Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 811

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

592.83 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Решение: Уравнение плоскости, проходящей через три данные

точки		M1 (x1 , y1 , z1 ), M 2 (x2 , y2 , z3 ), M 3 (x3 , y3 , z3 )							имеет	вид
	x x1	y y1			z z1
	x x1	y y1			z z1
	x2 x1	y2 y1		z2 z1		0 .	В	данном	случае
	x3 x1	y3 y1		z3 z1
	x 1	y 3	z 4		0 .
	x 1	y 3	z 4
	1	1	5
	0	4	5
Раскрывая					этот		определитель,		получим
15(x 1) 5( y 3) 4(z 4) 0 или								15x 5y 4z 14 0		-

уравнение плоскости . Если плоскость проходит через ось

ОХ, А = 0, D	= 0(общее	уравнение	плоскости
Ax By Cz D 0 )	т. е. By Cz 0 .	Плоскость	проходит

через ось ОХ и точку М4 (9,-3, 8). Подставляем в это

уравнение координаты точки М4

получим 3B 8C 0

или

, таким образом, имеем

y Cz 0 , т. е. 8y 3z 0 -

уравнение плоскости .

Угол

между

плоскостями

определяется

по

формулам

cos

A1 A2 B1 B2 C1C2

где

B2 C 2

C 2

A1 , B1 ,C1 ,

A2 , B2 ,C2 .

Нормальный

вектор

плоскости :

15, 5, 4 . Для плоскости :

0, 8, 3 .

Определяем

острый

угол

между

плоскостями

cos

15 0 5 8 4 3

;

152 ( 5)2 ( 4)2

02 82 32

256 73

16 73

4 73

arccos

67 .

Задача 8. Общее уравнение прямой	3x 3y z 1 0,
		0
	2x 3y 2z 6

преобразовать к каноническому виду.

Решение:

Первый способ. Наметим такой план решения задачи: из системы исключим сначала y и выразим z через x, потом исключим х и выразим z теперь уже через y.

Для того чтобы из системы исключить у, сложим первое уравнение системы почленно со вторым. Получим, что

		x	7
5x z 7 0 , откуда	z 5x 7, z		5	.
5x z 7 0 , откуда	z 5x 7, z	1		.
		1
		5

Умножая первое уравнение на (2), а второе на ,(-3) и складывая

их	почленно,		получим					15y 8z 16 0 ,	откуда
		16		y 16
		16			15
8z 15 y			или z		15		.
8z 15 y			или z				.
		15				8
					15

Сравнивая найденные значения z, получаем уравнение прямой

	x	7	y		16		z 0
в каноническом виде		5			15			.
	1
					8	1
	5			15

Умножая теперь все знаменатели на 15, окончательно получим

x	7		y		16		z 0
x	5		y		15		z 0	. Прямая проходит через	точку
3				8				. Прямая проходит через	точку
3				8		15
7				16					8; 15 .
7		;		16	; 0	и имеет направляющий вектор S 3;
M	5	;		5	; 0	и имеет направляющий вектор S 3;
	5			5
								11

Второй способ. Найдем направляющий вектор S l; m; n прямой. Так как он должен быть перпендикулярен

нормальным векторам заданных плоскостей

3; 3; 1 и

2; 3; 2 , то

в качестве его можно взять векторное

произведение

векторов

1 3i 8

Таким образом, l = -3, m = 8, n = -15. За точку M 0 x0; y0; z0 , через которую проходит искомая прямая, можно принять точку её пересечения с любой из координатных плоскостей, например с плоскостью ХOY. Поскольку при этом z0 0 ,

координаты x0 , y0 определяются из системы уравнений заданных плоскостей, если положить в них z 0

3x 3y 1 0					,	отсюда получаем		x0		7	,	y0			16	. Так как
				0	,	отсюда получаем		x0		7	,	y0			16	. Так как
2x 3y 6				0						5					15
каноническое уравнение имеет вид								x x0						y y0			z z0		, то
каноническое уравнение имеет вид									l					m					, то
									l					m			n
										7		16
в			данном				случае		x	5			y 15			z 0		или
в			данном				случае		3									или
7		16							3			8					15
7		16
	x 5		y 15			z 0	.
3			8			15	.
3			8			15

Задача 9. Написать уравнение прямой l, проходящей через точки А (-1; 2; 3) и В (5; -2; 1). Лежат ли на этой прямой точки:

К (-7; 6; 5), L (2; 0; 1), М (-4; 4; 4)? При каком значении m

прямая l перпендикулярна прямой x m 2 2y z 5 2 .

