Учебное пособие 1035

Задаются большая и малая полуоси эллипса – основания конуса, центр основания, высота конуса, отношение периметра вершины и основания и смещение вершины (в случае усечѐнного конуса смещение центра эллипса) в плоскости, параллельной основанию вдоль двух осей, связанных с основанием, орт оси конуса, перпендикулярной основанию и угол вращения конуса вокруг этой оси;

эллипсоид – задаѐтся эллипсоид (если выбрано типтвѐрдое тело) или его граница (если выбрано тип-поверхность). Задаются три полуоси эллипсоида, его центр, орт оси, параллельной третьей полуоси эллипсоида и угол вращения эллипсоида вокруг этой оси;

спираль – задаѐтся спираль (если выбрано тип-твѐрдое тело) или еѐ граница (если выбрано тип-поверхность). Задаваемые параметры спирали – число витков, 2 радиуса – большой (расстояние от оси спирали до центра круга – сечения спирали в первом витке) и малый (радиус сечения спирали), осевой шаг спирали (расстояние между соответствующими точками соседних витков), радиальный шаг спирали (разность радиусов соседних витков), хиральность – направление закручивания спирали (по правилу правого или левого винта), геометрия концов спирали - параллельно оси спирали, перпендикулярно оси спирали или перпендикулярно сердцевине спирали. Также необходимо задать орт оси спирали и угол вращения вокруг этой оси и координаты центра первого витка. Геометрическое представление спирали в COMSOL Multiphysics задаѐтся двумя способами: при помощи кривых Безье и при помощи сплайнов. Разница состоит в том, что при представлении спирали посредством кривых Безье края, являющиеся пересечением поверхностей, формирующих спираль, являются видимыми, в то время как при представлении сплайнами они невидимы. Также необходимо задать относительную точность, характеризующую точность геометрического представления спирали;

19

шестигранник – задаѐтся шестигранник (если выбрано тип-твѐрдое тело) или его граница (если выбрано типповерхность) путѐм задания координат всех восьми вершин фигуры;

параметрическая кривая – аналогично 2D-случаю, только в 3D для определения вращения кривой необходимо задать ещѐ и орт оси вращения;

параметрическая поверхность – задание осуществляется таким же образом, как и в случае параметрической кривой в 3D с тем отличием, что в поверхность параметризуется при помощи двух параметров;

точка;

ломаная – отличается от двумерного случая невозможностью задать твѐрдое тело, ограниченное ломаной;

пирамида – задаѐтся прямоугольная пирамида или усечѐнная пирамида (если выбрано тип-твѐрдое тело) или еѐ граница (если выбрано тип-поверхность). Задаваемые параметры – стороны прямоугольника-основания, координаты его центра, высота пирамиды, отношение периметра вершин к периметру основания, смещение вершины относительно центра основания (в случае усечѐнной вершины смещение центра верхнего прямоугольника) вдоль двух осей, связанных с основанием. Задаѐтся также орт оси, перпендикулярной основанию пирамиды и угол вращения пирамиды вокруг этой оси;

сфера/шар – задаѐтся либо сфера (путѐм выбора типповерхность) или шар (путѐм выбора тип-твѐрдое тело). Задаваемые параметры – координаты центра, радиус, орт третьей оси системы координат, жѐстко связанной со сферой, и угол вращения сферы вокруг этой оси;

тетраэдр – задаѐтся тетраэдр (если выбрано типтвѐрдое тело) или его граница (если выбрано тип-поверхность) путѐм задания координат четырѐх его вершин;

тор – задаѐтся тетраэдр (если выбрано тип-твѐрдое тело) или его граница (если выбрано тип-поверхность). Задавае-

20

мые параметры – большой радиус (расстояние от центра тора до центра круга, являющегося сечением тора перпендикулярной плоскостью), малый радиус (радиус круга-сечения), угол вращения (угол вращения сечения тора вокруг его оси), центр тора, орт оси вращения тора и угол его вращения вокруг оси.

