Учебное пособие 1035

векторного поля непрерывна и дивергенция вектора является интегрируемой функцией, поэтому данный тип элементов применяется, например, в электромагнетизме, когда зависимой переменной является индукция магнитного или электрического поля. Порядок дивергентных элементов в 3D случае максимум 3, в 1D и 2D случаях – максимум 4.

Скалярная волновая базисная функция. Используется при решении скалярных волновых уравнений типа уравнения Гельмгольца, используя ультраслабую вариационную постановку. Данные базисные функции терпят разрыв при переходе между двумя элементами.

Ещѐ одной важной частью COMSOL Multiphysics является блок постобработки и визуализации данных. Операции, отвечающие за постобработку и визуализацию данных, можно поделить на следующие категории: множества данных, графики и группы графиков, расчѐт величин и таблицы, экспорт данных и отчѐты.

Множества данных – содержит данные, на основании которых строятся графики. В этом разделе содержатся следующие операции:

Нахождение среднего или вычисление интеграла. Осуществляет нахождение интеграла или среднего значения на основании других множеств данных для последующего построения, например, в зависимости от времени.

Контурные 2D-линии. Применяется для вычисления исследуемых величин и построения 1D графиков, а также линейных 2D-графиков и 2D-графиков стрелок вдоль 2D контурных линий.

2D и 3D секущие линии. Создание линий в 2D или 3D для последующей визуализации данных вдоль этих линий.

Секущие плоскости в 3D. Создаѐтся секущая плоскость в 3D-геометрии для дальнейшего исследования поведения величин в этой плоскости.

Секущие точки в 1D, 2D, 3D. Используются для вычисления и построения графиков исследуемой величины в точ-

29

ке от времени или от параметра при использовании параметрического решателя, а также для последующего создания 1D, 2D

и3D точечных графиков.

Края в 2D и 3D. Используются для вычисления и визуализации исследуемой величины вдоль границы (2D) или края области(3D).

1D, 2D, 3D-функции. Вычисление заданной функции в области (интервале для 1D-функции, прямоугольнике для 2Dфункции и параллелепипеде для 3D-функции).

Изоповерхности в 3D. Используются для создания графиков стрелок на поверхности, поверхностных графиков и контурных графиков.

Нахождение наименьшего или наименьшего значения. Осуществляет нахождение наименьшего или наибольшего значения на основании других множеств данных для последующего построения, например, в зависимости от времени.

Сетка. Данная опция используется для последующей визуализации разбиения.

Зеркальное отражение в 2D и 3D. Используется для симметричного отображения решения задачи относительно выбранной оси (2D) или плоскости (3D). Используется для визуализации решения осесимметричных задач или задач с плоскостной симметрией.

Параметризованная кривая в 2D и 3D. Используется для последующей визуализации исследуемых величин вдоль заданных параметрических кривых.

Параметризованная поверхность в 3D. Используется для последующей визуализации исследуемых величин на заданной поверхности.

Параметрическое расширение (1D, 2D). Расширяет любое заданное множество данных путѐм добавления параметра (например, времени) в качестве дополнительной размерности.

30

1D и 2D вращение. Используется для визуализации решений 1D и 2D осесимметричных задач при создании 2D и 3D-графиков соответственно.

Решение. Используется для визуализации решения и анализа результатов. Решатели автоматически создают эти множества данных.

Поверхность. Используется для визуализации исследуемой величины на заданной поверхности в 3D-геометрии.

Группы графиков содержат один или несколько графиков (например, поверхностные графики и линии тока), основываясь на одном множестве данных. Можно создавать 1D, 2D, 3D группы графиков, а также группы графиков с использованием полярных координат.

В случае 1D групп графиков выделяются следующие типы графиков:

Глобальные графики (1D и в полярных координатах). Изображают зависимость скалярной величины как функции от времени или параметра.

Гистограмма. Показывает, распределение заданной величины в геометрии.

Линейные графики (1D и в полярных координатах). Изображают зависимость заданной величины вдоль линии, которая может быть краем, параметризованной кривой или секущей линией.

Графики Найквиста (1D и в полярных координатах). Показывают величину и фазу частотных характеристик в задачах с частотным типом анализа.

Точечные графики (1D и в полярных координатах). Показывают зависимость величины от времени или параметра

взаданной точке, которая может быть как точкой в геометрии, так и секущей точкой.

Табличные графики (1D и в полярных координатах). Визуализация табличных данных.

31

В случае 2D и 3D графиков существуют следующие оп-

ции:

Стрелки на линиях (2D, 3D) – используются для визуализации векторной величины в виде стрелок на линиях (2D)

ина линиях и краях (3D).

Стрелки на поверхностях (2D, 3D) – используются для визуализации векторной величины в виде стрелок на поверхностях.

Стрелки в объѐме (3D) – используются для визуализации векторной величины в виде стрелок в объѐме.

Контуры (2D,3D) – используются для изображения скалярных величин в виде цветных линий (контуров). На каждом из контуров исследуемая величина постоянна.

Построение систем координат (2D, 3D) для линейных, поверхностных и объѐмных графиков.

