Учебное пособие 411
.pdf
Статистические оценки параметров распределения
В предыдущих разделах шла речь о статистическом описании закона распределения случайной величины X по выборочным данным. Интересно найти возможность статистически «приближенно» оценить параметры, характеризующие X .
Если θ параметр, характеризующий изучаемый признак X , то его стати-
стической оценкой θ |
называют случайную величину, значения которой вычис- |
|
ляются для любой |
выборки по определенной формуле. Например, для |
|
θ = M (X ) |
можно взять в качестве θ выборочную среднюю xв , а для оценки |
|
θ = D (X ) |
взять θ = Dв . |
|
Качество оценки θ для параметра θ определяют следующими понятия-
ми:
● несмещенность оценки
M (θ )=θ ,
т.е. формула для θ не завышает или не занижает, в среднем, приближенные значения по сравнению с θ .
● состоятельность оценки – возможность «приближать» значения θ к θ , увеличивая объем n выборки.
Выборочное среднее xв является несмещенной оценкой математического ожидания M (X ) генеральной совокупности, так как
M (xв )= M (X ).
Выборочная дисперсия Dв является смещенной оценкой дисперсии D (X ) генеральной совокупности, так как
M (Dв )= n n−1 D (X ).
Поэтому вводят « исправленную» дисперсию
S 2 = n n−1 Dв ,
являющуюся несмещенной оценкой D (X ), так как
M (S 2 )= D (X ).
Соответственно,
11
S = |
n |
|
σ |
в |
. |
(5) |
|
n −1 |
|||||||
|
|
|
|
||||
называют исправленным средним квадратическим отклонением. Предположим, что мы получили точечную оценку θn* параметра θ . Есте-
ственно возникает вопрос о точности этой оценки, т.е. находится δ > 0 , для которого можно утверждать, что θn* −θ <δ , где δ называют точностью точеч-
ной оценки. Качественное отличие вероятностного мира от обычного состоит в том, что выполнение этого неравенства гарантировать нельзя. Можно говорить только о вероятности γ случайного события, заключающегося в том, что мы
получим оценку θn* с точностью δ , т.е.
p(θn* −θ <δ)=γ .
Вероятность γ называется доверительной вероятностью или надежностью точечной оценки θn* , а интервал (θn* −δ , θn* +δ) – доверительным ин-
тервалом. Обычно задаются надежностью γ равной 0,95; 0,99; 0,999. Если найдена оценка θn* с точностью δ и надежностью γ = 0,95, то это означает, что доверительный интервал
θn* −δ <θ <θn* +δ |
(6) |
накрывает параметр θ в среднем для 95% выборок объема n .
Пусть генеральная совокупность распределена по нормальному закону с параметрами a и σ . Найдем доверительный интервал для математического
ожидания a при известном σ . Случайная величина |
y = |
xв −a |
, где |
n – объем |
||||||
σ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
выборки, распределена по нормальному закону с параметрами a0 = 0 |
и σ0 =1. |
|||||||||
По формуле |
|
|
|
|
|
|||||
P ( |
|
x −a |
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
<δ )= 2Φ , |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
известной из курса теории вероятностей, при a = 0 и σ =1 получим
P ( y < t )= 2Φ(t ).
Подставив в эту формулу выражение для y и положив эту вероятность равной надежности γ, будем иметь
12
|
|
xв −a |
|
|
|
|
|
или P |
|
|
|
|
|
|
|
σ |
= 2Φ(t )=γ |
||||
P |
|
|
|
|
<t |
= 2Φ(t )=γ |
|
x |
−a |
|
< t |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, в нашем случае точность δ оценки xв равна |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ = |
tσ |
|
, |
|
|
|
|
|
(7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где t находится из условия Φ(t)= |
γ по таблице для функции Лапласа. Подста- |
||||||||||||||||||||
вив в (6) θ = a , θ* = x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и данное δ , получим доверительный интервал для ма- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тематического ожидания a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x − |
t σ |
< a < x |
+ |
t σ |
. |
(8) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
в |
n |
|
в |
|
|
n |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из формулы (7) видно, что при возрастании объема выборки точность оценки улучшается, а при увеличении надежностиγ (и соответственно t ) –
ухудшается. Формула (7) позволяет оценить минимальный объем выборки, обеспечивающей заданную точность и надежность:
n ≥ |
t2σ2 |
. |
(9) |
|
|||
|
δ2 |
|
|
Очевидно, чем меньше число δ (т.е. с увеличением точности) или больше надежность γ (а следовательно и t ), тем больше надо брать объем выборки.
