Учебное пособие 518

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

неравенство et2

< Mest не может выполняться ни при какихs

для всех t > 0, так как lim

et (t -s )= ¥ , что для любого

s выполнено

неравенство et2

> Mest , начиная с некоторого

значения t.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

455.93 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

12. Решение дифференциальных уравнений

Рассмотрим применение правил и теорем операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем.

Пусть дано дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

a	x( n ) (t) + ... + a x '(t) + a				0	x(t) = f (t) .
n			1
Требуется	найти		решение				уравнения t ³ для0	при
начальных условиях:				,..., x( n -1) (0) = x( n-1) .
x(0) = x ; x '(0) = x'
	0		0				0
Предполагаем,		что		искомое			решениеx(t) , его
производные	и	правая		частьf (t)			дифференциального

уравнения являются оригиналами.

Схема решения дифференциального уравнения.

1.Заменяем искомую функцию, ее производные, входящие

вданное дифференциальное уравнение и правую часть их изображениями. В результате получается так называемое операторное уравнение.

2.Решаем операторное уравнение относительно изображения искомой функции.

3.Переходим от изображения искомой функции к оригиналу.

Схема решения систем дифференциальных уравнений такая же.

Пример1. Найти решение дифференциального уравнения x "+ x '-12x = 3 , если x(0) = 1, x '(0) = 0 .

Решение. Пусть x(t) Û X ( p) , тогда

x '(t) Û pX ( p) - x(0) = pX ( p) -1;

x "(t) Û p2 X ( p) - px(0) - x '(0) = p2 X ( p) - p; 3 = 3 . p

Переходя в уравнении от оригиналов к изображениям, получим операторное уравнение

p2 X ( p) - p + pX ( p) -1 -12 X ( p) = 3 .

Отсюда X ( p) =

3 + p + p2

A( p)

p3 + p2

-12 p

p( p -

B( p)

3)( p + 4)

Так как корни знаменателя B( p)

различны, то

x(t) =

A(0)

e0t +

A(-4)

e-4t

A(3)

e3t

= -

e-4t +

e3t .

B '(0)

B '(-4)

B '(3)

Ответ:

x(t) = -

e-4t

e3t .

Пример 2. Найти частное решение дифференциального

уравнения x¢¢ - 3x¢ + 2x = 2e3t ,

x (0) = x¢(0) = 0 .

Решение. Пусть

x (t ) Û X ( p); x¢(t ) Û pX ( p) - x (0) = pX ( p );

x¢¢(t ) Û p2 X ( p) - px (0)- x¢(0) = p2 X (p );

e3t Û

Запишем операторное уравнение:

p -

p2 X ( p )+ 3 pX ( p )+ 2X ( p )=

p -

Откуда

X ( p )=

( p - 3)(p2 - 3 p + 2)

( p - 3)( p - 2)( p -1)

p -1 p - 2 p - 3

Используя

теорему

линейности

формулы соответствия,

имеем

x (t ) = et - 2e2t + e3t .

Пример 3.

Найти

решение

дифференциальног

уравнения

x(0) = -1, x '(0) = 1.

x "+ 4x '+ 4x = e-2t (cos t + 2 sin t) , если

Решение. Пусть x(t) Û X ( p) , тогда

x '(t) Û pX ( p) - x(0) = pX ( p) +1;

x "(t) Û p2 X ( p) - px(0) - x '(0) = p2 X ( p) + p -1;

cos t + 2 sin t Û

+ 2

p + 2

по

теореме

2 +1

p2 +1 p2 +1

смещения

e-2t

(cos t + 2 sin t) Û

p + 4

( p + 2)2

Переходя в уравнении от оригиналов к изображениям,

получим операторное уравнение

p + 4

p2 X ( p) + p -1 + 4 pX ( p) + 4 + 4 X ( p) =

( p + 2)2 +1

Отсюда X ( p) = -

p3 + 7 p2 +16 p +11

. Разложим

изображение

(( p + 2)2

+1)( p + 2)2

X ( p) на элементарные дроби. Имеем

+ 7 p2 +16 p +11

Ap + B

. +

(( p + 2)2 +1)( p + 2)2

( p + 2)2

p +

( p + 2)2 +1

или - p3 - 7 p2

-16 p -11 = ( Ap + B)( p + 2)2

+ C(( p + 2) 2

+1) +

+D( p + 2)(( p + 2)2 +1).

