Учебное пособие 518

организации

самостоятельной

работы

по

дисциплине

«Высшая математика» для студентов направления20.03.01

«Техносферная

безопасность»

(профили

«Защита

в

самостоятельной

работы

по

дисциплине«Высшая

математика» по

разделу «Операционное

исчисление» для

студентов направления 20.03.01 «Техносферная безопасность» в

3 семестре.

Методические указания

подготовлены в электронном

2.

f (t) = 0 при t < 0 ;

3.

f (t)

при t

® ¥

возрастает

не

быстрее

некоторой

экспоненциальной функции, то есть существуют такие числа

M > 0, s0

³ 0 , что для всякого t ³ 0 выполняется неравенство

f (t)

< Mes0t ,

где

наименьшее

из

чиселs

, при

котором

0

выполняется

неравенство, называется

показателем

роста

оригинала.

Замечание. В дальнейшем для краткости записи будем

писать y = f (t) . Под этим будем понимать следующее:

y =

ì f (t), если

t ³ 0;

í

0, если t < 0.

î

Изображением

функции

f (t) называется

функция

F ( p)

комплексного

переменногоp = s + is , которая

определяется равенством

¥

F ( p) = ò f (t)e- pt dt.

0

Интеграл

называется интегралом Лапласа функции

f (t) .

Операция

перехода

от

оригинала f (t)

к изображению

F ( p)

называется

преобразованием

Лапласа. Теория

преобразования

Лапласа

называется

операционны

исчислением.

Тот

факт, что

f (t)

и F ( p) относятся

друг к

другу

как

оригинал

и

изображение, записывают

так:

f (t) Û F ( p)

или L[ f (t)] = F ( p); F ( p) Û f (t).

¥

функции f (t)

несобственный интеграл ò f (t)e- pt dt

сходится

0

абсолютно и равномерно при Re p = s > s0 .

2. Единичная функция Хевисайда и ее изображение

Единичной

функцией

Хевисайда называется

функция

вида

ì1, при t ³ 0,

h

(t) =

í

î0, при t < 0.

График функции (рис.1) имеет вид

h(t)

1

0

Рис. 1

t

Любой

ì f (t), при t ³ 0,

помощи

оригинал y = í

при

функции h(t)

î 0, при t < 0

единичной

может

быть

записан в виде

y = f (t)h(t) . Легко показать, что h(t)

является оригиналом.

Найдем

его

изображение. Для

этого

применим

преобразование Лапласа

¥

- pt

¥

- pt

b

- pt

e- pt

b

h(t) Û

ò

h(t)e

dt =

ò

1× e

dt = lim

ò

e

dt

= lim

=

b®+¥

b®+¥ - p

0

0

1

1

0

0

= lim (

-

e- pb ).

b®+¥

p

p

e- pb

как p = s + is , Re p = s > s0 ³ 0 ,

Найдем

lim

.

Так

а

b®+¥

p

e-ibs

= 1 , то

lim

e- pb

= lim

e-sb

×e-ibs

= 0.

Таким образом,

p

p

1

b®+¥

b®+¥

h(t) Û

.

p

3. Некоторые теоремы об изображении

Теорема 1 ( о существовании изображения).

Всякий

оригинал

f (t) имеет

своим изображением

функцию

комплексного

переменного F ( p) ,

определенную

в

полуплоскости

Re p = s > s0 , где

s0

−

показатель роста

оригинала (рис. 2).

h(t)

s ' = Re p > s0

0

s0

s

Рис. 2

Теорема 2 (о поведении изображения на бесконечности).

Если функция F ( p) - изображение, то

lim F ( p) = 0.

Re p®+¥

Для этой теоремы нет обратной

,

то есть из условия

lim F( p ) = 0

не следует, что F ( p)

− изображение.

Re p®¥

Пример 1.

Функции

F ( p) =

p , F ( p) = e p , F ( p) = p

не

Пример 2.

Функция

F ( p) = e- p ® 0 при Re p = s ® +¥ ,

но не существует функции f (t) , для

которой e- p

было

бы

изображением.

Теорема 3 (о линейности изображения).