Пример 3. С надежностью γ = 0,99 найти доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности, распределенный по нормальному закону с известным σ =3, если взята выборка объемом n =100 , для которой подсчитано выборочное среднее xв =86,5 .
Решение. По таблице [2, 3, 5] найдем аргумент t , при котором значение функции Лапласа равно γ 2 :
Φ(t )= |
0,99 |
= 0, 495 t = 2,58. |
|
2 |
|||
|
|
Следовательно, по формуле (7)
δ = tσn = 2,581003 = 710,74 = 0,774
13
и по формуле (8)
86,5 −0,774 < a <86,5 +0,774.
Ответ: 85,726 < a <87,274.
Пример 4. Генеральная совокупность распределена по нормальному закону с известным σ = 2 . Требуется определить минимальный объем выборки, чтобы оценить математическое ожидание с точностью δ = 0,1 и надежностью
γ = 0,95.
Решение. По таблице [2, 3, 5] найдем аргумент t , при котором значение функции Лапласа равно γ 
2:
Φ(t )= |
0,95 |
= 0,475 |
t =1,96. |
|
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив найденное значение t =1,96 и заданные σ = 2 и δ = 0,1 в фор- |
||||||||||
мулу (9), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ≥ |
1,962 4 |
=15,3664 |
100 =1536,64. |
|
||||||
|
2 |
|
|
|||||||
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: n =1537. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если σ неизвестно, то в формуле (8) σ заменятся на исправленное сред- |
||||||||||
нее квадратическое отклонение S ; t заменяется на значение tγ |
= t(γ, n), которое |
|||||||||
находится по таблице [2, 3, 5] и доверительный интервал принимает вид |
||||||||||
|
x |
− |
tγ S |
< a < x + |
tγ S |
|
(10) |
|||
|
|
|
||||||||
|
в |
|
|
|
n |
в |
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения с данной надежностью γ находится по фор-
муле |
|
S (1 −q)<σ < S (1 + q). |
(11) |
где S – исправленное среднее квадратическое отклонение, |
определяемое по |
формуле (5), а q = q(γ ,n) находится по таблице [2, 3, 5] по заданным γ и n .
Пример 5. Дано распределение частот выборки
13,5 |
16,15 |
19,5 |
22,5 |
25,5 |
28,5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
12 |
19 |
7 |
4 |
|
|
|
|
|
|
14
Найти доверительные интервалы для математического ожидания a и среднего квадратического отклонения σ с доверительной вероятностью γ = 0,95, если известно, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону.
Решение. Если в таблице распределения частот выборки увеличить все частоты в 10 раз, то получится таблица распределения частот выборки в примере 2. Так как относительные частоты для обеих таблиц совпадают для одинаковых значений вариант, то в обоих примерах xв и σв совпадают. Следовательно,
xв = 21,6 и σв =3,6 . Так как в нашем случае объем выборки равен ∑6 |
ni = 50 , то |
||
|
|
i =1 |
|
по формуле (5) исправленное среднее квадратическое отклонение равно |
|||
S = |
50 |
3,6 ≈3,636. |
|
49 |
|
||
|
|
|
|
По таблице [2, 3, 5] найдем tγ |
=γ (0,95; 50)= 2,009. Подставив найден- |
||
ные значения в формулу (10), получим доверительный интервал для математического ожидания a :
21,6 − |
2,009 3,636 |
< a < 21,6 + |
2,009 3,636 |
|
50 |
|
50 |
или
20,57 < a < 22,63 .
По таблице [2, 3, 5] найдем q (0,95; 50)= 0,25 и по формуле (11) получаем доверительный интервал для среднего квадратического отклонения
3,636(1 −0,25)<σ < 3,636(1+0,25)
или
2,727 <σ < 4,545.