Сравнивая

коэффициенты

при

одинаковых степенях p ,

находим A = -1, B = -4,C = 1, D = 0.

Тогда

X ( p) = -

p + 4

. Перейдя к оригиналу,

( p + 2)2

пользуясь

свойством

линейности и теоремой смещения,

получаем искомое решение

x(t) = e-2t (t - cos t - 2 sin t).

Ответ:

x(t) = e-2t (t - cos t - 2 sin t).

Пример 4. Найти частное решение дифференциального

уравнения x¢¢ + 4x¢ + 4x = t3e-2t ,

x (0) = 1, x¢(0) = 2 .

Решение.

x (t ) Û X ( p); x¢(t ) Û p X ( p ) - x (0) = p X (p ) -1;

x¢¢(t ) Û p2 X ( p) - p x (0) - x¢(0) = p2 X ( p ) - p - 2;

t3e-2t

;

( p + 2)4

p2 X ( p )- p - 2 + 4 pX ( p )- 4 + 4X ( p )=

;

( p + 2)4

X ( p ) p2

+ 4 p + 4

)

+ p + 2 + 4;

( p + 2)4

(

X ( p )=

( p + 2)6

( p + 2)2

Используя

формулы

соответствия

теоре

линейности, имеем

x (t )=

t5e-2t + e-2t + 4te-2t .

Пример 5. Найти решение системы дифференциальных

уравнений

ìx"+ 5y '- 4x = 0,

îy"- 5x '- 4 y = 0,

удовлетворяющее начальным условиям :

x(0) = 0; x '(0) = 1; y(0) = 0; y '(0) = 0.

Решение. Пусть x(t) Û X ( p) ,

y(t) Û Y ( p) ,

тогда

x '(t) Û pX ( p); y '(t)Û pY ( p); x"(t)Ûp2 X ( p) -1; y"(t)Ûp2Y ( p).

Преобразованная система имеет вид

ì ( p2 - 4) X ( p) + 5 pY ( p) = 1, íî-5 pX ( p) + ( p2 - 4)Y ( p) = 0.

Определим X ( p),Y ( p) :

X ( p) =

p2 - 4

; Y ( p) =

5 p

( p2

+16)( p2

+1)

( p2

+16)( p2 +1)

Найдем по X ( p) и

Y ( p)

оригиналы x(t)

и y(t) .

Пусть

A( p) = p2 - 4; B( p) = p4 +17 p2

+16; p1,2

= m4i,

p3,4 = mi,

B '( p) = 4 p3 + 34 p. Тогда

x(t) =

A(4i)

e4it +

A(-4i)

e-4it +

A(i)

eit +

A(-i)

e-it =

B '(4i)

B '(-4i)

B '(i)

B '(-i)

= 2 Re(-

e4it ) + 2 Re(

eit ) = 2 Re(-

(cos 4t + i sin 4t)) +

+ 2 Re(

(cos t + i sin t)) =

(sin 4t - sin t) .

5 p

Y ( p) =

; A( p) = 5 p; B( p) = p4 +17 p2

+16.

( p2 +16)( p2 +

y(t) = 2 Re(-

e4it ) + 2 Re(

eit ) = -

Re(cos 4t + i sin 4t) +

Re(cos t + i sin t) =

(cos t - cos 4t)

Ответ: x(t) =

(sin 4t - sin t); y(t) =

(cos t - cos 4t).