Изоповерхность (3D) – изображение скалярной величины в виде цветных изоповерхностей – на каждой поверхности исследуемая величина постоянна.

Линейные графики (2D, 3D) – визуализация исследуемой величины на границах (2D) и краях (3D).

Построение максимальных и минимальных значений в объѐме (3D), на поверхности или на линии (2D, 3D). Изображает точки, в которых достигается наибольшее и наименьшее значение указанной величины, вместе со значением этой величины и координатами этих точек. Эта же информация дублируется в таблице.

Сеточные графики (2D, 3D). Используется для визуализации разбиения. Существуют возможности изображения элементов разными цветами в зависимости от их качества. Также используется фильтр, позволяющий изображать часть разбиения в зависимости от качества элементов, их размера, типа или местоположения.

32

Графики траекторий частиц (2D, 3D). Используются при исследовании полей скоростей потока для визуализации траектории безмассовой частицы из потока.

Графики траекторий частиц, имеющих массу (2D, 3D)

Главные напряжения в объѐме (3D) – изображает главные напряжения и главные деформации (собственные значения тензоров напряжения и деформации) вместе с соответствующими собственными векторами в модуле «Механика конструкций» в выбранных точках объѐма.

Главные напряжения на поверхностях (2D, 3D) – аналогично предыдущей опции, только точки берутся на поверхностях.

Визуализация скалярных величин в виде отдельных сфер или дисков как функций пространственных координат или других величин. Данная опция может служить как альтернативой матриц стрелок для случая скалярной величины, так и показывать, как коррелируют величины между собой.

Секущие плоскости (3D) – показывает поведение величины в виде теневых рисунков на одной или нескольких параллельных секущих плоскостях.

Линии тока (2D, 3D) – визуализация векторной величины в виде линии, так, что векторная величина в каждой точке направлена по касательной к этой линии.

Поверхностные графики (2D, 3D) – визуализация скалярной величины в виде цветного графика в области (2D) или на поверхности (3D) .

Объѐмные графики (3D) – визуализация скалярной величины в виде теневого рисунка в 3D-области.

Кроме этого, в соответствии с потребностями пользователя существуют следующие атрибуты, позволяющие модифицировать графики: добавление цветов (позволяет делать цветными такие рисунки, как матрицы стрелок, линии тока, контуры, изоповерхности и траектории движения частиц), деформации (деформации графиков в соответствии с векторной вели-

33

чиной, например, полем смещений в модуле «Механика конструкций»), фильтры (позволяет задавать логическое выражение в качестве критерия для отображения), добавление высоты (добавление третьей координаты в линейных и поверхностных 2D-рисунках для отображения значения исследуемой величины в каждой точке плоскости).

Третий блок операций – расчѐт величин. Операции из этого блока позволяют рассчитывать максимальное, минимальное или среднее значение любой величины, интеграл от любой величины (что позволяет вычислять ряд важных интегральных характеристик, таких, как полный поток, заряд, индуктивность и т.д.), а также вычисление переменных в точках и вычисление глобальных переменных. Все вычисленные величины автоматически сохраняются в таблицу. Результаты, полученные разными типами операций, сохраняются в разные таблицы (например, результаты, полученные нахождением минимума от величины, сохраняются в одной таблице, результаты, полученные путѐм интегрирования величины, - в другой и т.д.). Можно также собственноручно задавать, в какую из таблиц сохранять результат.

В число операций в этом блоке входят: нахождение средней величины (по объѐму, по поверхности и на линии), нахождение максимума и минимума (в объѐме, на поверхности и на линии), интегрирование (по объѐму, поверхности или линии), вычисление величины в точке и вычисление глобальной величины. Для операций нахождения максимума, минимума, среднего и интегрирования в случае нестационарного или параметрического решателя есть возможность нахождения среднего, максимума, минимума, интеграла, СКО, стандартного отклонения или дисперсии по времени или параметру от максимизированной, минимизированной, средней или интегральной величин (полученных соответствующим способом в объѐме, на поверхности или на линии).

Последний блок операций – экспорт данных. Предоставляются возможности для экспорта следующих типов данных:

34

экспорт анимации (позволяет экспортировать ряд из изображений, объединѐнных в группу), экспорт данных (сохранение числовых данных в текстовый файл), экспорт сетки, экспорт 1D, 2D, 3D графиков, экспорт интерактивной анимации, а также экспорт данных, на основании которых построены графики, в текстовый файл.

Ещѐ одним важным достоинством COMSOL 4.2 является возможность создания физического пользовательского интерфейса. Эта процедура осуществляется при помощи конструктора, который представляет собой интерактивную программную среду для создания физических интерфейсов, не прибегая к написанию программного кода. Процесс создания нового физического интерфейса похож на создание новой модели с той лишь разницей, что результатом создания является не модель, а новый интерфейс. Конструктор интерфейса так же, как и конструктор моделей имеет форму дерева, с помощью которого можно добавлять один или несколько (для создания мультифизического интерфейса) физических интерфейсов. Внутри каждого из интерфейсов задаются зависимые и независимые переменные и их размерность, виды решаемых уравнений, виды граничных условий и т.д.

