Учебное пособие 435
.pdfИнтенсивность отказов системы с общим резервированием
(t) |
f (t) |
c |
|
(m 1)e 0t (1 e 0t )m |
. |
(4.17) |
|
|
0 |
||||||
p (t) |
1 (1 e 0t )m 1 |
||||||
c |
|
|
|
||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
Среднее время безотказной работы резервированной системы
|
m |
1 |
|
|
|
mtc T0 |
, |
(4.18) |
|||
1 j |
|||||
|
j 0 |
|
|
||
где Т0 = 1/ 0 - среднее |
время |
безотказной |
работы |
||
нерезервированной системы. |
|
|
|
|
|
Задача 4.1. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы элемента mt = 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы mtc, а также частоту отказов fc(t)
и интенсивность отказов с(t) в момент времени t = 50 час в следующих случаях:
а) нерезервированной системы, б) дублированной системы при постоянно включенном резерве.
n
Решение. а) c i , где с - интенсивность отказов
i 1
системы; i - интенсивность отказов i - го элемента ; n = 10.
i=1/mti = 1/1000 = 0,001; i = 1,2,…,n; = i;c = n = 0,001 10=0,01 1/час;
mtc = 1/ c = 100 час;
fc(t) = c(t) Pc(t);c(50) = c; Pc(t) = e- ct;
fc(50) = ce- ct = 0,01 e-0,01 50 6 10-3 1/час; 42
c(50) = 0,01 1/час.
б) |
mtc 1 |
|
1 |
|
|
; m=1; |
|
mtc |
1 (1 1) 150 час ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 0 1 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
0,01 |
2 |
|
||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
p (t) 1 (1 e 0t )m 1 ; 0 = c = 0.01 |
1/час ; |
|
|||||||||||||||||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p 1 (1 e 0t )2 |
2e 0t |
e 2 0t ; |
|
|
|||||||||||||||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
fc (t) |
dp (t) |
|
|
2 (1 e 0t ) |
; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
c |
|
|
0 |
t |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
p (t) |
|
|
|
2 e |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(t) |
|
f |
c |
(t) |
|
2 (1 e 0t ) |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
p (t) |
|
|
|
2 e 0t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
fc(50) 4.8 10-3 1/час; c(50) 5.7 10-3 1/час . |
|
||||||||||||||||||||
Задача 4.2. |
|
В |
системе |
|
телеуправления |
применено |
||||||||||||||||
дублирование |
|
|
канала |
|
управления. |
Интенсивность отказов |
||||||||||||||||
канала = 10-2 1/час. Рассчитать вероятность безотказной работы системы Рс(t) при t = 10 час, среднее время безотказной работы mtc, частоту отказов fc(t), интенсивность
отказов с(t) системы.
Решение. В данном случае n=1; i= ; 0=n = ; m=1. По формуле (4.14) имеем
Рс(t)=1-(1-e-t)2; Рс(10)=1-(1-e-0,1)2 .
Из справочного приложения получим
43
e-0,1=0,9048 .
Тогда
Рc(10)=1- (1-0,9048)2 = 1- 0,09522 1-0,01=0,99 .
Определим mtс. Из формулы (4.4) имеем
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
(1 1) |
|
|
|
|
|
mtc |
|
|
|
|
|
150 |
час . |
|
|||||||
|
|
|
1 i |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
i 0 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||
Определим частоту отказов fc(t). Получим |
|
|
||||||||||||||
|
fc (t) |
dpc (t) |
2 e t (1 e t ) . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим интенсивность отказов с(t). Имеем |
|
|||||||||||||||
|
(t) |
f |
c |
(t) |
|
2 e t |
(1 e t ) |
|
2 (1 e t ) |
. |
||||||
p (t) |
e t (2 |
e t ) |
|
2 e t |
||||||||||||
c |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3адача 4.З. Нерезервированная система управления состоит из n = 5000 элементов. Для повышения надежности системы предполагается провести общее дублирование элементов. Чтобы приближенно оценить возможность достижения заданной вероятности безотказной работы системы Рс(t) = 0,9 при t = 10 час., необходимо рассчитать среднюю интенсивность отказов одного элемента при предположении отсутствия последействия отказов.
Решение. Вероятность безотказной работы системы при общем дублировании и равнонадежных элементах равна
44
Pc(t) = 1 - (1-e-nt)2
или
Pc(t) = 1 - [1-Pn(t)]2,
где
P(t) = e-t .
Здесь Р(t) - вероятность безотказной работы одного элемента.
Так как должно быть
1 - [1 - Pn(t)]2 0,9,
то
|
p(t) (1 0,1)1/n |
|
|
. |
|||
Разложив (1 |
0,1)1/n по степени 1/n |
в ряд и пренебрегая |
|||||
членами ряда высшего порядка малости, получим |
|
|
|||||
|
1/5000 |
1 |
|
|
5 |
|
|
(1 |
0,1) |
1 |
|
0,1 |
1 6,32 10 |
|
. |
5000 |
|
||||||
Учитывая, что P(t) = ехр(- t) 1- t , получим
1 - t 1 - 6,32 10-5
или
(6,32 10-5)/t = (6,32 10-5)/10 = 6,32 10-6 1/час.
45
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПСОК
1. Гнеденко Б. В. Математические методы в теории надежности. – М.: Наука, 1965.
2.ГОСТ 27.002–89. Надежность в технике. Основные понятия, термины и определения. – М.: Государственный комитет
СССР по управлению качеством продукции и стандартам, 1990. – 37с.
3.Половко А.М. Сборник задач по теории надежности. – М.: Сов. радио, 1975.
4.Ветошкин А.Г. Надежность технических систем и техногенный риск. – Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2003.
5.Ллойд Д. Надежность: Организация исследований, методы, математический аппарат. – М.: Сов. радио, 1980.
6.Острейковский В.А. Теория надежности: учебник для вузов.
– М.: Высш. шк., 2003.
7.Труханов В.М. Надежность изделий машиностроения. Теория и практика. – М.: Машиностроение, 1996.
8.Акимов В.А. Надежность технических систем и техногенный риск / В.А. Акимов, В.Л. Лапин, В.М. Попов и др. – М.: ЗАО ФИД «Деловой экспресс», 2002.
9.Воскобоев В.Ф. Надежность технических систем и техногенный риск. Часть 1. Надежность технических систем (Учебное пособие). – М.: ООО ИД «Альянс», 2008.
10.Шишмарев В.Ю. Надежность технических систем: учебник для студ. высш. учеб. заведений / В.Ю. Шишмарев. – М.: Издательский дом «Академия», 2010.
11.Малкин В.С. Надежность технических систем и техногенный риск / В.С. Малкин. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.
12.Шкляр В.Н. Надежность систем управления: учебное пособие / В.Н. Шкляр; Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011.
46
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для организации самостоятельной работы по курсу "Высшая математика"
для студентов направления 280700.62 «Техносферная безопасность»,
профили «Защита в чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды»,
очной формы обучения
Составитель: Пантелеев Игорь Николаевич
В авторской редакции
Компьютерный набор И.Н. Пантелеева
Подписано к изданию 10.12.2013.
Уч.-изд. л. 2,6
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14
47