Учебное пособие 435
.pdf
Функцию готовности определяем по формуле (1.24)
P (t) K (1 K )e t /K tB 0,83 (1 0,83)e t /0,8310
0,83 0,17e 0,12t .
1.4. Законы распределения отказов
Любое техническое изделие с начала и до конца эксплуатации имеет три характерных периода работы:
приработки (0 < t < t1), нормальной эксплуатации (t1 < t < t2) и старения или износа ( t > t2) (см. рис. 1).
Рис. 1
Период приработки характеризуется высокой интенсивностью отказов (приработочные отказы), вызванные отклонением от требований конструкторско-технологической документации, которые подчиняются распределению Вейбулла и устраняются за счёт введения технологической приработки («технологического прогона»).
Период нормальной эксплуатации характеризуется
минимальной и постоянной интенсивностями отказов. Эти отказы называются внезапными, носят случайный характер и подчиняются экспоненциальному закону распределения.
12
Период старения или износа характеризуется резким увеличением интенсивности износовых отказов, которые подчиняются нормальному закону распределения (закону
Гаусса).
Экспоненциальный закон распределения -
однопараметрический закон с постоянной интенсивностью отказов const . Вероятность безотказной работы, частота
отказов и средняя наработка до отказа определяются по формулам
P t e t , a t e t , Tср 1/ . (25)
График изменения вероятности безотказной работы от времени при экспоненциальном распределении отказов представлен на рис. 2.
Рис. 2
Распределение Вейбулла – двухпараметрический закон с параметрами: 0 определяющим масштаб, и k, пределяющим асимметрию. Показатели надёжности при этом будут равны
13
|
|
P t e 0tk , |
|
a t л0ktk 1e 0tk 1 , |
|
|
|||||
|
|
t ktk 1 |
|
T |
Г 1 |
1 |
1 |
|
|
||
|
|
, |
/ k |
, |
(26) |
||||||
|
|
|
|
0 |
|
ср |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
где Г |
1 |
1 |
1 |
- гамма-функция. |
|
|
|
|
|||
/ k |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
График изменения вероятности безотказной работы от времени при распределении отказов по закону Вейбулла представлен на рис. 3.
Рис. 3
Нормальный закон распределения -
двухпараметрический закон с параметрами распределения: Т - математическое ожидание и - среднеквадратичное отклонение.
Вероятность события в интервале времени от t1 до t2 определяется по формуле
P t1 |
|
|
1 |
|
|
t |
2 |
|
|
t |
T |
|
|
|
t t2 |
2 |
Ф |
|
|
|
Ф 1 |
|
|
, |
(27) |
||||
|
|
2 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где Ф x - интеграл вероятности (интеграл Лапласа) вида
14
Ф x |
2 |
|
x |
e t2 dt . |
|
(28) |
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
||
При использовании центрированной и нормированной |
||||||
функции Лапласа Ф z , |
где z t T / , |
вероятность |
||||
безотказной работы определяется по формуле |
|
|||||
|
|
|
|
t T |
|
|
P t 0,5 Ф |
. |
(29) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
График изменения вероятности безотказной работы от времени при нормальном законе распределения отказов представлен на рис. 4.
Рис. 4 Пример 1.5. Время работы изделия до отказа подчинено
экспоненциальному |
закону распределения |
с параметром |
2, 25 10 5 1/час. |
Определить |
количественные |
характеристики надёжности изделия P t , a t , и Tcp, если t = 1000 час.
15
Решение. Используя формулы (25), получим. Вероятность безотказной работы
P 1000 e 0,000025 1000 e 0,025 0,9753 .
Частота отказов
a 1000 2,5 10 5 e 0,000025 1000 2,5 10 5 0,9753 2, 439 10 5 .
Средняя наработка до первого отказа
Tcр 1/ 1/ 2,5 10 5 40000 час.
Пример 1.6. Время безотказной работы изделия подчиняется закону Вейбулла с параметрами k = 1,5 и0 10 4 1/час, а время его работы t = 100 ч. Определить количественные характеристики надёжности изделия.
