Учебное пособие 1029

2. Расчет параметров риска для компонент систем

Как видно, для проведения численных расчетов вышеуказанных параметров достаточно знать величины первых начальных моментов плотности вероятности наступления ущерба.

Что же касается моды, то для рассматриваемого семейства экспоненциальных распределений можно сделать следующее обобщение

A(u) φ(u) = exp[B(u)],

где функции A(u) и B(u) определяются видом распределения. Поиск экстремума риска сводится к решению уравне-

ния

или

A(u) + uA′(u) − u A(u)B′(u) = 0.

Решение этого уравнения u0 позволит найти пик риска Rmax = Risk(u0). Представленные параметры достаточно полно характеризуют кривую риска.

Для иллюстрации рассмотрим показательное (экспоненциальное) распределение, где

φ(u) = λ exp(−λu).

Соответственно риск имеет вид

Risk(u) = λu exp(−λu).

Отсюда для поиска моды имеем

9

λ + u ∙ 0 − uλ ∙ λ = 0

или

uλ2 = λ.

Решением последнего уравнения является мода

u0 = 1λ.

3. Оценка рисков сложных систем на основе параметров рисков их компонентов

При создании защищенных систем, рассмотрение ущерба как случайной величины довольно распространено. Причем описание принято [6] осуществлять с использованием различных законов распределения, среди которых наибольшее популярностью пользуются регулярные законы. В данном классе существенное практическое применение нашло экспоненциальное (x>0) семейство: экспоненциальный и логнормальный законы; гамма-распределение; распределение Эрланга, Вейбула и Релея [5, 9].

Рассмотрим это семейство в контексте построения риск-моделей атакуемых систем, имея ввиду следующие обозначения:

φ(u)– плотность вероятности наступления ущерба u;

αk = ∫0∞ ukφ(u)du – k-ый начальный момент φ(n);

Risk(u)=u φ(u) – риск наступления ущерба u.

Будем исходить из того, что на основе статистики определен закон распределения φ(u), т.е. выдвинута и доказана гипотеза (скажем, с помощью критериев Пирсона или Колмогорова), определены параметры φ(u), соответствующие статистическим данным. Когда оценка рисков компонентов распределенной системы осуществлена, т.е. известны законы распределения риска и найдены его параметры для каждого компонента, представляется возможность рассчитать риск системы в целом [10]. При этом, будем исходить из того, что ущербы,

10

возникающие в ее компонентах при отказах и атаках на них слабо коррелированны между собой. Тогда ожидаемый общий ущерб системы можно найти как сумму ущербов в отдельных ее компонентах. Причем это допустимо не только для детерминированных, но и для случайных величин. С другой стороны относительная независимость этих параметров открывает перспективу соответствующих вероятностных оценок, рассматривая вероятность наступления общего ущерба как произведение вероятностей возникновения ущербов в компонентах системы. В этой связи может быть предложено следующее выражение оценки риска

где: ui – мера ущерба в i-ой компоненте;

φi(ui) – плотность вероятности наступления ущерба ui; n – количество компонентов системы.

В случае использования экспоненциального семейства распределений последнее выражение примет вид

где Аi и Bi – функции ущерба i-ого компонента, определенные на основе соответствующего типа регулярного распределения экспоненциального семейства.

Данное выражение может быть конкретизировано, если законы распределения для ущербов в компонентах однотипны (имеют общие выражения) и отличаются друг от друга лишь параметрически. Такое в принципе возможно при однотипности компонентов, различающихся только настройкой на свою

11

задачу. В этом случае, к примеру, для экспоненциального распределения имеем выражение для общего риска системы

где λi – параметр распределения плотности вероятности наступления ущерба в i-ой компоненте.

Для полученных выражений остается открытым вопрос о том, какие значения ui следует принимать во внимание. Здесь возможны по крайней мере два варианта: пиковая и средняя оценка.

При пиковой оценке используются координаты максимума риска (Rmax,u0) и общее выражение будет выглядеть следующим образом

где Rmax i – значение максимума риска в i-ой компоненте системы;

u0i – значение ущерба, при котором имеет место быть пик риска в i–ой компоненте системы, т.е. мода риска.

