Методические указания по организации учебного процесса изучения дисциплины « Геометрия» для студентов специальности «Компьютерная безопасность». Провоторова Е.Н., Юрьева М.В

4x y 4 0 и точка Р(1,3) пересечения медиан. Найти уравнениетретьейстороны.

2. Составить уравнения сторон треугольника, зная две его вершиныА(3,5)иВ(6,1)иточкупересечениямедиан М(4,0).

3. Дан треугольник АВС: А(-1,2), В(1,1), С(2,-2). Вычислить угол между стороной АВ и медианой, проведенной из вершины

С.

4.Даны уравнениядвухсторонромба: 2x 5y 1 0, 2x 5y 34 0 иуравнениеоднойизего диагоналей:

x3y 6 0. Вычислитькоординаты еговершин.

5.Дана одна из вершин квадрата А(2,-4) и точка пересечениядиагоналейМ(5,2). Составитьуравнения сторонквадрата.

6.Диагонали ромба длиной 10 и 4 приняты за оси координат. Составитьуравнениясторонромба.

7.Дан треугольник АВС: А(1,-2), В(-1,1), С(-2,2). Найти угол между стороной АС и медианой, проведенной из вершины

В.

8.Даны уравнениядвухсмежныхсторонпараллелограм-

ма: x y 1 0; x 2y 0 иточкапересеченияего диагона- лейМ(3,-1). Написатьуравнения двухдругихсторон параллелограмма.

9.Даны двевершины треугольника А(-6,2), В(2,-2)и точкаН(1,2)пересеченияего высот. Найтикоординаты третьей вершины.

10.Написатьуравнениепрямой, проходящейчерезточку

пересеченияпрямых 7x y 3 0, 3x 5y 4 0 ичерез точку А(2,-1).

11. Даны вершины четырехугольника: А (-9,0), В (-3,6), С (3,4), и D (6,-3). Найти точку пересечения его диагоналей АС и ВDивычислитьуголмеждуними.

15.Даны две вершины треугольника А(3,-1) и В(4,0) и точка Р(2,1) пересечения медиан. Найти уравнение высоты, проходящейчерезтретьювершинутреугольника.

16.Черезточкупересеченияпрямых: 2x 5y 1 0,

x 4y 7 0 провести прямую, проходящую через точку А (4,- 3).

17. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А(3,-4) и уравнения двух высот:7x 2y 1 0, 2x 7y 6 0.

18. Даны две вершины треугольника: А(2,-3) и В(5,1), уравнение стороны ВС: x 2y 7 0 и уравнениемедианыАЕ: 5x y 13 0.Найти уравнениевысоты CD.

19. Дан треугольник АВС: А(2,3), В(0,-3) и С(5,-2). Найти точкупересеченияего высот.

20. Дан треугольник: А (1,2), В (3,7), С (5,-13). Вычислить длину перпендикуляра, проведенного из вершины В на медиану, проведенную извершины А.

2.Составить уравнения биссектрис углов между пря-

мыми 3x 4y 20 0 и 8x 6y 5 0.

3.Даны вершины треугольника: А (0;0), В (-1;-3) и С (-5;-1). Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам.

4.Определить расстояние от точки М (2;-1) до прямой, отсекающей на осях координат отрезки а = 8, b = 6.

C 3;3 найти длину высоты, проведенной из вершины С.

6.Найти острый угол, образованный с осью ординат прямой, проходящей через точки A 2;3 и B 3;23 .

7.Точки A 1;2 и C 3;6 являются противополож-

ными вершинами квадрата. Определить координаты двух других вершин квадрата.

8.На оси абсцисс найти точку, расстояние которой от прямой 8x 15y 10 0 равно 1.

9.Даны вершины треугольника: А (1;1), В (4;5) и С (13;-4). Составить уравнения медианы, проведенной из вершины В, и высоты, опущенной из вершины С. Вычислить площадь треугольника.

10.Найти прямую, проходящую через точку пересече-

ния прямых x 2y 3 0, 2x 3y 4 0 и параллель-

ную прямой 5x 8y 0.

11. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых x 2y 1 0, 2x y 2 0 и образующую

угол 135 с осью абсцисс.

12. Составить уравнения прямых, проходящих через точку М (а,b) и образующих с прямой x y с 0 угол 45 .

13. Составить уравнения трех сторон квадрата, если известно, что четвертой стороной является отрезок прямой 4x 3y 12 0, концы которого лежат на осях координат.

3.23. Найтипрямую, проходящую черезточкупересеченияпрямых: 2x 3y 6 0 и x 5y 6 0, перпендикулярно пря-

мой 2x 3y 6 0.