FlexPDE – программный комплекс, выпускаемый компанией PDE Solutions Inc, является скриптовой мультифизической конечно-элементной средой, позволяющий решать задачи в таких областях исследований, как теплоперенос, анализ напряжений, механика жидкостей, электромагнетизм, химические реакции, диффузия и т.д. Данные решаемой задачи в FlexPDE записываются в скрипт-файл.

Версии FlexPDE постоянно обновляются. Последней на настоящий момент является версия 6.37 (выпущена 12-го февраля 2015-го года). Первая версия серии FlexPDE 6 вышла 1-го февраля 2009-го года. Версии серии FlexPDE 6 позволяют анализировать сложные конечно-элементные модели. Основными свойствами являются:

35

Решение систем дифференциальных уравнений первого и второго порядков в 1D, 2D, 3D декартовой геометрии, 1D сферической или цилиндрической геометрии или осесимметричной 2D геометрии;

Решение стационарной, или нестационарной системы уравнений, либо решение задачи на собственные значения. Стационарные и нестационарные уравнения могут быть объединены в единую задачу;

Одновременное решение любого количества уравнений, число которых ограничивается лишь возможностями компьютера;

Решение линейных и нелинейных уравнений. Для решения нелинейных уравнений FlexPDE автоматически использует модифицированный итерационный метод НьютонаРафсона;

Может быть определено любое число подобластей с различными материальными свойствами;

Переменные полагаются непрерывными вдоль границы раздела двух сред. Условия скачка производных следуют из системы дифференциальных уравнений.

Неограниченная сложность уравнений;

Произвольная лагранжева/эйлерова движущаяся сетка:

Возможность экспорта 3D-графиков;

Разбиение уравнений на множества, которые решаются поочерѐдно;

Использование комплексных, векторных переменных

ипеременных-массивов, а также соответствующих уравнений;

Возможность объявлять переменные неактивными в выбранных областях;

Возможность многопоточного режима для многоядерных процессоров;

Последние 4 свойства появляются в FlexPDE 6 впервые. FlexPDE – это полностью интегрированный решатель

дифференциальных уравнений в частных производных, содер-

36

жащий несколько внутренних модулей для полного решения системы:

Модуль редактирования скрипт-файлов, обладающий свойством выделения цветом текста, полным набором инструментов для редактирования текста, а также возможностью предварительного просмотра области в графическом виде;

Символьный анализатор уравнений расширяет заданные параметры и уравнения, производит дифференцирование по пространственным переменным, символьное интегрирование по частям для упрощения членов второго порядка для того, чтобы записать символьные уравнения Галѐркина. Также производится символьное дифференцирование этих уравнений для формирования якобиана системы;

Модуль генерации сетки осуществляет треугольное или тетраэдральное разбиение двумерной или трѐхмерной исследуемой области. В 2D случае в области создаѐтся неструктурированная треугольная сетка. В 3D случае 2D-область вытягивается в направлении третьей оси и полученная область обрезается поверхностями раздела. Результирующая область заполняется неструктурированной тетраэдральной сеткой;

Модуль конечно-элементного анализа выбирает подходящую схему решения для стационарных, нестационарных задач или задач на собственные значения с отдельными процедурами для линейных и нелинейных уравнений. Базовые функции могут быть линейными, квадратичными или кубическими;

Процедура адаптивного измельчения сетки проверяет адекватность разбиения и измельчает сетку, когда ошибка велика. Система повторяет эту процедуру итерационным способом, пока заданная пользователем точность не будет достигнута;

Процедура динамического контроля временного шага позволяет измерять кривизну функции решения от времени и подбирает временной шаг интегрирования, чтобы поддерживать заданную точность;

37

Модуль графического вывода позволяет задавать произвольные алгебраические функции, зависящие от решения, а также строить контуры, поверхности, матрицы стрелок или график рельефа поверхности;

Модуль экспорта данных позволяет формировать отчѐты, включающие в себя простые таблицы, полные конечноэлементные сеточные данные, CDF, VTK или TecPlot совместимые файлы.

Elmer – свободно распространяемый пакет, предназначенный для решения дифференциальных уравнений в частных производных. Разрабатывается финской компанией CSC – IT Center for Science. Elmer позволяет решать системы многих различных связанных уравнений, что даѐт возможность моделировать мультифизические задачи при помощи этого пакета.

Спомощью Elmer можно решать задачи из таких областей физики, как теплоперенос, течение жидкости, движение частиц, упругость, акустика, электромагнетизм, микрожидкости, квантовая механика. Для решения системы дифференциальных уравнений используются следующие средства:

Все базовые формы элементов в 1D, 2D, 3D с линейными и квадратичными лагранжевыми функциями формы;

Аппроксимация более высокого порядка с использованием p-элементов;

Схемы временного интегрирования для уравнений первого и второго порядков;

Методы решения задач на собственные значения;

Прямые решатели линейных систем (LAPACK, UMFPACK);

Итеративные решатели для подпространств Крылова для линейных систем;

Мультисеточные методы (CMG, AMG) для некоторых основных уравнений;

ILU предобуславливатель линейных систем;

Распараллеливание итерационных методов;

38