Если

f1 (t) Û F1 ( p)

и

f2 (t) Û F2 ( p) ,

то

c1 f1 (t) + c2 f2 (t) Û c1 F1 ( p) + c2 F2 ( p) ,

где

c1 , c2

− комплексные

постоянные.

Теорема 4 (об аналитичности изображения).

Если функция F ( p)

является

изображением

некоторого

оригинала

f (t) , то

F ( p)

−

функция

аналитическая в

полуплоскости

Re p = s > s0 ,

где

s0

−

показатель

роста

оригинала.

4. Изображение простейших оригиналов

1.

Пусть

f (t) = c ,

где c = const.

Тогда

f (t) Û

c

, то есть

p

c Û

c

. Действительно,

так как 1 Û

1

при Re p = s > 0 , то

p

p

на основании теоремы 3 имеем c ×1 Û c ×

1

при Re p = s > 0 .

p

2.

f (t) = eat . Найдем F ( p)

по определению

¥

¥

1

b

eat Û

ò

eat ×e- pt dt =

ò

e(a - p )t dt = lim

e(a - p )t

=

b®+¥ a - p

0

0

0

=

1

lim (e(a - p )b

-1) =

1

,

p

a - p b®+¥

-a

если Re(a - p) < 0 , и

1

lim (e(a - p) -1) = ¥ , если

Re(a - p) > 0.

a - p b®+¥

at

1

Таким образом e

Û

,

если Re p > Rea.

p -a

Зная, что eat

Û

1

, при Re p > Rea , и учитывая свойство

p -a

линейности изображения, получим

p

coswt Û

1

(

1

+

1

) =

.

2 p - iw p + iw p2 + w2

Так

как

в

данном

случаеa = miw ,

то

Rea = 0

,и

следовательно, coswt Û

p

при Re p > 0 .

p2 + w2

4.

f (t) = sin wt ,

(w − положительное число). Проводя

рассуждения,

аналогичные

предыдущим,

и

учитывая,

что

sin wt =

eiwt - e-iwt

, получим

2i

w

sin wt Û

при Re p > 0 .

p2 + w2

5.

f (t) = ch at ,

( a − положительное число). Запишем ch at

в виде ch at =

eat + e-at

. Тогда

2

p

1

1

1

ch at Û

(

+

) =

p2 - a2

2 p - a p + a

при Re p > Rea = a .

ch at Û

p

при Re p > a .

p2

- a2

6.

f (t) = sh at

( a −

положительное

число). Используя

sh at =

eat - e-at

формулу

, получим

2

a

sh at Û

при Re p > a .

p2

- a2

1. 2sin 3t - cos

t

;

2. cos2 t;

3. sh3 t ;

4. sin2 (t - a) .

Решение.

2

t

3

p

6

4 p

1.

2sin 3t - cos

Û 2 ×

-

=

-

=

1

2

p2 + 9

p2 +

p2 + 9 4 p2 +1

4

=

24 p2 + 6 - 4 p3 - 36 p

= -

4 p3 +12 p - 6

;

( p2 + 9)(4 p2 +1)

( p2 + 9)(4 p2 +1)

2. cos

2

t =

1 + cos2t

=

1

+

1

cos 2t =

1

×

1

+

1

×

p

=

p2+ 2

;

2

2 2

2 p 2 p

2

+ 4 p( p2 + 4)

3

t

=

et

- e-t

3

=

1

(e

3t

-

3e

t

+

3e

-t

- e

-3t

) =

3. sh

(

)

2

8

=

1

(

1

-

3

+

3

-

1

) =

6

;

( p2 -1)( p2

- 9)

8

p - 3

p -1

p +1

p + 3

4. sin2 (t - a) =

1 - cos 2(t - a)

=

1

-

1

cos 2(t - a) =

1

-

1

2

2

2

1

1

1

2

p

-

(cos 2t ×cos 2a + sin 2t ×sin 2a) Û

×

-

(cos 2a ×

+

p2

+ 4

2

2

p

2

+sin 2a ×

2

) =

1

(

1

-

1

( p cos 2a - 2sin 2a)).