14. Даны двестороны ромба 5x 3y 14 0 и

5x 3y 20 0 и диагональ x 4y 4 0. Найтиуравнения двухдругихсторонромба.

15. Даны двевершины треугольникаА(3,-3), В(0,6)и точкаD(5,1)пересеченияего высот. Найтитретью вершинутреугольника.

16. Даны двестороны треугольника 2x y 1 0, 4x 3y 5 0 иточка Р(1,2)пересечениятретьейстороны с высотой. Найтиуравнениетретьейстороны.

17.Точки A 3;2 и C 1;6 являются противопо-

ложными вершинами квадрата. Определить координаты двух других вершин квадрата.

18. Даны двестороны параллелограмма

3x 4y 16 0, 5x 2y 6 0 иточкаР(4,7)пересечения его диагоналей. Найти уравнениядвухдругихсторон.

19. Данасторонатреугольника 5x 3y 4 0 идве высоты: 4x 3y 2 0, 7x 2y 13 0. Найтиуравнения двухдругихсторонтреугольника.

20. Найти координаты точки, симметричной точке А(3,-4) относительно прямой 2x 8y 5 0.

Задание 11. Исследовать кривую второго порядка и постро-

ить ее.

1. x2 y2 4xy 2x 4y 1 0.

2.2x2 2y2 2xy 2x 2y 1 0.

3.4xy 4x 4y 0.

4.2x2 2y2 2xy 6x 6y 3 0.

5.3x2 3y2 4xy 6x 4y 2 0.

6.2xy 2x 2y 1 0.

7.x2 y2 4xy 4x 2y 2 0.

8.4x2 4y2 2xy 10x 10y 1 0.

9.4xy 4x 4y 2 0.

10.x2 y2 2xy 8x 8y 1 0.

11.x2 y2 4xy 8x 4y 1 0.

12.x2 y2 2xy 2x 2y 7 0.

13.2xy 2x 2y 3 0.

14.4x2 4y2 2xy 12x 12y 1 0.

15.3x2 3y2 4xy 8x 12y 1 0.

16.x2 y2 8xy 20x 20y 1 0.

17.3x2 3y2 2xy 6x 2y 1 0.

18.4xy 4x 4y 1 0.

Задание 4. Найти расстояние от точки А, до прямой, проходящей через точки В и С.

Задание 5. Написать канонические уравнения прямой.

47

Задание 6. Найти точку пересечения прямой и плоскости

48

Задание 7. Найти точку М1, симметричную точке М относительно прямой или плоскости.

Задание 8

1.Составить уравнение плоскости, проходящей через:

а) точки А(-6, 2, -1), В(3, 4, 2), С(5, 0, 4);

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через:

51

а) точки А(4, 3, 0), В(5, -1, 2), С(2, 2, 0);

x t 3

б) точку А(2, 3, 0) и прямую y 2 2t;

z 3t 1

3.Составить уравнение плоскости, проходящей через:

а) точки А(-1, 3, 2), В(4, 1, 1), С(0, 0, 4);

x 2t 1

4.Составить уравнение плоскости, проходящей через:

а) точки А(0, 5, 2), В(-1, 0, 3), С(2, 7, 1);

x 3t 1

б) точку А(-2, 0, 3) и прямую y t 2 ;

z 3

52

5.Составить уравнение плоскости, проходящей через:

а) точки А(-1, 3, 2), В(4, 1, 1), С(0, 0, 4);

x 2t 1

x 6t 4

в) две пересекающиеся прямые y t 1 и

z 5

x 2t 1

y t 10 ;z 3t 3

x t 7

г) две параллельные прямые y 5t 1 и

z 2t 3

x t 20

y 5t 4 .z 2t 1

6.Составить уравнение плоскости, проходящей через:

а) точки А(5, -1, 2), В(3, 1, 7), С(1, -2, -2);

53

x t 8

б) точку А(3, 6, 5) и прямую y 2t 5 ;

z 2t 3

x 3t 11

в) две пересекающиеся прямые y t 5 и

z t 20

x 4t 1

y 3t 1;z 3t

x 4t 2

г) две параллельные прямые y 2t 1 и

z t 10

x 4t 5

y 2t 4 .z t 11

7.Составить уравнение плоскости, проходящей через:

а) точки А(-3, 4, -7), В(1, 5, -4), С(-5, -2, 0);

x 8t 3

б) точку А(0, -5, -2) и прямую y 2t 4;

z 3t 6x t 7

в) две пересекающиеся прямые y 3t 11 и

z 8

x 4t 10

y 2t 1 ;z 4t 6

54