= 2 y - x,

x (0 )= 1,

Пример 6. Решить систему

= -x - 4 y,

y (0 )= 1.

î dt

Решение. Пусть x (t ) Û X ( p) , y (t ) Û Y ( p) , тогда x¢(t ) Û pX ( p) -1 , y¢(t ) Û pY ( p) -1.

Система операторных уравнений имеет вид

ï(

)

(

)

(

)

= 1,

+1 X

(

p + 4

)

= 1 и является СЛАУ.

)

(

)

Решим ее по формуле Крамера:

D =

p +1 -2

= p2 + p + 4 p + 4 + 2 = p2 - 5 p + 6.

p +

-2

= p + 4 + 2 = p + 6.

p +

p +1

= p +1-1 = p.

X ( p )=

p + 6

;

p2 - 5 p + 6

( p + 2)( p + 3)

Y ( p )=

( p + 2)( p + 3)

Раскладывая на простейшие дроби, имеем

X ( p )=

;

Y ( p )=

( p + 3)

p + 2 p + 3

p + 2

Используя теорему линейности и таблицу соответствия, получаем

x (t ) = 4e-2t - 3e-3t , y (t ) = 3e-3t - 2e-2t .

Упражнения. Решить следующие дифференциальные уравнения при заданных начальных условиях:

1. x "+ 3x ' = et ; x(0) = 0; x '(0) = -1.

Ответ:

e-3t -

2. x "- 2x ' = 2e2t ; x(0) = x '(0) = 0.

Ответ:

(1 - e2t + 2te2t ).

3. 4x"+12x '+ 9x = 144e 2 ; x(0) = 1, x '(0) = 0, 5.

(18t2 + 2t +1).

Ответ: e 2

4. x "- 2x ' = et (t2 + t - 3);

x(0) = 2, x '(0) = 2.

Ответ: et (et

- t 2 - t +1).

5. x"+ 4x '+ 3x = sh t sin t; x(0) = 0, x '(0) = 1.

Ответ:

e-3t + 0, 3e-t -

et cos t +

et sin t + 0, 2e-t cos t + 0,1e-t

sin t.

170

6. x"+ 2x '+ x = e-t (cos t + t); x(0) = 1, x'(0) = -1.

Ответ: 2e-t

e-t t3 - e-t cos t.

7. x"+ 6x '+ 8x = 2e-t (cos 3t +1); x(0) = 2, x'(0) =1.

Ответ: -

e-4t +

e-2t

e-t -

e-t cos 3t +

e-t sin 3t.

8.x"+ 2x '+ 2x = 2e-t sin t; x(0) = x '(0) = 1. Ответ: e-t (3sin t + (1 - t) cos t).

9.x '"- 3x '+ 2x = 8te-t ; x(0) = x '(0) = 0; x"(0) =1.

Ответ: 2te-t + tet - et + e-2t .

10. x '"- x "+ 4x '- 4x = 5e-t sin t; x(0) = 0; x '(0) = 0; x"(0) =1.

Ответ:	13	sin 2te -	1	cos 2t + et (	5	- cos t -	1	sin t).

20		5		6		2

11.x '"+ 2x "+ x '+ 2e-2t = 0; x(0) = 2; x '(0) = x"(0) =1.

Ответ: 4 - 3e-t + e-2t .

Решение типового варианта контрольной работы

Задача 1. Является ли оригиналом функция f (t )= et2 ? Решение. Данная функция не является оригиналом, так как

Задача 2. Найти изображения оригинала: f (t ) = 2 + t3 + t cos 2t -3t

Решение. По таблице изображений найдем:

; t

; t cos 2t Û

p2 - 4

= e

t ln 3

2 Û

;

( p2 + 4)2

p - ln 3

2 3!

p2 - 4

F ( p )= p + p4 + ( p2 + 4)2 +

p - ln 3

Задача 3. Найти оригиналы, соответствующие изображению:

