Рис. 2.2

Решение

Представим e(t) в комплексной форме, что с учетом нулевой начальной фазы выразится как E= 20 В.

Вычислим комплексное сопротивление

0,48

= 0,392 +0,482 e jarctg 0,319 = 0,57ej56,4 о A.

Ответ: İ = 0,57ej56,4 о A.

15

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3

Тема занятия: « Эквивалентные соединения и методы расчета сложных электрических цепей»

Домашнее задание

Изучить по конспекту лекций и литературе материал по следующим пунктам:

1.Эквивалентные соединения.

2.Эквивалентные источники напряжения и тока.

3.Метод наложения.

4.Расчет электрических цепей с помощью теоремы об эквивалентном источнике напряжения.

5.Общий метод расчета сложных электрических цепей.

6.Метод контурных токов.

7.Метод узловых напряжений.

Решить задачи

3.1.Сопротивление R=2 Ом и емкость С = 0,191 мкФ соеденены параллельно. Найти эквивалентную схему с последовательным соединением R и C при частоте f = 1 Мгц.

Ответ: R = 0,296 Ом; C = 0,224 мкФ.

3.2.Два генератора, имеющих одинаковую частоту, соеденены параллельно по схеме

Рис. 3.1

16

Используя эквивалентное преобразование источника

напряжения в источник тока, напряжение U на параллельно соединенных генераторах.

3.3. В схеме Ė1=120 В, Ė2=110 В, Z1 = Z2 = Z3=0,4+j0,6 Ом.

Рис. 3.2

Определить напряжение U3 используя:

а) метод наложения, б) теорему об эквивалентном источнике напряжения,

в) метод контурных токов.

Составить систему уравнений для определения токов в ветвях общим методом и методом узловых потенциалов.

Подготовиться к ответам на вопросы:

1.Сформулируйте условия, которые необходимо выполнить при замене одного участка цепи другим, эквивалентным первому.

2.Как перейти от последнего соединения элементов к эквивалентному параллельному соединению?

3.Как перейти от параллельного соединения элементов к эквивалентному последовательному соединению?

17

4. Объясните, почему эквивалентный переход от параллельного соединения к последовательному и наоборот верен только для одной и той же частоты f?

5. Объясните, что такое напряжение холостого хода U хх

и сопротивление короткого замыкания Zкз при определении тока в ветви по теореме об эк вивалентном источнике напряжения?

6.Сформулируйте теорему об эквивалентном источнике напряжения.

7.Какой принцип теории электрических линейных цепей используется при расчете методом наложения?

8.Сформулируйте порядок определения тока в ветви при расчете методом наложения.

9.Дайте определения понятиям : ветвь, узел, контур,

граф.

10.Сформулируйте определение для первого и второго законов Кирхгофа.

11.Как определить число независимых узлов и контуров для расчета цепи по общему методу?

12.Поясните порядок составления уравнений по общему методу расчета электрической цепи.

13.Чем отличается метод контурных токов от общего

метода?

14.Поясните порядок составления уравнений по методу контурных токов.

15.Какой закон Кирхгофа используется в методе узловых потенциалов?

Примеры решения задач

3.4. В схеме, имеющей C=10 мкФ, R=10 Ом, L= 100 мГн, вычислить комплексное сопротивление цепи для ω = 377 рад/с, используя правило эквивалентных преобразований.

18

С

R L

Рис. 3.3

Решение

Цепь, состоящую из последовательно соединенных R и L, представим эквивалентной цепью из параллельно соединенных элементов и определим g и b этой цепи

Комплексное сопротивление цепи находим как

19

Ответ: Ż =13,5 + j43,4 Ом.

3.5. Сопротивление R=10 Ом и индуктивность L=10 мГн соединены параллельно. Найти эквивалентную схему с последовательным соединением R и L при частоте f= 1000 Гц.

Решение

Записываем выражение для комплексного сопротивления, т.е.

В итоге получаем, что эквивалентная схема с последовательным соединением состоит из R=9,75 Ом и

L=2,48·10-4 Гн= =0,248 мГн.

Ответ: R=9,75 Ом, L=0,248 мГн.

3.6. В схеме изменить источники напряжения на эквивалентные источники тока, если Е1=10 В, Е2=30 В,

Z1 = 20+j10 Ом, Z2 = 5+j4 Ом.