Для создания из примитивов объектов более сложных форм в COMSOL применяются различные геометрические операции.

Например, в 3D-геометрию можно создавать, используя рабочую плоскость. Рабочая плоскость определяется пользователем, существует несколько способов еѐ задания. После создания рабочей плоскости в ней создаѐтся 2D-геометрия, которая превращается в 3D путѐм операций вытягивания и вращения. По умолчанию вытягивание происходит в направлении, перпендикулярном рабочей плоскости на заданное расстояние (так, например, из прямоугольника получается параллелепипед, из круга – цилиндр и т.д.). Для создания более сложных объектов при вытягивании можно производить масштабирование, смещение или вращение. Вращение позволяет создавать поверхности вращения из 2D-объектов. Для этого необходимо задать вращаемый объект, ось вращения (точку на оси и орт оси), а также угол вращения вокруг этой оси.

Для создания композитных объектов используются булевые операции, такие, как вычитание (позволяет вырезать из одного объекта другой), пересечение (позволяет создавать объект, являющийся пересечением двух фигур), объединение. Также можно вручную записать формулу для создания нужной фигуры, используя вышеупомянутые операции.

Для линейных трансформаций объектов используются такие операции, как массив (создаѐтся одномерный, двумерный или трѐхмерный массив объектов, путѐм копий выбранного объекта с заданными смещениями), копирование (создаются копии исходного объекта, смещѐнные относительно исходного на заданные расстояния), зеркальное отражение (задаѐтся отражаемый объект, нормаль к плоскости(3D)/линии(2D) сим-

21

метрии и точка, принадлежащая плоскости/линии симметрии;

в1D задаѐтся координата точки, относительно которой происходит отражение), перемещение (отличается от копирования тем, что исходный объект не сохраняется), вращение (исходный заданный объект поворачивается вокруг оси, которая задаѐтся путѐм задания орта оси и точки на ней (3D) и только орта в 2D) на заданный угол; можно задать сколько угодно углов поворота для создания необходимого количества копий) и масштабирование (исходный объект расширяется или сжимается относительно неподвижной точки с заданными координатами; масштабирование может быть как изотропным (масштабный коэффициент одинаков для всех осей), так и анизотропным (масштабные коэффициенты для разных осей различ-

ны)).

Ещѐ одним видом геометрических операций являются трансформации объектов. Существуют 4 вида преобразований: преобразование в твѐрдое тело (из поверхности в 3D или из кривой в 2D), преобразование в поверхность (только для 3D из твѐрдого тела), преобразование в кривую (из твѐрдого тела в 2D, из поверхности или из твѐрдого тела в 3D), преобразование

внабор точек.

Среди остальных операций можно выделить обрезание углов (в 2D), сглаживание углов (в 2D), модификация объекта (модификация кривых и точек в 2D-геометрии), удаление областей, поверхностей (3D), кривых или точек, разделение объекта на соответствующие части и проведение касательных к кривым в 2D.

Помимо геометрического моделлера в COMSOL Multiphysics входит мощный конечно-элементный разбивщик.

В 1D-геометриях области, представляющие собой отрезки, разбиваются на подобласти (подотрезки). Каждый подотрезок называется элементом разбиения, его границы называются точками разбиения, а точки, являющиеся границами большого

22

отрезка, называются граничными элементами (или точечными элементами).

В2D-геометриях области разбиваются на два вида элементов - треугольники и четырѐхугольники. Их стороны называются сторонами разбиения, а вершины – точками разбиения. Если граница области искривлена, то она аппроксимируется в виде многоугольника, состоящего из близлежащих к границе сторон элементов разбиения. Такие стороны называются граничными или краевыми элементами. Граничные элементы смежных областей на общей границе должны совпадать. Точки

в2D-геометриях также представлены точечными элементами.

