Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Числовые и функциональные ряды. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу Высшая математика. Пантелеев И.Н

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

493.57 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

327 - 2012

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы

по курсу "Высшая математика" для студентов направления 280700.62 «Техносферная безопасность»

(«Защитавчрезвычайныхситуациях», «Безопасность жизнедеятельностивтехносфере», «Защитаокружающейсреды») очной формы обучения

Воронеж 2012

Составитель канд. физ.-мат. наук И.Н. Пантелеев

УДК 681.3.06

Числовые и функциональные ряды: методические указания для организации самостоятельной работы по курсу "Высшая математика" для студентов направления 280700.62 «Техносферная безопасность» («Защита в чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды») очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; Сост. И.Н. Пантелеев. Воронеж, 2012. 48 с.

Настоящие методические указания предназначены в качестве руководства для организации самостоятельной работы

по курсу "Высшая математика" при изучении во 2 семестре раздела «Числовые и функциональные ряды» для студентов специальностей ЧС, БЖ и ЗС. В работе приведен теоретический материал, необходимый для выполнения заданий и решения типовых примеров.

Методические указания подготовлены на магнитном носителе в текстовом редакторе Microsoft Word 2003 и содержатся в файле Vmfmm_ChRd1.pdf.

Ил.4. Библиогр.: 8 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Ломакин Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

1.1. Сходимость и расходимость ряда. Необходимый признак сходимости

Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел

ax , a2 ,..., an ,... .

Тогда выражение

∞
∑an = a1 +a2 +a3 +... +an +...	(1)

n=1

называется числовым рядом, а сами числа ax , a2 ,... - членами

ряда. Сумма n первых	членов ряда	называется п-й
частичной суммой ряда	и обозначается Sn :
n
Sn = ∑ak	= a1 +a2 +... +an .	(2)
k =1
Если существует предел S бесконечной		последовательности
чисел S1, S2 ,..., Sn ,... , т.е.
lim Sn = S ,		(3)
n→ ∞

то этот предел называют суммой ряда (1), а сам ряд (1) в этом

случае называется сходящимся. Если же предел lim Sn не

n→∞

существует, то ряд (1) называют расходящимся. Расходящийся

ряд суммы не имеет. Однако, если lim Sn = ±∞, то иногда

n→∞

говорят, что ряд (1) имеет бесконечную сумму.

Пусть ряд (1) сходится. Тогда его частичная сумма Sn

является приближённым значением для	суммы S .
Погрешность этого приближения
rn = S −Sn	(4)

называется остатком ряда. Этот остаток является суммой ряда:

∞
rn = ∑ ak = an+1 +an+2 +...	(5)

k =n+1

Если ряд (1) сходится, то
lim r =	0 .
n→∞ n
Бесконечная геометрическая прогрессия
a +aq +aq2 +... ( a ≠ 0 )	(6)

есть сходящийся числовой ряд, если q <1 . Сумма ряда (6) равна в этом случае

			S =		a	.
			S =	1	−q	.
				1	−q
В случае	q	≥1 ряд (6) расходится.
В случае	q	≥1 ряд (6) расходится.
Если ряд (1) имеет сумму S , то ряд
		∞
		∑c an = ca1 +ca2 +... +ca +...					(7)
		n=1
сходится и имеет сумму c S . Если же ряд (1) расходится,								то
(при c ≠ 0 ) расходится и ряд (7).
Сходящиеся ряды можно			почленно складывать и вычитать,
т.е., если даны сходящиеся ряды
		S = a1 +a2 +.. +an +...					(8)
то ряды		σ = b1 +b2 +... +bn +...,					(9)
то ряды		(a1 +b1 ) +(a2 +b2 ) +... +(an +bn ) +...					(10)
		(a1 +b1 ) +(a2 +b2 ) +... +(an +bn ) +...					(10)
		(a1 −b1 ) +(a2 −b2 ) +...+(an −bn ) +...					(11)
тоже сходятся, и суммы их соответственно равны S +σ								и
S −σ .
Свойство		сходимости	или			расходимости	ряда	не

нарушается, если отбросить или прибавить к нему любое конечное число членов.