Ответ: 20,57 < a < 22,63 и 2,727 <σ < 4,545.
|
Корреляционная зависимость. |
|
Выборочное уравнение прямой регрессии |
Пусть рассматривается выборка объема n , и нас интересует пара призна- |
|
ков X |
и Y , характеризующих элементы выборки. Полученные значения вели- |
чин X |
и Y - это пары (xi ; yi ), i =1,..., n . Описывают эти данные корреляци- |
15
онной таблицей (табл. 3)
Таблица 3
Корреляционная таблица
|
|
x |
x1 |
|
… |
|
xm |
ny |
|
|
y |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
n11 |
|
… |
|
n1m |
ny1 |
|
|
# |
|
# |
|
… |
|
# |
# |
|
|
yk |
|
nk1 |
|
… |
|
nkm |
nyk |
|
|
nx |
|
nx1 |
|
… |
|
nxk |
∑= n |
|
Здесь x1,..., xm наблюдаемые значения признака X (или середины интер- |
|||||||||
валов в интервальном распределении |
X ), nx |
- частоты этих значений. Анало- |
|||||||
гично, y1 ,..., yk - варианты для Y , а ny |
- их частоты. Соответственно, nij - со- |
||
вместные частоты пар (xj ; yi ) |
m |
k |
= ∑nij = n . |
и ∑nxj = ∑nyi |
|||
|
j=1 |
i=1 |
i, j |
Изучается зависимость величин X и Y . X и Y называют зависимыми, если закон распределения каждой из них меняется в зависимости от того, какие значения принимает другая величина. Если математическое ожидание, например, величины Y функционально зависит от значений величины X , т.е.
M (Y X = x)= g (x), |
(12) |
то зависимость называют корреляционной, а уравнение (12) называют уравне-
нием регрессии Y на X .
В статистике по корреляционной таблице строят выборочное уравнение регрессии, где M (Y X = x)в уравнении (12) заменяется его оценкой Yx , т.е.
Yx = g* (x).
Например, если Y – урожай зерна, X – количество удобрений, то выборочное уравнение регрессии выражает функциональную зависимость среднего
урожая Yx от количества внесенных удобрений X . Простейшее уравнение регрессии – линейное
M (Y / X = x) = ax +b .
Соответственно выборочное уравнение имеет вид
Yx = ax +b ,
а его график называют выборочной прямой регрессии. Это уравнение удобно
16
искать в виде
|
|
|
|
σy |
(x − x ), |
(13) |
Y |
|
− y = r |
||||
|
|
|||||
|
x |
в σ |
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
где x = xв , y = yв , σx , σy – выборочные средние квадратичные отклонения X и Y , а rв - выборочный коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле
∑nij xj yi −n x y
r = i, j . (14)
в |
n σx σx |
|
Выборочный коэффициент корреляции – это оценка числовой характеристики пары случайных величин:
r= M (X Y )− M (X ) M (Y ) .
σ(X ) σ(Y )
Величина r называется коэффициентом корреляции. Известно, что r ≤1, и если между X и Y линейная функциональная зависимость, то r =1.
Выборочный коэффициент корреляции rв ( rв ≤1) характеризует тесноту
линейной связи между количественными признаками X и Y в выборке: чем ближе rв к единице, тем линейная связь теснее. Если rв близок к нулю, то счи-
тают, что X и Y не связаны линейной корреляционной зависимостью.
Пример 6. Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X по данной корреляционной таблице и оценить тесноту линейной корреляционной связи между признаками.
y |
x |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
ny |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
3 |
5 |
- |
- |
- |
- |
8 |
|
20 |
- |
4 |
4 |
- |
- |
- |
8 |
|
30 |
- |
- |
7 |
35 |
8 |
- |
50 |
|
40 |
- |
- |
2 |
10 |
8 |
- |
20 |
|
50 |
- |
- |
- |
5 |
6 |
3 |
14 |
|
nx |
3 |
9 |
13 |
50 |
22 |
3 |
100 |
Решение. Выпишем распределение частот nx выборки для x . Соответст-
вующие частоты получаются при суммировании столбцов. Например, для x4 = 20
n4 = 35 +10 +5 = 50.