В3D-геометриях элементами разбиения являются следующие виды элементов: тетраэдры, призмы, шестигранники и пирамиды. Непосредственно при разбиении 3D объектов пользователю доступны только тетраэдры, остальные типы получаются путѐм различных операций над разбиением. Поверхности в 3D состоят из набора треугольников или четырѐхугольников, которые являются граничными элементами, края – из краевых элементов (аналогично 2D-случаю), точки – из точечных элементов.

Существует 2 способа разбиения области на элементы:

физический – разбивщик сам определяет размер элементов в соответствии с исследуемыми физическими явлениями. Так, в местах, в которых поведение исследуемого объекта представляет особый интерес (например, на границе трубы, по которой течѐт жидкость), разбиение мельче, чем в остальных частях геометрии. Средний размер элементов разбиения в этом случае определяется одним из девяти режимов, заложенных в COMSOL (с самого мелкого до самого грубого разбиения): Extremely fine, extra fine, finer, fine, normal, coarse, coarser, extra coarse, extremely coarse;

пользовательский – возможность пользователю задавать параметры разбиения.

23

вытягивание (3D) – производится разбиение на одной из граней (треугольниками или четырѐхугольниками), после чего происходит «вытягивание» этого разбиения в сторону противолежащей грани, так, что разбиения на этих гранях совпадают. Таким образом, в случае треугольного разбиения на гранях, сетка состоит из призм, в случае четырѐхугольного разбиения – из шестигранников. Плотность разбиения определяется путѐм задания максимального размера элемента или путѐм задания числа слоѐв из элементов.

Среди остальных операций по построению сеток стоит отметить следующие: преобразование сетки (позволяет, например, преобразовывать четырѐхугольное разбиение в треугольное, смешанное разбиение области в разбиение тетраэдрами и т.д.), копирование сеток с одной грани на другую (3D) и

содной границы на другую (2D), импорт сетки из файла и измельчение существующего разбиения (только для симплексных элементов).

После разбиения области на конечные элементы дифференциальные уравнения решаются методом конечных элементов. Суть состоит в том, чтобы неизвестную функцию, являющуюся решением дифференциального уравнения аппроксимировать функцией, поведение которой описывается конечным числом параметров, которые называются степенями свободы. Такая функция представляется в виде разложения по так называемым базисным функциям, коэффициентами в котором выступают вышеупомянутые степени свободы. Базисные функции являются функциями пространственных координат. После подстановки функции в дифференциальные уравнения получается система уравнений, неизвестными в которой являются степени свободы.

Описание базисных функций упрощается, если наряду с пространственной системой координат в соответствие каждому элементу поставить локальную систему координат, связанную

сконкретным элементом. В каждой из систем координат можно ввести стандартный симплекс (интервал для одномерного

25

случая, прямоугольный равнобедренный треугольник для двумерного и тетраэдр для трѐхмерного). В этом случае конечные элементы можно рассматривать как фигуры, полученные из стандартного симплекса путѐм аффинного преобразования. Базисные функции, описанные в локальных координатах, называются функциями формы.

В случае искривлѐнной границы целесообразно использовать искривлѐнные конечные элементы для более точного представления границы. Искривлѐнные элементы получаются, если зависимость пространственных координат относительно локальных не линейная, а является полиномиальной. Степень многочлена, выражающего эту зависимость, называется степенью геометрической формы.

Типы конечных элементов различаются заданием степеней свободы и функций формы. В COMSOL Multiphysics представлены следующие типы конечных элементов:

Лагранжевы элементы. Пусть - положительное целое число, называемое порядком элемента. Тогда на каждом из элементов искомая аппроксимируемая функция представляется в виде многочлена степени . Для задания функции необходимо знать еѐ поведение в конечном числе точек. Такие точки для лагранжевых элементов называются лагранжевыми. Это точки, чьи локальные координаты – целые числа, умноженные