Необходимый признак сходимости ряда:

Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю

при n → ∞, т. е. lim an = 0 .

n→∞

Обратное утверждение неверно. Из того, что lim a	n	= 0 ,
n→∞	n

∞

сходимость ряда ∑an не следует. Для сходимости ряда общий

n=1

член ряда должен не просто стремиться к нулю, но делать это достаточно быстро.

∞		=1+	1		1	+... +	1	+... ,
Пример 1. Члены ряда ∑1				+
n=1	n		2		3		n

называемого гармоническим, стремятся к нулю с ростом их

номеров ( lim 1	= 0 ), однако этот ряд расходится, его lim Sn = ∞ .
n→∞ n	n→∞

(Расходимость может быть доказана интегральным признаком).

∞

Пример 2. Члены ряда ∑

+... +

+... тоже

n=1

стремятся к нулю с ростом

их

номеров

(lim

= 0) , но

n→∞

убывают быстрее, чем члены гармонического ряда. Этот ряд уже является сходящимся, его сумма может быть найдена по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S =		a	=	1		−	1	=1.
		1			1
	1	−q		2			2

С помощью необходимого признака сходимости нельзя доказать сходимость ряда, но иногда удаётся доказать расходимость, применяя следствие из необходимого признака, которое легко доказывается от противного.

Следствие из необходимого признака сходимости:

Если lim an ≠ 0 , то ряд расходится.

n→ ∞

Пример 3. Выяснить, сходится или расходится ряд

∞	n
∑		.
	n +1
n=1

Общий	член	этого	ряда	an =	n	.
					n +1

lim a	n	= lim	n	= lim		1		=1, т. е. lim a	≠ 0 . На основании
lim a		= lim		= lim			1	=1, т. е. lim a	≠ 0 . На основании
n→ ∞		n→ ∞ n +1		n→ ∞	1	+	1	n→∞	n
					1	+	n
							n

следствия из необходимого признака заключаем, что данный ряд расходится.

Пример 4.			Проверить,			выполняется ли необходимый
						∞	2n
признак сходимости для ряда ∑								.
							2
		2n			2 n	n=1 n	+1
lim a	= lim			= lim		= 0 .	Необходимый признак
					1+1 n2
n→∞ n	n→∞ n2 +1			n→∞

выполняется, поэтому ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся, что можно установить лишь после дополнительного исследования.

Исследование сходимости рядов, как правило, сводится к вычислению некоторых пределов, при этом часто используются известные условия эквивалентности бесконечно

малых, которые применительно к рядам принимают вид при n → ∞:

sin

ln 1

, arctg 1 1 ,

arcsin

−1

n n

2πn

(формула Стирлинга).

Часто также приходится иметь дело с пределами:

ln n

(p > 0),

1 n

= e ,

lim

p = 0

lim

=1.

n→ ∞

1.2. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости

Рассмотрим числовые ряды с положительными членами:

∞
∑an	= a1 +a2 +... +an +...			(an > 0) ,	(1)
n=1
∞
∑bn	= b1 +b2 +... +bn +...			(bn > 0) .	(2)
n=1
Первый признак сравнения. Если для n ≥ n0 an ≤ bn					и ряд (2)
сходится, то сходится также и ряд (1). Если для n ≥ n0					an ≥ bn и
ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).
Второй признак сравнения. Если				существует конечный
и отличный от нуля предел
	lim	an	= A ≠ 0	,
	lim		= A ≠ 0	,
	n→∞ b
		n
то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.

При использовании признаков сравнения исследуемый ряд часто сравнивают или с бесконечной геометрической прогрессией

∞

∑a qn (a ≠ 0) ,

n=1

которая при

<1 сходится, а при

≥1 расходится,

∞

или с рядом Дирихле ∑

(р -

действительное число). При

n=1

p =1 этот ряд является гармоническим.

Признак Даламбера. Пусть для ряда (1)

lim

an+1

= q .

n→∞ a

Если q < 1, то ряд сходится, если q > 1, то ряд расходится. При q = 1 вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым.

Признак Коши. Пусть для ряда (1)

lim n an = q .

n→∞

Если q < 1, то ряд сходится, если q > 1, то ряд расходится. При q = 1 вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым.