Решение. Используя формулы (26), получим. Вероятность безотказной работы
P 1 0 0 e x p ( 1 0 4 1 0 01 ,5 ) 0 , 9 .
Частота отказов a 100 10 4 1,5 1001,5 1 0,9 1,35 10 3 1/час Интенсивность отказов
100 a 100 / P 100 1,35 10 3 / 0,9 1,5 10 3 1 1, 67.
Для вычисления средней наработки до первого отказа определяем значение гамма-функции из таблиц для
x 1/ k 1 1/1,5 1 1, 67.
Подставляя в формулу для Тср значение гамма-функции Г x 0,9033 и параметры распределения и k, получим
Tср 0,9033 / 10 4 1/1,5 418 час.
16
1.5. Структурная надёжность
Структурной надёжностью изделия называется результирующая надёжность при заданной структуре и известных значениях надёжности всех входящих в него блоков и элементов. Разбиение изделия на блоки и элементы осуществляется на базе единства функционирования и физических процесссов, происходящих при его работе.
Если отказ технического устройства наступает при отказе одного из его элементов, то такое устройство имеет основное соединение элементов. При расчёте надёжности таких устройств отказ элемента является событием случайным и независимым, а вероятность безотказной работы изделия в течение времени t равна произведению вероятностей его элементов в течение того же времени:
P t p t1 |
|
|
N |
|
p t2 ...p tN pi t |
(30) |
|||
|
|
|
i 1 |
|
или |
|
|
|
|
|
N |
t |
|
|
P t exp i t dt . |
(31) |
|||
|
i 1 0 |
|
|
|
При экспоненциальном законе распределения отказов, |
||||
т.е. для нормального периода работы |
|
|
||
P t e t e t /Tср , a t |
|
|
N |
|
e t ,Tср 1/ , i , |
(32) |
|||
i 1
где i - интенсивность отказов i-го элемента.
При расчёте высоконадёжных изделий с достаточной для практики точностью можно пользоваться приближёнными формулами
17
r |
r |
r |
|
|
P t 1 t Ni i 1 t, Ni i ,T 1/ |
Ni i |
1/ , |
(33) |
|
i 1 |
i 1 |
i 1 |
|
|
a t 1 t ; |
|
|
|
|
p1 t p2 t ...pN |
N |
|
|
|
t 1 qi t , piN t 1 Nqi t , |
|
(34) |
||
|
i 1 |
|
|
|
N pi t 1 qi t / N,
где r - число типов элементов, qi t - вероятность отказа i-го элемента.
Одним из методов повышения надёжности является
резервирование. Резервированным соединением изделий называется такое соединение, при котором отказ наступает только после отказа основного изделия и всех резервных изделий.
Основным параметром резервирования является его кратность т, отношение числа резервных изделий к числу резервируемых (основных). Различают резервирование с целой и дробной кратностью. При резервировании с целой кратностью величина т - целое число, при резервировании с дробной кратностью т - дробное.
По способу включения резервирование делится на постоянное и резервирование замещением. Постоянное резервирование - резервирование, при котором резервные изделия подключены к основным в течение всего времени работы и находятся в одинаковом с ними режиме. Резервирование замещением - резервирование при котором резервные изделия замещают основные после их отказа.
18
При включении резерва по способу замещения резервные элементы до момента включения в работу могут находиться в трёх состояниях:
-нагруженном резерве;
-облегчённом резерве;
-ненагруженном резерве.
Если элементы резервированных устройств имеют отказы вида: «обрыв» или «короткое замыкание», то вероятность безотказной работы следует вычислять, суммируя вероятности всех благоприятных (не приводящих к отказу) гипотез
k |
|
P t pj t , |
(35) |
j 1 |
|
где pj t - вероятность j-й благоприятной |
гипотезы, |
вычисленной с учётом двух видов отказов; k - число благоприятных гипотез.