на 1. Например, для треугольных элементов и = 2 таких то-

чек 6: (0,0), (0,0.5), (0.5,0.5), (0.5,0), (1,0), (0,1). Степенями сво-

боды в случае лагранжевых элементов являются значения функции-решения в лагранжевых точках. Для каждой лагранжевой точки базисная функция определяется как кусочная функция, являющаеся многочленом порядка , принимающая в данной точке значение 1, а в других точках – 0. Функция, являющаяся решением дифференциального уравнения, в отдельно взятом элементе представляется в виде линейной комбинации базисных функций, взятых со значениями функции в лагранжевых узлах в виде коэффициентов разложения. Порядок

26

лагранжевых элементов может быть любым, но действие формул для интегрирования ограничивается случаем ≤ 5 ( ≤ 4 для тетраэдральной сетки).

Элементы Аргириса. Применимы только для 2Dобластей с треугольным разбиением. Главным преимуществом по сравнению с лагранжевыми элементами является непрерывность производных базисных функций при переходе от одного элемента к другому. Также, базисные функции обладают непрерывной второй производной в вершинах треугольников. В каждом конечном элементе функция-решение представляется в виде многочлена 5-й степени от локальных координат. Степенями свободы при использовании таких элементов являются: значения искомой функции на углах, значения первых и вторых производных по пространственным координатам на углах,

атакже нормальные производные искомой функции на середине каждой из сторон треугольника, причѐм нормаль выбирается таким образом, что она направлена вправо при движении по ребру от точки с меньшим номером к точке с большим номером.

Эрмитовы элементы. Базисные функции в этом типе так же, как и в лагранжевых элементах, представляют собой

многочлены степени от локальных координат. Разница заключается в том, что для эрмитовых элементов вместо значений искомой функции в вершинах элементов разбиения берутся пространственные производные в этих точках, в то время, как остальные степени свободы для лагранжевых и эрмитовых элементов совпадают. Таким образом, искомая функция имеет непрерывные производные в вершинах разбиения. Порядок эрмитовых элементов должен быть больше или равен 3. Действие формул для интегрирования ограничивается случаем ≤ 5 ( ≤ 4 для тетраэдральной сетки).

Пузырьковые элементы. Функции формы для этих элементов представляют собой многочлен наименьшей степени, такой, что значения функций на сторонах элемента равны 0, а в середине элемента функция имеет максимум (для каждо-

27

го элемента, таким образом, имеется только одна функция формы).

Векторные элементы. Каждый элемент имеет только степени свободы, соответствующие касательной компоненте векторного поля. Таким образом, касательная компонента векторного поля непрерывна при переходе от одного элемента к другому, а значит, ротор векторного поля - интегрируемая функция, поэтому эти элементы широко используются в областях, где физические процессы описываются с помощью понятия ротора векторного поля, например, в электромагнетизме. Порядок векторных элементов в 3D случае максимум 3, в 1D и 2D случаях – максимум 4.

Разрывные элементы. Случай, похожий на случай лагранжевых элементов с тем различием, что в этом случае базисные функции терпят разрыв при переходе от одного элемента к другому. Действие формул для интегрирования ограничивается случаем ≤ 5 ( ≤ 4 для тетраэдральной сетки).

Если элементы не искривлены, случай аналогичен случаю разрывных элементов. Если же элементы искривлены, то функции, определяющие плотность, выражаются в локальных координатах, и их вид в пространственных координатах определяется формулами перехода от локальных к пространственным координатам.

Гауссовы точки. Определяют степени свободы, соответствующие Гауссовым точкам, использующимся при интегрировании. Для вычисления этих степеней свободы и использования их в уравнениях необходимо создать переменную с таким же названием. Использование элементов такого типа целесообразно, например, для хранения величин переменных в точках интегрирования при наличии в задаче явления гистерезиса.

Дивергентные элементы. В этом случае степени свободы на границах соответствуют нормальным компонентам поля, а внутри элементов – всем компонентам, так, что при переходе от одного элемента к другому нормальная компонента

28