Решение: Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М (х1; y1; z1) и N(x2; y2; z2):

	x x1				y y1			z z1
	x	2	x		y	2	y	z	2	z
		2	1			2	1		2		1
Прямая							l:	x 1				y 2		z 3	или	x 1		y 2		z 3	.
Прямая							l:		6			4			или						.
									6			4		2			3	2		1
Подставляем в эти уравнения координаты точек K, L, M,
соответственно									находим:					7 1			6 2		5 3	2 ;
	2 1			0 2									3				2		1
	2 1			0 2			1 3	;						4 1			4 2		4 3	1 .
		3		2			1						3				2		1

Следовательно, K l, M l, L l. Условие перпендикулярности

двух

прямых

l1l2 m1m2 n1n2

0, где

l1, m1, n1 ,

l2 , m2

, n2 . В данном

случае для прямой l :

3, 2, 1

m, 2, 5 .

Тогда 3 m 2 (2) 1 (5) 0

3m 9

При m 9 прямые перпендикулярны.

Задача 10. При

каких

значениях

n и

прямая

x 1

y 2

z 1

плоскость

Ax 2y z 3 0

будут

перпендикулярны? При n = -1 и А = 3 найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними.

Решение: Al mB Cn - условие перпендикулярности прямой и плоскости (Рис. 6).

Рис. 6

В данном случае N A, 2, 1 , S 2, 1, n

A 2 1 2 1 n

При А = -4; n = 12 прямая и плоскость перпендикулярны.

Если n = -1, то прямая имеет вид			x 1		y 2	z 1	.
			2
				1		1
Если А = 3, то плоскость имеет вид 3x 2y z 3 0 .
Запишем	уравнение	прямой	в	параметрическом				виде:
x 1 2t,	y 2 t, z	1 t . Подставляя значения x,						y, z в

уравнение плоскости, имеем 3( 1 2t) 2(2 t) (1 t) 3 0 ,

откуда t 3. Подставляя теперь это значение t в параметрические уравнения прямой, находим координаты точки пересечения: x 5, y 5, z 2 , М (5; 5; -2).

Острый угол между прямой		x x0	y y0		z z0	и
		l	m		n
плоскостью Ax By Cz D 0
	определяется			по формуле
14

sin								Al Bm Cn					.		Учитывая,				что
sin			A2		B2 C 2					l 2 m2 n2			.		Учитывая,				что
		3, 2, 1 ,					2, 1,		1								получаем
	N	3, 2, 1 ,				S	2, 1,		1								получаем
						3 2 ( 2) 1 1 ( 1)									3			3
sin						3 2 ( 2) 1 1 ( 1)									3			3
sin			32 ( 2)2 12							22 12 ( 1)2					14	6	2 21
			32 ( 2)2 12							22 12 ( 1)2					14	6	2 21
arcsin					3			19
arcsin				2	21			19			x 1	y		z 1
				2	21
Задача 11. Дана прямая															и вне её точка
Задача 11. Дана прямая										2		3		1	и вне её точка
										2		3		1
М (1; 1; 1). Найти точку N, симметричную М относительно
данной прямой.

Решение: Проведем	через М плоскость , перпендикулярную
к данной прямой.	:	2(x 1) 3( y 1) (z 1) 0 или

2x 3y z 4 0 .

Найдем точку Q, где эта плоскость пересекает данную прямую. Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: x 1 2t, y 3t, z 1 t . Подставляя x, y, z в уравнение

плоскости, получим 2(1 2t) 3(3t) ( 1 t) 4 0 ,									отсюда
	1			8	;	3	;	15
t		. Точка Q имеет координаты	Q						. Тогда
	14			7		14
								14

координаты симметричной точки можно найти из формулы координат середины отрезка, т. е.

	xM xN			;			yM yN		;		zM zN	или
x					y					z
							2
	2										2
8	1 xN ;		3			1 yN		;	15		1 zN .	Откуда
7		14							14
	2						2				2

xN 97 , yN 74 , zN 227 . Следовательно, N( 97 ; 74 ; 227 ) .

2. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ТИПОВОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

1.	Проверить, является ли прямоугольным треугольник с
вершинами А (4; -5), B (7; 6) и С (-7; -2). Составить уравнения
его сторон.
2.	Через	точку	пересечения	прямых
x 2y 4 0 и 2x 3y 7 0 провести				прямую,
составляющую с осью ОХ угол 45°.
3.	К какой	из двух прямых: 3x 5y 8 0 и 5x-3y 15 0
точка М(-1;2) находится ближе?
4.	Показать,	что отрезки	прямых 2x y 4 0, x-3y 5 0,
4x-2y 1 0 и 2x y-5 0			образуют трапецию.	Найти

внутренние углы трапеции.

5.Дан тетраэдр с вершинами А(1; 3; 6), В (2; 2; 1), С (-1; 0; 1) и В (-4; 6; -3). Найти длину высоты, проведенной из вершины А, и угол между гранями ВСD и АСВ . Составить уравнение плоскости, проходящей через вершину А параллельно грани

BCD.

6.Плоскость проходит через точку M (1; -3; 5) и отсекает на осях ОY и OZ вдвое большие отрезки, чем на оси ОX. Вычислить направляющие косинусы прямой, перпендикулярной к этой плоскости.

7.Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох

перпендикулярно к плоскости6x 5y 7z 10 0 .
8.	Написать	канонические			уравнения
	2x y z 2 0,		.
прямой:
	2x y 3z 6 0
9.	Найти точку	пересечения прямой		2x 2y z 1 0,		с
					2z 0
				3x 2y

плоскостью x 2y 3z 29 0 и угол между ними. 16

10. Дан треугольник с вершинами А (7; 2; -6), В (11; -3; 5), С (- 3; 4; -2). Составить уравнение медианы, проведенной из

вершины В. При каком значении m прямая

x 1

y 1

z 2

будет перпендикулярна построенной прямой?

11. Проверить, лежит ли прямая

x 1

y 3

z 2

на

плоскости 4x 3y z 3 0 .

Вариант 2

1.Написать уравнения высот треугольника, вершины которого находятся в точках К (2; 5), А. (-4; 3), М (6; -2).

2.Найти угол наклона к оси ОХ и начальную ординату

прямой		x		y	1. Построить данную прямую.
			3
		1
3.	Найти		расстояние между			параллельными		прямыми
2x 3y 5 0 и 2x-3y 21 0 .
4.	Даны				уравнения	сторон	треугольника:
6x 5y 13 0 (AB),10x 3y 35 0 (AC)
и x 2y 5 0 (BC) . Определить угол							между	медианами,

проведенными из вершин А и В.

5. Плоскость проходит через точки А (-1; 3; 4), B (-1; 5; 0) и C (2; 6; 1), плоскость задана уравнением 3x y z 3 0 .

Показать, что плоскости перпендикулярны, и выяснить, какая из них расположена ближе к началу координат.

6.Через точку M (-5; 16; 12) проведены две плоскости: одна из них содержит ось OX, другая - ОY . Вычислить угол между этими плоскостями.

7.Через точку М (2; 3; -1) провести плоскость,

параллельную плоскости 2x 3y 5z 4 0 . Составить для построенной плоскости уравнение в "отрезках".