20

Рис. 3.4

Решение

Произведем замену источников напряжения на эквивалентные источники тока, перечертив схему

Рис. 3.5

Значения величин токов İ1 и İ2 определим как

Для обратного перехода от источника тока к эквивалентным источникам напряжения необходимо, перечертив схему, вычислить значения E по формуле

Ė = İ·Z.

21

3.7. Используя теорему об эквивалентном источнике напряжения, определить ток I в сопротивлении Z5 для схемы

(рис. 3.6).

Рис. 3.6

Решение

Определим напряжение холостого хода Uхх между точками 1 и 2, разорвав ветвь

U хх = U4 − U3 = Z4 Z1 +E Z4 − Z2 E+ Z3 .

Сопротивление короткого замыкания Zкз между точками 1 и 2, определим из схем (рис. 3.7, рис. 3.8), т.е.

Ток через Z5 определим в соответствии с теоремой об эквивалентном источнике напряжения по формуле

I5 = ZкзU+кзZ5 .

22

Разрываем цепь источника İ1 и определим частичный токI3// в Z3 от источника İ2 (рис. 3.12), преобразовав его в эквивалентный источник напряжения Ė2 (рис. 3.13), т.е.

3.9. Используя метод контурных токов, определить токи в ветвях схемы (рис. 3.14).

Рис. 3.14

24

Ė1= 10 В, Ė2 = 20 В, L1 = 10 мГн, C1= C2 =100 мкФ, ω =10 рад/сек, R1= 50 Ом, R2= 5 Ом, R3=10 Ом.

Решение

Представим ветви в схеме (рис. 3.14) в виде комплексных сопротивлений Z1, Z2, Z3 (рис. 3.15).

Рис. 3.15

Определим значения комплексных сопротивлений Z1,Z2, Z3:

Составим систему уравнений по методу контурных токов, приняв за контурные токи: İ1 в контуре Ė1, Z1, Z2 и İ2 в контуре Е2, Z2, Z3 (рис. 3.16).

Рис. 3.16

25

İ1 ( Z1 + Z2 ) - İ2 Z2 = Ė1 İ2 ( Z2 + Z3 ) – İ1 Z2 = Ė2.

Перепишем систему уравнений в виде

İ1( Z1 + Z2 ) - İ2 Z2 = Ė1 - I1 Z2 + I2 (Z2 + Z1) =Ė2.

Решим эту систему уравнений, используя метод Крамера, записав матрицу сопротивлений в виде

Подставляя значения сопротивлений Z1, Z2, Z3 в матрицу, получим

В соответствии с формулами Крамера находим

Ток в ветви Z2 найдем как алгебраическую сумму токов İ1 и I2, т.е.

İZ3 = İ2 - İ1 = 1,258 + j0,144 – 0,292 + j0,047 =0,966 +j0,191 А.

Таким образом получаем, что

İZ1 = İ1 = 0,292 – j0,047 A, İZ2 = İ2 = 1,258 + j0,144 A, IZ2 = İ2 – I1 = 0,966 + j0,191 A.

3.10. Составить систему уравнений по методу узловых напряжений для схемы

Рис. 3.17

Для составления системы уравнений пор методу узловых напряжений используется только первый закон Кирхгофа. В схеме должны присутствовать только источники тока. Преобразуем схему с содержанием только источников тока, т.е.

27

Рис. 3.18

Величины токов определим из выражений

Зададимся также направлениями токов в ветвях, ориентируясь направлениями источников токов İ1 и İ2 (стрелки

на схеме). Из трех узлов схемы узел 3 выберем за базовый ( ) и

узлу 3. Задача расчета цепи состоит в определении U1 и U2 , по

которым можно найти токи во всех ветвях. Применяя первый закон Кирхгофа, составим два уравнения для узлов 1 и 2, используя понятие проводимости ветвей Y=1/Z

İ1 = U1 Y1 − U2 Y2 − (U1 − U2 )Y3 = 0, -İ2 + (U1 − U2 ) Y + U2 Y4 + U2 Y5 = 0.

После преобразования ( раскроем скобки и приведем подобные члены) получим

28

U1 (Y1 + Y2 + Y3) − U2 Y3 = I1,

U1 Y3 + U2 (Y4 + Y3 + Y5 ) = I2.

Для решения системы уравнений можно использовать формулу Крамера, как в задаче 3.9, и далее, например, применить программу для вычисления определителей на основе прикладного пакета Mathcad.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4

Тема занятия : « Частотно – избирательные цепи и колебательные контуры»

Домашнее задание

Изучить по конспекту лекций и литературе материал по следующим пунктам:

1.Комплексный коэффициент передачи. Амплитудночастотная и фазочастотная характеристики цепей. Годограф цепи.