Алгоритм расчета общего риска в данном случае должен предусматривать прежде всего ввод данных о виде и параметрах распределений плотности вероятности наступления ущерба в каждой из компонент распределенной системы. Далее необходимо определить (в зависимости от вида распределения) координаты пика для всех компонентов системы. Полученные данные в результате следует использовать для расчета общего риска. Блок-схема данного алгоритма представлена на рис. 1.

12

Начало

Ввод данных о виде и параметрах распределения плотности вероятности наступления ущерба для i-го компонента системы

i=n

Расчет общего риска системы с помощью выражения (2)

Конец

Рис. 1. Блок-схема алгоритма расчета общего риска системы на основе пиковых оценок риска в ее компонентах

При использовании усредненных оценок в компонентах общий риск системы можно рассчитать с помощью выражения

В случае однотипных распределений плотности вероятности наступления ущерба в компонентах последнее выражение может быть конкретизировано:

Алгоритм расчета общего риска системы при усредненных оценках риска в ее компонентах прежде всего включает ввод данных о виде параметрах распределения плотности вероятности наступления ущерба в компоненте. Далее находятся

13

координаты среднего значения для ущерба в данной компоненте. Цикл с перебором по всем имеющимся в системе компонентам завершается расчетом по выражению (6). Блок-схема данного алгоритма изображена на рис. 2.

Начало

Ввод данных о виде и параметрах распределения плотности вероятности наступления ущерба для i-го компонента системы

i=i+1

Расчет координат усредненного ущерба i-ой компоненты системы

i=n

Расчет общего риска системы с помощью выражения (6)

Конец

Рис. 2. Блок-схема алгоритма расчета общего риска системы на основе усредненных оценок риска в ее компонентах

14

Практическая работа №1 Расчет параметров риска и общего риска системы

при использовании усредненных и пиковых оценок риска для нормального распределения плотности вероятности наступления ущерба

Цель практической работы заключается в исследовании функции риска системы при нормальном распределении плотности вероятности наступления ущерба на ее компоненты.

Задачи лабораторной работы:

получить аналитический вид параметров риска компонента системы (начальные и центральные момент, коэффициенты асимметрии и эксцесса, моду и пик функции риска);

получить аналитический вид функции риска системы с использованием усредненных и пиковых оценок при реализации синхронных и асинхронных атак на ее компоненты.

Теоретические сведения

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса.

Пусть распределение случайной величины Х задается плотностью вероятности , имеющей вид:

где: − математическое ожидание, медиана и мода распределения;

> 0 – среднеквадратическое отклонение (квадратный корень из второго центрального момента распределения).

15

Задание на практическ ую работ у

1. Рассчитать параметры риска для нормального распределения плотности вероятности наступления ущерба и внести результаты расчетов в следующую таблицу, образец которой приведен ниже в соответствии с формулами (1.1)-(1.18).

Таблица 2 Аналитические выражения риска и его параметров

(для распределения нормального распределения плотности вероятности наступления ущерба)

Аналитическое выражение риска наступления ущерба u

16

2. Получить аналитический вид функции риска системы с использованием усредненных и пиковых оценок при реализации синхронных и асинхронных атак на ее компоненты в соответствии с формулами (1.19), (1.20), (1.21).

Контрольные вопросы :

1)Как связаны между собой математическое ожидание и дисперсия?

2)Приведите аналитический вид формулы второго начального момента нормального распределения плотности вероятности.

3)Что характеризует коэффициент асимметрии?

17

Практическая работа №2 Расчет параметров риска и общего риска системы

при использовании усредненных и пиковых оценок риска для гамма-распределения плотности вероятности наступления ущерба

Цель практической работы заключается в исследовании функции риска системы при гамма-плотности вероятности наступления ущерба на ее компоненты.

Задачи лабораторной работы:

получить аналитический вид параметров риска компонента системы (начальные и центральные момент, коэффициенты асимметрии и эксцесса, моду и пик функции риска);

получить аналитический вид функции риска системы с использованием усредненных и пиковых оценок при реализации синхронных и асинхронных атак на ее компоненты.

Теоретические сведения

Гамма-распределение в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Пусть распределение случайной величины Х задается плотностью вероятности , имеющей вид:

−

( ) = { −1 Г( ) , ≥ 0, 0, < 0

где: Г( ) – гамма-фукнция Эйлера,> 0, > 0 − параметры гамма-распределения,

[0; ∞) − носитель распределения.

18