8.Написать канонические уравнения

	x 3y 2z 2 0,				.
прямой:		3y z 14 0
	x
9.	Составить уравнения прямой, которая проходит через
точку А (1; -5; 3) и образует с осями координат ОХ и OY углы,
соответственно равные 60					и 45 , а с осью OZ – тупой угол.
10.	Показать,						что		прямые
x	2 5t,		x y z 4		0,
	9t,	и					взаимно перпендикулярны.
y
	1 7t		2x 3y z 32 0
z									Ax 3y 5z 1 0 будет
11.	При каком значении А плоскость
параллельна прямой				x 1		y 2		z	. При А = 4 найти угол

			4		3		1

между ними.

Вариант 3

1.В параллелограмме АВСD даны вершины А (-1; 3), В (4; 6) и С (1;-5). Составить уравнения его сторон.

2.Какая зависимость существует между а и b , если угол

наклона прямой ax by 1 к оси OX равен 45° ?

3. Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую 15x 8y 51 0 , и угол, образованный

этим перпендикуляром с осью ОУ.

4.Дан треугольник с вершинами: А (-3; -5), В (9; 1) и С (-3; 5). Определить координаты точки пересечения и острый угол между медианой, проведенной из вершины А, и высотой, проведенной из вершины С на сторону АВ.

5.Плоскость проходит через точки А (-1; 10; -3), (1; 1; -5) и

С (5; 4; -2), плоскость проходит через точку М (2; -3; -9) и отсекает на осях ОХ и ОУ отрезки а = 18, b = 27. Показать, что плоскости параллельны, и найти расстояние между ними.

6.Написать уравнение плоскости, проходящей через

точку	М	(-3;			1;	2)	параллельно	векторам
a 2; 5; 1 и				4; 1;	2 .	Найти	угол между	построенной
			b

плоскостью и плоскостью 18x 8y 11z 10 0 .

7.Нормаль к плоскости составляет с координатными

осями ОХ и ОУ угол = 150° и = 120°. Составить уравнение плоскости при условии, что расстояние Р от начала координат до неё равно 5 ед. Указать особенность в расположении плоскости.

8. Написать канонические уравнения

x 2y z 4 0,

прямой: .

2x 2y z 8 0

9.Найти острый угол между прямыми, одна из которых

задана уравнением			x 2	y 4			z 9	, другая	проходит
задана уравнением		4					10	, другая	проходит
		4			1		10
через точки А (2; -5; 3) и В (13; 2; -5).									x 5 3t,
									x 5 3t,
10.	При каких	значениях			В	и n		прямая	y 9 4t,
перпендикулярна плоскости 6x By 10z 9 0 ?									z 2 nt
перпендикулярна плоскости 6x By 10z 9 0 ?
11.	Составить уравнение прямой, проходящей через точку М
					2x 3y z 6 0,				.
(-4; -7; 1) и параллельно прямой									.
					4x 5y z 2 0

Вариант 4

1.В треугольнике АBС известны вершины А (-3; -4), В (1; -2) и С (7; -2). Составить уравнения средней линии, параллельной АС , и медианы, проведенной из вершины В.

2.Составить уравнение прямой, если известно, что она

проходит через точку A(-1; 4) параллельно прямой				x		y	1.
проходит через точку A(-1; 4) параллельно прямой				5			1.
				5	2
3. Стороны	треугольника	выражаются	уравнениями
		19

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022591.22 Кб3Учебное пособие 807.pdf
#
30.04.2022591.39 Кб4Учебное пособие 808.pdf
#
30.04.2022591.5 Кб2Учебное пособие 809.pdf
#
30.04.2022265.22 Кб2Учебное пособие 81.pdf
#
30.04.2022591.51 Кб2Учебное пособие 810.pdf
#
30.04.2022592.83 Кб5Учебное пособие 811.pdf
#
30.04.2022594.09 Кб3Учебное пособие 812.pdf
#
30.04.2022594.18 Кб2Учебное пособие 813.pdf
#
30.04.2022594.93 Кб1Учебное пособие 814.pdf
#
30.04.2022595.06 Кб1Учебное пособие 815.pdf
#
30.04.2022595.09 Кб1Учебное пособие 816.pdf