Для элементов сложной системы справедливы выражения
t |
|
|
|
|
p t exp t dt |
, q0 |
qкз 1, |
(36) |
|
0 |
|
|
|
|
где t - интенсивность |
отказов элемента; q0, |
qкз - |
||
вероятность возникновения «обрыва» и «короткого замыкания» соответственно.
При экспоненциальном законе распределения отказов
p t e t , q0 0 / 0 кз , qкз кз / 0 кз , (37)
где 0 , кз - интенсивность отказов элемента по «обрыву» и «короткому замыканию».
19
2.1. Практическое занятие 1
Определение количественных характеристик надежности по статистическим данным об отказах изделия
Теоретические сведения
Вероятность безотказной работы по статистическим данным об отказах оценивается выражением
P * t |
n(t) |
, |
(2.1) |
|
N |
|
|
где n(t) - число изделий, не отказавших к моменту времени t; N - число изделий, поставленных на испытания; Р (t) - статистическая оценка вероятности безотказной работы изделия.
Для вероятности отказа по статистическим данным справедливо соотношение
q *(t) |
N n(t) |
, |
(2.2) |
|
N |
||||
|
|
|
где N-n(t) - число изделий, отказавших к моменту времени t; q*(t) - статистическая оценка вероятности отказа изделия. Частота отказов по статистическим данным об отказах определяется выражением
f *(t) |
n(t) |
, |
(2.3) |
|
N t |
||||
|
|
|
||
где n(t) – число отказавших изделий на |
участке времени |
|||
(t, t+ t); f*(t) - статистическая оценка частоты отказов изделия; t - интервал врeмени.
Интенсивность отказов по статистическим данным об отказах определяется формулой
*(t) |
n(t) |
, |
(2.4) |
t n(t) |
где n(t) - число изделий, не отказавших к моменту времени t; n(t) - число отказавших изделий на участке времени (t, t+ t) ;
*(t) - статистическая оценка интенсивности отказов изделия. Среднее время безотказной работы изделия по статистическим данным оценивается выражением
20
|
1 |
N |
|
|
m*t |
ti , |
(2.5) |
||
|
||||
|
N i 1 |
|
||
где ti - время безотказной работы i- го изделия; N - общее число изделий, поставленных на испытания; mt* - статистическая оценка среднего времени безотказной работы изделия.
Для определения mt* по формуле (2.5) необходимо знать моменты выхода из строя всех N изделий. Можно определять mt* из уравнения
m |
|
mt* nitср.i , |
(2.6) |
i 1
где ni - количество вышедших из строя изделий в i-ом
интервале времени; tср.i = (ti-1+ti)/2 ; m=tk/ t ; t = ti+1- ti ; ti-1 -
время начала i-го интервала; ti - время конца i-го интервала; tk
- время, в течение которого вышли из строя все изделия; t- интервал времени.
Дисперсия времени безотказной работы иэделия по статистическим данным определяется формулой
|
1 |
N |
|
|
Dt* |
(ti mt* )2 , |
(2.7) |
||
|
||||
|
N 1 i 1 |
|
||
где Dt* - статистическая оценка дисперсии времени безотказной работы изделия.
Задача 1.1. На испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп, за 3000 час. отказало 80 ламп. Требуется
определить P*(t), q*(t) при t = 3000 час. |
|
||||||
Решeниe. В данном случае N = 1000; |
n(t)=1000 - 80=920; |
||||||
N-n(t)=1000-920=80. По формулам (2.1) и (2.2) определяем |
|||||||
|
q * (3000) |
|
N n(t) |
|
|
80 |
0.08, |
или |
|
1000 |
|||||
|
|
N |
|
||||
|
q * (3000) |
1 P* (3000) 1 0.92 0.08. |
|||||
Задача 1.2. На испытание было поставлено 1000 однотипных ламп. За первые 3000 часов отказало 80 ламп, а за интервал времени 3000 - 4000 час. отказало еще 50 ламп. Требуется
21