Учебное пособие 811
.pdf
2. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку M1(2; -5) и отсекает отрезок втрое больше, чем на оси ординат (считая каждый отрезок, направленным от начала координат).
3. Даны уравнения сторон треугольника
3x 7 y 22 0 (АВ), 4x y 12 0 (ВС), 5x 9y 16 0 (АС).
Найти угол между высотой, проведенной из вершины В и прямой, проведенной через точку С параллельно АВ.
4.Дана прямая 6x 8y 15 0 . Найти уравнение прямой,
параллельной данной и отстоящей от нее на расстоянии четырех единиц.
5. Плоскость α проходит через точку Р(2; 1; 1) и отсекает на осях ох и oy отрезки, соответственно равные 4 и -6. Плоскость β задана уравнением mx 3y nz 6 0 . При каких
m и n плоскости будут параллельны?
6. Плоскость α проходит через точку M1(5; 3; 2) и параллельна двум векторам a 4;1;2 и b 5;3;1 . Плоскость β
проходит через точку Р1(1; 1; 1), Р2(2; 3; 2) и Р3(3; 4; 2). Найти угол между плоскостями α и β.
7. Вычислить расстояние между плоскостями
2x 11y 10z 15 0 и 2x 11y 10z 45 0 .
8. |
Написать |
|
каноническое |
уравнения |
|
прямой |
|
4x 4y 7z 1 0, |
. |
|
|
|
|
||
3x 5y z 5 0 |
|
|
|
|
|||
9. |
Найти |
точку |
симметричную точке С(-1; 2; 0) |
||||
относительно прямой x t 1, y 2t 3 , z 2t 4 . |
|
||||||
10. |
При |
каком |
|
n плоскость |
5x y nz 1 0 будет |
||
|
|
|
|
x 2y 3z 1 0, |
n |
-1 найти |
|
параллельна |
прямой |
2x y 4z 8 0 ? При |
|||||
точку пересечения и угол между прямой и плоскостью.
11.Прямая α проходит через точку M1(3; 4; 7) и M2(-1; 3;
50
3). Прямая β проходит через точку Р(3; 2; -1) параллельно
x 2t 5,
прямой y 3t 1, . Найти угол между прямыми α и β.
z 2t 3
Вариант 29
1.Вершиной треугольника служит точка M1(5; -3), а основанием – отрезок, соединяющий точки M2(0; -1) и M3(3; 3). Составить уравнение сторон треугольника и найти длину высоты треугольника.
2.Найти угол наклона к оси ох и начальную ординату
прямой x 3 1y 1.
3. |
Стороны |
треугольника |
заданы |
уравнениями |
|
3x 2y 6 0 (АВ), |
2x y 10 0 (ВС), |
x 3y 2 0 (АС). |
|||
Найти углы, которые медиана ВМ образует со сторонами АВ и ВС.
4.Написать уравнение прямой, параллельной прямым
2x 3y 7 0 и |
2x 3y 5 0 и проходящей посередине |
|||
между ними. |
|
|
|
|
5. |
Через |
точку |
пересечения |
плоскостей |
x 4y 5z 12 0 , |
x 2y 3z 9 0 , |
|||
3x 6y z 21 0 провести |
плоскость, |
параллельную |
||
плоскости 4x y 2z 1 0 . Полученное уравнение привести к уравнению в отрезках и построить.
6.Через точку Q(-1; 3; -8) проведены две плоскости, одна из них содержит ось Oy, другая Oz. Вычислить угол между этими плоскостями.
7.Плоскость проходит через точки M1(0; 1; 2), M2(2; 8; 3), M3(3; -2; -1). Найти расстояние точки Р(5; -8; 6).
8. Написать каноническое уравнения прямой
51
2x 7 y z 2 0,3z 3y 2z 6 0
9. |
Доказать, |
что |
прямые |
|
x 1 |
|
y 2 |
|
|
z |
|
и |
||
3 |
2 |
1 |
||||||||||||
x y z 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
параллельны |
и найти расстояние |
между |
||||||||||||
x y 5z 3 0 |
||||||||||||||
ними. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
Прямая |
α проходит |
через |
точку |
А(1; |
|
-3; |
6) |
||||||
параллельно оси Oy. Прямая β проходит через точку В(2; 1; -1)
параллельно прямой |
x 2 |
|
y 1 |
|
z 3 |
. Найти угол между |
3 |
|
1 |
||||
|
2 |
|
|
|||
прямыми.