2.Частотные характеристики и годографы простейших RC и RL цепей. Полоса пропускания и коэффициент прямоугольности избирательных цепей.

3.Последовательный колебательный контур. Условие резонанса. Резонанс напряжений. АЧХ и ФЧХ последовательного контура.

4.Входное сопротивление последовательного контура. Добротность контура.

5.Абсолютная, относительная и обобщенная расстройка контура. Уравнение резонансной кривой для случая малых расстроек. Связь между резонансной частотой, добротностью и полосой пропускания.

6.Влияния внутреннего сопротивления генератора и нагрузки на резонансные свойства последовательного контура.

29

Применение последовательного контура в радиотехнических устройствах.

7.Виды параллельных контуров. Резонанс токов в параллельном контуре.

8.Влияние внутреннего сопротивления генератора и нагрузки на резонансные свойства параллельного контура.

9.Сложный параллельный контур. Коэффициент включения. Согласование внутреннего сопротивления генератора с контуром.

10.Преимущества связанных контуров перед одиночными. Виды связи. Эквивалентные схемы замещения. Коэффициент связи и фактор связи. Вносимые сопротивления.

11.Настройка связанных контуров. Классификация резонансов. Полоса пропускания системы связанных контуров.

Подготовка к ответам на вопросы

1.Какие цепи называются избирательными?

2.Присутствие каких элементов обязательно в частотноизбирательных цепях?

3.Будет ли частотно-избирательной цепь, состоящая из одних резисторов?

4.Дайте определение комплексному коэффициенту передачи частотно-избирательной цепи?

5.Как получить амплитудно-частотную характеристику цепи (АЧХ) по известному комплексному коэффициенту передачи?

6.Как получить фазочастотную характеристику цепи (ФЧХ) по известному комплексному коэффициенту передачи?

7.Приведите примеры простейших частотно-избиратель- ных цепей.

8.Как определяется полоса пропускания частотноизбирательной цепи?

9.Что такое коэффициент прямоугольности цепи? Какой параметр цепи по нему определяется?

30

10.Дайте определение годографа частотно-избиратель- ной цепи, когда пользуются этим понятием?

11.Какой контур называется последовательным? Какие элементы в него входят?

12.При каких условиях в последовательном контуре наступает резонанс? Почему он называется резонансом напряжения ?

13.Изобразите зависимость модуля входного сопротивления последовательного контура от частоты?

14.Дайте определение понятиям : добротность, характеристическое сопротивление, резонансная частота.

15.Как необходимо изменить значения элементов L, C, R последовательного контура, чтобы повысить его добротность?

16.Какая существует связь между резонансной частотой, добротностью и полосой пропускания контура?

17.Как определить добротность контура по известной резонансной кривой (АЧХ)?

18.Каким внутренним сопротивлением должен обладать источник энергии, питающий последовательный колебательные контур, чтобы его резонансные свойства не изменились?

19.Какие виды параллельных контуров применяются в радиотехнических устройствах?

20.Назовите основные отличительные особенности параллельного контура от последовательного.

21.Как называется резонанс в параллельном контуре?

22.В чем состоит отличие сложного параллельного контура от простого?

23.Для каких целей применяется сложный параллельный

контур?

24.Перечислите основные преимущества связанных контуров перед одиночными.

25.Объясните, почему у связанных контуров более высокая крутизна АЧХ?

31

26.Какие виды резонансов наблюдаются в связанных контурах?

27.Какие виды резонансов наблюдаются в связанных контурах?

28.Где применяются связанные колебательные контуры?

Решить задачи

4.1. Для цепи, изображенной на рис. 4.1, напишите выражение для комплексного коэффициента передачи при следующих значениях элементов: R=100 Ом, С= 10 мкФ.

Рис. 4.1

4.2. Цепь состоит из катушки индуктивности L с сопротивлением потерь R и емкости C, соединенных последовательно. Напряжение на зажимах цепи равно 120 В. Определить напряжение на катушке индуктивности, если при этом напряжение на емкости равно 208 В.

Ответ: UL=240 В.

4.3. Какую индуктивность должен иметь последовательный контур, настроенный на частоту 106 Гц, чтобы он имел полосу пропускания П = 10 кГц, если сопротивление потерь R = 10 Ом?

Ответ: L = 160 мкГн.

32

Решение

Для определения постоянной времени τ преобразуем цепь, используя эквивалентную замену источника напряжения на источник тока (рис. 4.3).

Рис. 4.3

и далее осуществим обратное преобразование (рис. 4.4).

Рис. 4.4

В результате определяем постоянную времени цепи τ как

τ = R`∙C = R2 ∙ C = 102 ∙ 4 ∙10-6 = 2∙10-5 c.

Находим комплексный коэффициент передачи

Находим теперь выражение для АЧХ как К , используя правило определения модуля для дроби, т.е.

Для определения ФЧХ по формуле для К используем правило определения аргумента для дроби, по которому его значение равно аргументу числителя минус аргумент знаменателя, т.е.

φ (ω) = 0 – arctg ωτ = – arctg ωτ .

Для построения графиков АЧХ и ФЧХ заполним таблицу

значениями, вычисленными по формулам для │К│ и φ(ω), задаваясь значениями ωτ : 0; 0,33; 0,5; 1; 2; 3; 4; 5, а также вычисляя значениячастотыωпри известной величинеτ=2∙10-5 с.

По значениям из таблицы строим график (рис. 4.5).

35

Рис. 4.5

4.2. При некоторой частоте f в последовательном контуре xС = 220 Ом и xL= 170 Ом. Определить добротность контура, если известно, что сопротивление потерь контура R = 4 Ом.

Решение

Так как xC = ω1С , а xL=ωL, то можно записать, что x C x L = ωωCL = ρ2 .

Добротность контура определится как

индуктивности при резонансе, если э.д.с. источника, питающего контур, Е = 2 В.

36

Решение.

Величина напряжения на катушке индуктивности определяется выражением

UL = Q·E.

Исходя из этого, находим, что

Ответ: UL = 100 B.

4.4. При последовательном соединении L и C сопротивление контура в момент резонанса 4 Ом, при параллельном – 90 кОм. Емкость контура С=103 пФ. Определить волновое сопротивление контура ρ, индуктивность L и частоту генератора f.

Решение

Определяем волновое сопротивление контура по известным Rкп = 90 кОм и R = 4 Ом

Резонансную частоту контура определим из выражения для волнового сопротивления ρ =1/ω0С, с учетом, что ω0 =2πf0

37

Величину индуктивности находим, используя отношение

ρ = ω0L, т.е.

Ответ: ρ = 600 Ом, f = 265393 Гц, L = 360 мкГн.

4.5. Общая индуктивность сложного параллельного контура L = 150 мкГн, а емкость С = 390 пФ, сопротивление потерь R= 8 Ом. Каким образом, индуктивность L должна быть распределена по ветвям контура, чтобы его входное сопротивление было равно Rксл = 30 кОм.

Решение Определяем волновое сопротивление контура

Резонансное сопротивление простого параллельного контура будет равно

выражения

38

Часть индуктивности сложного контура определяется по известному ρ исходя из выражения

L1 = ρ·L = 0,79·150·10-6 = 118,5·10-6 Гн = 118,5 мкГн.

Оставшаяся часть индуктивности будет равна

L2 = L – L1 = 150 – 118,5 = 31,5 мкГн.

Ответ: L1 = 118,5 мкГн, L2 = 31,5 мкГн.

4.6. Система из двух одинаковых индуктивно связанных контуров имеет следующие параметры: L1 = L2 = 400 мкГн, C1= C2 = 100 пФ, R1 = R2 = 10 Ом. Определить наибольшую полосу пропускания и коэффициент связи, при котором обеспечивается эта полоса. Найти взаимную индуктивность М.

Решение Определяем резонансную частоту одиночных контуров

Наибольшая полоса пропускания будет равна

39

Пmax =3,1 fQ0 =3,1 796178200 =12403 Гц.

Коэффициент связи, соответствующий наибольшей полосе пропускания, будет равен

Ксв = AQmax = 2200,415 = 0,012.

Взаимную индуктивность М определим из выражения для фактора связи

Ответ: Пmax = 12403 Гц, Ксв = 0,012, М = 302 мкГн.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Общая электротехника и электроника [Текст]: учеб. пособие. В 3 ч. Ч. 1. Линейные электрические цепи / Б.В. Матвеев. - Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет 2006. - 241 с.

2.Матвеев Б. В. Общая электротехника и электроника [Текст]: учеб. пособие/ Б.В. Матвеев. - Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет, 2009. - 164 с.

40