Интегральный признак. Если f (x) - неотрицательная невозрастающая функция при x>0, то ряд

∞

∑ f (n)

n=1

сходится или расходится одновременно с интегралом

∞∫ f (x)dx.

Замечание 1. Нижним пределом интегрирования может быть любое другое положительное число из области определения функции.

Замечание 2. С помощью интегрального признака легко доказать, что ряд Дирихле

∞

∑

n=1

сходится при р > 1 и расходится при р ≤ 1.

∞

Пример 1. Выяснить, сходится или расходится ряд ∑

n=1

Данный ряд

знакоположительный.

Сравним

его

∞

гармоническим рядом

∑

который

расходится.

Члены

n=1

данного

ряда

больше соответствующих

членов

гармонического ряда:

≥

(n=1,2,3,…).

По первому

признаку

сравнения

из расходимости

гармонического ряда следует расходимость данного ряда. Замечание. Расходимость данного ряда можно доказать с

помощью интегрального признака или просто указать, что ряд

∞

∑

есть ряд Дирихле при p = 1/2. Так как р< 1,

то ряд

n=1

расходится.

Пример 2. Выяснить, сходится или расходится ряд

∞

∑

n=1

Данный

ряд

знакоположительный. Сравним его

рядом

∞

2 n

∑

, который

является

сходящейся геометрической

n=1

2 <1.

прогрессией с

q =

По

первому признаку

сравнения

сравним соответствующие члены двух рядов:

(n=1,2,...).

n 3

Так как члены данного ряда меньше соответствующих членов

сходящегося ряда ∑∞ 2 n , то данный ряд сходится. n=1 3

Пример 3. Выяснить, сходится или расходится ряд

∑∞ sin 1.

n=1 n

Данный ряд является знакоположительным. Применим второй признак сравнения, и выберем гармонический ряд

∑∞ 1 , который является расходящимся. Найдём

n=1 n

sin

=α

= lim sin

lim

= lim

=1.

n→ ∞ bn n→ ∞

α →0

α→ ∞

По второму признаку сравнения данный ряд и гармонический ведут себя одинаково, т. е. из расходимости гармонического следует, что и данный ряд расходится.

Пример 4. Исследовать, сходится или расходится ряд


∞		1
∑		1		.
∑	n			.
n=1	n	n
		∞	1
Данный ряд перепишем в виде ∑			1			. Это - ряд Дирихле при
Данный ряд перепишем в виде ∑			3			. Это - ряд Дирихле при
		n=1	n		2

p = 32 . Так как p > 1, то данный ряд сходится.

Пример 5. С помощью интегрального признака доказать сходимость ряда

∞

∑

n=1 n

Общий член ряда a

= f (n).

Записывая в этой формуле

n2 +1

x вместо п,

получаем функцию

f (x) =

Эта функция

x2 +1

удовлетворяет условиям

интегрального

признака:

она

принимает

положительные

значения

убывает

возрастанием x. Вычислим

+∞ dx

= arctg x

+∞

= lim arctg x −arctg1

−π = π .

∫1 x2 +1

x→∞

2 4 4

Так как интеграл сходится, то сходится и данный ряд. Замечание. Сходимость данного ряда можно доказать

также по второму признаку сравнения, взяв для сравнения ряд

∞

Дирихле ∑

сходящийся, так как p = 2>1 .

n=1 n

Пример 6. С помощью признака Даламбера выяснить,

сходится или расходится ряд

∞

∑

n=1

Общий член

ряда

Заменяя

всюду n на (n+1),

получим: a

(n +1)n

Находим:

n+1

2n+1

+1)!

n+1

lim

n→ ∞

2 n→ ∞

Так как e ≈ 2,718

значит

>1,

откуда,

согласно признаку

Даламбера, ряд расходится.

Пример 7. Применяя признак Коши, исследовать,

сходится или расходится ряд

∞

3n +1

∑

2n −1

n=1

3n +1 n

Общий член ряда

2n −1

n an

3n +1 n

3n +1

;

= n

2n −1

lim n

= lim

3n +1

= lim

3 + n

= 3 .

2n −1

т→∞

→∞

n→∞

2 − n

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика