Учебное пособие 518

Решая систему, получим

X ( p ) = Y ( p )=

1

.

p -1

Воспользовавшись таблицей изображений, найдем

x (t ) = et

и y (t ) = et .

Задача 8. Решить интегральное уравнение

ò0t

et -t x (t )dt = t .

Решение. Интеграл представляет собой свертку функций et и

x (t ). Пусть

x (t ) Û X ( p ).

Тогда

по

теореме о свертке

выпишем изображение интеграла

1

ò0t et-t x (t )dt = et * x (t )Û

X ( p ).

p -1

Составим теперь операторное уравнение

1

1

X ( p )=

,

p -1

p2

откуда

X ( p )=

p -1

1 1

.

=

-

p2

p

p2

И, значит,

x (t ) = 1 - t .

ì0,

t £ 2

ï

2 < t £ 3

ï1,

f (t) = í

3 < t £ 4

ï-1,

ï0,

t > 4.

î

¥

3

4

F ( p) = òe- pt f (t)dt = òe- ptdt - òe- ptdt =

0

2

3

=

1

(-e-3 p + e-2 p + e-4 p - e-3 p )=

e-2 p

(1- 2e- p + e-2 p ) =

p

p

=

(e - p (1 - e- p ))2

= (e- p - e-2 p )2 .

p

p

Рис. 6

Решение.

Дифференциальное

уравнение

Кирхгофа

до

включения рубильника K в данном случае имеет вид:

L

di(t)

+ Ri(t) = E

0

,

R = R + R

2

.

dt

1

Согласно

постановке задачи i(0) = 0 . Решим

это уравнение

операционным методом, предполагая, что i(t) ® F ( p) .

2

di(t)

+ 3i(t) = 3,

i(0) = 0.

dt

2 pF ( p) + 3F ( p) =

3

, F ( p)(2 p + 3) =

3

, F ( p) =

3

.

p

p(2 p + 3)

p

Найдем оригинал

получившегося изображения, разложив

F ( p) =

A

+

B

2 p + 3

p

2Ap + 3A + Bp = 3

p1 : 2 A + B = 0

Þ F ( p)

=

1

-

2

=

1

-

1

.

p0 : 3A = 3

2 p + 3

p

p

p +1.5

A = 1; B = -2

Таким образом, i(t) = 1 - e-1,5t .

Установившийся ток в контуре до включения рубильникаK

есть

iyc = 1.

Дифференциальное

уравнение

Кирхгофа

после

замыкания рубильника K имеет вид:

L

di(t)

+ R i(t) = E

0

,

i(0) = 1 .

dt

1

Решим это уравнение операционным методом.

2

di(t)

+ i(t) = 3,

i(0) = 1.

dt

3 + 2 p

2( pF ( p) -1) + F ( p) =

3

, F ( p)(2 p +1) =

3

+ 2, F ( p) =

.

p

p

p(2 p +1)

Как

и

в

предыдущем

случае

воспользуемся

методо

неопределенных коэффициентов для разложения изображения

на слагаемые.

A

B

F ( p) =

+

2 p +1

p

2 Ap + A + Bp = 3 + 2 p

p1 : 2 A + B = 2

Þ F ( p) =

3

-

4

=

3 ×

1

- 2 ×

1

.

p 0 : A = 3

p

2 p +1

p

p + 0.5

t

3.

Найти оригиналы, соответствующие изображению

2 p + 7

.

( p +1)(p2 - 3 p)

4.

Не вычисляя интегралы, найти изображение ò0t tet

sin 2t dt .

5.

Вычислить интеграл ò0t sint cos (t -t )dt .

6.

Найти решение задачи Коши

x¢¢+ 2x¢+ x = t 2 + 5t + 4; x (0) = -1; x¢(0) = 0 .

7.

Решить систему уравнений

ìx¢ + x - y = 2t + 5

x (0 )= 0; y (0 )= 1 .

í

y¢ + 2x¢ - 3x = t

î

8.

Решить интегральное уравнение ò0t

et -t x (t )dt = 3t 2 -1 .

9.

В контур (см. рис.) при

нулевых

начальных

условиях

подключена

ìE

0 < t < 3

.

Найти выражение

э.д.с. u(t) = í

1

t ³ 3

îE2

переходного

тока при t ³ 3

при условиях колебательного

процесса.

ìx¢ + x - y = sin t

í

x (0 )= 0; y (0 )= 1 .

î

y¢ + 2x = sin t

при

третьем

замыкании

и

третьем

,размыкан

предполагая, что i(0) = 0 .

Вариант 3

1.

Является ли оригиналом функция f (t) = eit × c(t) ?

sin2

2t

1

2.

Найти изображения оригинала:

+

.

t

t

2

3.

Найти оригиналы, соответствующие изображению

5.

Вычислить интеграл ò0t

sint ×ep / 2-t dt .

6.

Найти решение задачи Коши

x¢¢+ 3x¢ = et ; x (0) = 0; x¢(0) = -1 .

7.

Решить систему уравнений

ìx¢- 2x + y = 3 - 4t

í

x (0 )= 0; y (0 )= 2 .

î y¢+ x + 2 y = 4 + t

8.

Решить интегральное уравнение ò0t

cost ×x (t -t )dt = sin t .

9.

Контур подключен

к

постоянной э.д.с E0 (см. рис.) При

установившемся режиме включается рубильникK и

накоротко замыкает сопротивлениеR2 . Найти выражение

переходного тока. R1

= 2, R2 = 3, L = 4, E0 = 5

ì

¢¢

+ y

¢

- x

= 4

- t

2

x (0 )= -1; x¢(0 )= 0; y (0 )= -1 .

íx

î x¢ - 2 y + 2x = 2t2