну расчета цифрового фильтра с учетом квантования, появиться новое поле, содержащую кнопку Turn Quantization. Для запуска процесса расчета с квантовыми коэффициентами, установим флажок, запустим тем самым расчет. Данные расчета приведены на рис.5.

Рис. 2.5. АЧХ исходного (Referenсe) и квантованного

(Quantized) фильтров

Из сравнения кривых рис.2.5 видно, что учет квантования значительно изменил АЧХ нового цифрового фильтра.

Свойства квантованных фильтров зависят от многих факторов: формата данных, реализации операций, выбора арифметики и формы (структуры) представления фильтра. В рассматриваемом пакете, как было указано выше, нет возможности исследовать характеристики фильтров при разных структурах. В рассматриваемом пакете БИХ-фильтр реализуется блочной структурой, как менее чувствительной к изменению значений коэффициентов.

Как было указано, учет квантования по уровню делает систему нелинейной, что усложняет задачу. Однако масштабирование коэффициентов, исключение переполнения разрядной сетки и другие приемы, связанные с нормализацией коэффициентов фильтра, значительно уменьшают ошибки квантования. Не вдаваясь в рассмотрение этих сложных вопросов, укажем, что fdatool имеет подпрограмму «Optimization», команды которой приведены на рис.2.6.

12

Рис. 2.6. Команды подпрограммы Optimization

Сделав активными процедуры, поставив флажки, имеется возможность приблизить характеристики квантованного фильтра к фильтру-прототипу (рис.2.7).

Рис. 2.7. АЧХ фильтра прототипа и фильтра с учетом квантования, после использования подпрограммы Optimization

После исключения переполнения и нормализации коэффициентов числителя и знаменателя АЧХ квантованного

13

фильтра приблизилась к прототипу (рис.7) за счет введения процедур оптимизации.

Adjust coefficient fraction length such that coefficient do not overflow (исключить переполнения в коэффициентах дробной части (мантиссы)).

Normalize numerator coefficient such that maximum absolute value is <=1 and scale value powers of 2 (нормализиро-

вать коэффициенты числителя так, чтобы для максимальной величины выполнялось соотношение xmax<=1, а масштабный коэффициент задавался числами, равными степени 2).

Normalize denominator coefficients such that (таким же образом нормализовать коэффициенты знаменателя).

2.3. Порядок выполнения работы

1.Для заданного варианта (табл.1) заполнить поля, определяющие параметры АЧХ проектируемого фильтра.

2.Для фильтра с конечной импульсной характеристикой найти:

2.1АФХ.

2.2ФЧХ.

2.3Импульсную переходную характеристику.

2.4Переходную характеристику.

2.5Расположение нулей и полюсов.

2.6Структурную схему фильтра и его коэффициенты Для определения вышеперечисленных характеристик

следует войти в меню Analysis или воспользоваться соответствующими кнопками, расположенными ниже главного меню.

3.Определить параметры фильтра с бесконечной импульсной характеристикой

3.1АЧХ.

3.2ФЧХ.

3.3Импульсную переходную характеристику.

3.4Переходную характеристику.

3.5Расположение нулей и полюсов.

4.Определим характеристику КИХ-фильтра с учетом квантования. Для этого воспользуемся кнопкой Set Quatization

14

Parametrs (левая линейка команд). После выполнения этой команды открывается поле для построения характеристик фильтра с учетом квантования. Введем команду Turn quantization on, делающую активными поля, в которых задаются требования к форме представления коэффициентов. В окне, представляющим AЧX фильтров появится два графика. Один – определяет AЧX, в которой коэффициенты передаточной функции заданы с машинной точностью, а второй график AЧX – в коэффициентах которого учтены квантования по уровню.

5.Введем операцию «Оптимизация», подставив флажки, нормирующей коэффициенты.

6.Вычислим AЧX фильтра с учетом квантования после введения операции «Оптимизация».

7.Сравним характеристики цифровых FIR фильтров для трех вариантов расчета:

- коэффициенты фильтра определены с машинной точностью;

- коэффициенты фильтра определены с учетом квантования без «Оптимизации»;

- коэффициенты фильтра определены с учетом квантования и применения процедуры «Оптимизация».

Приступаем к проектированию БИХ-фильтров.

8.Выполняем пункты 4-7 применительно к БИХфильтрам.

9.Сравним характеристики КИХ- и БИХ-фильтров и сделаем выводы.

2.4. Задание на лабораторную работу

С помощью программы fdatool пакета Matlab рассчитать согласно варианту характеристики полосового цифрового фильтра представленного в табл. 2.1.

15

Таблица 2.1

16

3. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПОЛОСОВЫХ КИХ-

ФИЛЬТРОВ

3.1.Цель работы

Целью работы является: изучение методик определения полосовых КИХ-фильтров; получение навыков программирования полосовых КИХ-фильтров;

3.2. Проектирование КИХ-фильтров с использованием окон и функций пакета Signal Processing.

Расчет и проектирование полосовых КИХ-фильтров начинается с проектирования КИХ-фильтра нижних частот, для которых должно быть задано: N – число ответвлений, частота среза fn и тип применяемого окна. Число ответвлений КИХ-фильтра связано с его порядком n, т.е. импульсная характеристика должна содержать n+1 ненулевых отсчетов. Частота среза fn задается нормированной к частоте Найквиста, т.е. значение fn должно лежать в диапазоне 0,…,1, (1 соответствует половине частоты дискретизации).

Исходными данными при расчете полосовых КИХфильтров является полоса пропускания ( f1, f2 ) , выраженная в Гц. Частотный диапазон, связан с интервалом дискретности TП

соотношением fs 1TП , где TП – параметр, который должен

быть предварительно выбран. На рис. 3.1 представлены исходные данные.

H( j )

Рис. 3.1. Характеристики полосового фильтра с цен-

тральной частотой fp= f2 f1

2

17

Так как полосовой КИХ-фильтр проектируется путем переноса ФНЧ, центр которого расположен в точке 0 Гц, в точку fp, то полоса пропускания ФНЧ f определяется выра-

жением f f2 f1 . 2

Таким образом, чтобы спроектировать полосовой КИХфильтр с полосой пропускания (f2-f1), нужно спроектировать ФНЧ с полосой пропускания f , а затем центр ФНЧ поместить в точку fp.

Обозначим коэффициенты КИХ ФНЧ как h2(к). По этим коэффициентам следует вычислить коэффициенты полосового фильтра hР (к). Как показано на рис. 3.1, мы можем переместить частотную характеристику КИХ-фильтра ФНЧ, умножая коэффициенты hn (к) на синусоиду частотой fр.

Методику расчета проверим на конкретном примере. Спроектируем полосовой фильтр без применения окон со следующими данными: полоса пропускания f =0.25 fs , цен-

тральная частота полосового фильтра fp 0.5fs.

Программа 3.1.

k=-16:16; %Количество отсчетов.

b=sinc(k/8)/8 %Импульсная характеристика, задающая частоту среза КИХ-ФНЧ.

figure(1)

impz(b),grid on %График импульсной характеристики. figure(2)

[h,f]=freqz(b,1,[],2); %Функция передачи мнимого аргумента КИХ ФНЧ.

plot(f,20*log10(abs(h))),grid on %График АЧХ КИХ ФНЧ в де-

цибелах.

%полосового КИХ-фильтра.

figure(3)

18