11. Прямая проходит через точки M1(-1; 3; 0), M2(1; 7; 3). Плоскость задана уравнением 3x By 2z D 0 . При каких
B и D прямая лежит в плоскости?
Вариант 30
1. Даны вершины четырехугольника ABCD: A(2; 1), B(5; 2), C(3; 6), D(0; 3). Найти точку пересечения его диагонали. Через вершину С провести прямую, параллельную диагоналям
BD.
2. |
Дано уравнение прямой y 5 |
1 (x 4) . Написать |
|
|
3 |
уравнение в отрезках и нормальное уравнение. |
||
3. |
Найти внутренние углы треугольника, если даны |
|
уравнения его сторон: x 3y 3 0 (АВ), |
x 3y 3 0 (АС) и |
|
основание D(-1; 3) высоты AD.
4.Найти точку M симметричную точки N(7; -4) относительно прямой, проходящей через точки А(3; -2) и В(1; 4).
5.Плоскость α проходит через точку M1(1; 1; -4), M2(0; - 1; -1), M3(-1; 2; 12). Плоскость β задана уравнением
52
x 2y 3z 2 0 . Показать, что плоскости параллельны, и
выяснить, какая их них расположена ближе к точке Р(0; -7; 3). 6. Плоскость α проходит через точку M1(2; -4; 3) и отсекает на оси Oy отрезок вдвое меньше чем на оси ox и втрое больше чем на оси oz. Плоскость β задана уравнением 4x my nz 1 0 . При каких m и n плоскости параллельны?
При m=-1, n=2 найти угол между ними. |
|
|
|
|
|
||||||
7. |
Найти такое |
число |
а, |
чтобы |
четыре |
|
плоскости |
||||
x 3y 2z 6 0 , |
2x 3y z 1 0 , |
2z 6y 2z 5 0 , |
|||||||||
4x 4y 2z a 0 проходили через одну точку. |
|
|
|||||||||
8. |
Написать |
каноническое |
|
|
уравнения |
|
прямой |
||||
|
9x y z 1 0, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5y 3z 4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
При каких l и n прямая |
x 7 |
|
y 4 |
|
z 5 |
|
и плоскость |
|||
|
|
n |
|||||||||
|
|
|
l |
1 |
|
|
|
||||
3z y 2z 5 0 будут перпендикулярны? При |
l=5, n=4 |
||||||||||
найти угол между ними.
10.Прямая α проходит через точку M1(-1; 2; 4),
перпендикулярно плоскости 2x y |
6z 10 0 . Прямая β |
|
проходит через точки M1(2; 3; -5) и M2(-4; 0; 3). Найти угол |
||
между прямыми α и β. |
|
|
11. |
Найти точку M симметричную точке Р(-1; 2; 4) |
|
относительно плоскости 3x 2y z 9 |
0 . |
|
53
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Ильин В.А., Позняк З.Г. Аналитическая геометрия.
М., 1981.
2.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., 1976.
3.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии.
М., 1969.
4.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М., 1967.
5.Лунгу К.Н.. Письменный Д.Т. и др. Сборник задач по высшей математике. М.: Рольф, 2001.
6.Пантелеев И.Н. Практикум по высшей математике: векторная алгебра и аналитическая геометрия / И.Н.Пантелеев. Воронеж: ФГБОУВПО «Воронежский государственный техни ческий университет», 2012. – 228 с.
7.Пантелеев И.Н., Фурсова С.А. Аналитическая геометрия на плоскости. Учеб. пособие / ВГТУ. Воронеж, 2001. 82 с.
54
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы
по курсу "Высшая математика" для студентов направления 280700.62 "Техносфернаябезопасность" («Защитавчрезвычайныхситуациях»,
«Безопасностьжизнедеятельностивтехносфере», «Защитаокружающейсреды»)
очной формы обучения.
Составитель: Пантелеев Игорь Николаевич
В авторской редакции
Компьютерный набор И.Н. Пантелеева
Подписано к изданию 4.12.2014.
Уч.-изд. л. 3,4
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14
55