3 p -1

e- p

( p +1)4

p2 + 4 p + 29

( p - 2)3

Решение: Преобразуем F ( p) таким образом, чтобы можно

было воспользоваться таблицей изображений:

Û e-t ×t3 ;

( p +1)4

Прежде чем преобразовывать второе слагаемое выделим

полный

квадрат

знаменателе

для, чтобытого

воспользоваться

свойством

линейности

преобразования

Лапласа:

3 p -1	=	3 p -1	=	3( p + 2)- 7	Û 3e-2t cos 5t -	7	e-2t sin 5t .
				( p + 2)2 + 25
p2 + 4 p + 29		( p + 2)2 + 25			5

При построении оригинала, соответствующего третьему слагаемому, сначала найдем оригинал для функции

1	Û	1	e2t t 2 = f (t ),
( p - 2)3
	2

а затем применим теорему запаздывания для оригинала:

e- p

Û f (t -1) =

e2(t -1 )(t -1 2)c t -( 1 . )

( p - 2)3

Задача 4. Не вычисляя интегралы, найти изображение

Решение.

ò0t t × et dt .

Воспользуемся

теоремой

об

интегрировании

оригинала:

t ×e

( p -1)2

И, значит,

ò0t t ×et dt Û

p =

( p -1)

p ( p -1)

Задача 5. Вычислить интеграл ò0t

et -t sintdt

Решение.

Интеграл ò0t

et -t sintdt

представляет собой свертку

функций sint и et . Ее изображением, согласно теореме о

свертке, будет функция

1 æ

F ( p )=

÷ .

+1 p -1 2

è p -1 p

+1 p

Мы привели дробь, представляющую изображения в виде алгебраической суммы дробей таким образом, чтобы для каждой части существовал оригинал в таблице. Тогда

убедимся,

что

оригиналом

этого

изображения

служит

следующая функция f

(t )=

(et

- cos t - sin t ). И, значит,

ò0t

et -t

sintdt =

(et - cos t - sin t ).

Задача 6. Найти решение задачи Коши

x¢ - x = 1; x (0) = -1.

Решение. Пусть функция x (t )

имеет изображение X ( p ) .

Тогда по теореме о дифференцировании оригинала получим

x¢(t ) Û pX ( p )- x (0) = pX ( p )+1 .

Применим

преобразование

Лапласа

обеим

частя

уравнения. Выпишем получившееся операторное уравнение

pX ( p )+1 - X ( p )=

Откуда получим

X ( p )= -

Таким образом

x (t ) = -1 .

Задача 7. Решить систему уравнений

+ y =

ïx¢

x(0) = y(0) = 1 .

+ x =

îy

y (t ) Û Y ( p ).

Решение. Пусть

x (t ) Û X ( p)

Учтя, что

et Û

, получим операторную систему линейных

p -1

уравнений

p +1

ï pX ( p )-1 + Y

( p )=

ï pX (p )+ Y ( p )=

p -1

Þ í

p +1

ï pY ( p )-1 + X

( p )=

ï pY ( p )+ X ( p )=

p -1

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022455.23 Кб1Учебное пособие 513.pdf
#
30.04.2022455.53 Кб4Учебное пособие 514.pdf
#
30.04.2022455.69 Кб7Учебное пособие 515.pdf
#
30.04.2022455.79 Кб4Учебное пособие 516.pdf
#
30.04.2022455.91 Кб6Учебное пособие 517.pdf
#
30.04.2022455.93 Кб5Учебное пособие 518.pdf
#
30.04.2022456.18 Кб29Учебное пособие 519.pdf
#
30.04.2022248.32 Кб4Учебное пособие 52.pdf
#
30.04.2022457.06 Кб4Учебное пособие 520.pdf
#
30.04.2022457.09 Кб5Учебное пособие 521.pdf
#
30.04.2022459.23 Кб5Учебное пособие 522.pdf