17
|
|
|
|
|
|
x j |
|
|
5 |
|
|
10 |
|
15 |
|
20 |
|
|
25 |
|
|
|
|
30 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nxj |
|
|
3 |
|
|
9 |
|
13 |
|
50 |
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||
|
Найдем xв = x и σx |
по формулам (2) и (3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x = |
5 3 +10 9 +15 13 + 20 50 + 25 22 +30 3 |
= |
1940 |
=19,4 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
= |
|
25 3 +100 9 + 225 13 + 400 50 +625 22 +900 3 |
= |
|
40350 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
= 403,5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−(xв )2 = |
403,5 −(19,4)2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
σx = |
|
|
x2 |
27,14 = 5,21. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Аналогично, суммируя частоты по строкам, получим таблицу распреде- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ления частот ny для |
|
|
y : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
yi |
|
10 |
|
|
20 |
|
30 |
|
40 |
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
nyi |
|
8 |
|
|
8 |
|
|
50 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
Найдем yв = y |
|
|
и σy |
по формулам (2) и (3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y = |
10 8 + 20 8 +30 50 + 40 20 +50 14 |
= |
3240 |
|
=32,4 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
= |
100 8 + 400 8 +900 50 +1600 20 + 2500 14 |
= |
116000 |
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y2 |
1160 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−(yв )2 = |
1160 −(32,4)2 = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
σy = |
|
y2 |
110,24 =10,5. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Находим
∑nij xj yi =3 5 10 +5 10 10 + 4 10 20 + 4 15 20 +7 15 30 + 2 15 40 +
i, j
+35 20 30 +10 20 40 +5 20 50 +8 25 30 +8 25 40 +6 25 50 +
+3 30 50 = 67000.
Теперь вычислим выборочный коэффициент корреляции rв по формуле
(14):
18
|
|
∑nij xj yi −n x y |
|
|
|
|
|
4144 |
|
|||
r |
= |
i, j |
|
= |
67000 −100 19, 4 32, 4 |
= |
|
≈ 0,76. |
||||
|
|
|
|
|
||||||||
в |
|
n σx σx |
100 5, 21 10,5 |
5470,5 |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
Так как значение rв ≈ 0,76 «близко» к 1, то линейная связь между призна- |
||||||||||||
ками Y и X достаточно тесная. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставив |
в формулу |
(13) |
вычисленные |
ранее значения |
||||||||
x =19,4; |
y =32,4; |
σx =5,21; σy |
=10,5; |
rв = 0,76 |
получим выборочное урав- |
|||||||
нение прямой регрессии Y на X :
|
|
|
−32, 4 = 0,76 |
10,5 |
(x −19, 4) |
|
|
|
|
|
|
Y |
|
Y |
|
=1,53(x −19, 4)+32, 4 Y =1,53x + 2,72. |
|||||||
|
|
||||||||||
|
x |
5, 21 |
|
x |
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: Yx =1,53x + 2,72.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
ВАРИАНТ 1 1. Задано интервальное распределение выборки.
31,2-31,8 |
31,8-32,4 |
32,4-33,0 |
33,0-33,6 |
33,6-34,2 |
34,2-34,8 |
34,8-35,4 |
10 |
15 |
28 |
25 |
12 |
8 |
2 |
Составить вариационный ряд. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график. Построить полигон частот и гистограмму относи-
тельных частот. Найти выборочное среднее хв и выборочную дисперсию Dв .
Предполагая, что распределение нормальное, найти доверительный интервал для математического ожидания с надежностью γ = 0,95 и доверительный интервал для среднего квадратического отклонения с надежностью γ = 0,99 .
2. По заданной корреляционной таблице:
а) оценить тесноту линейной корреляционной связи между признаками; б) найти уравнения прямых регрессии Yx .
|
x |
5 |
8 |
11 |
14 |
17 |
20 |
ny |
y |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
2 |
4 |
- |
- |
- |
- |
6 |
20 |
|
- |
3 |
7 |
- |
- |
- |
10 |
30 |
|
- |
- |
5 |
30 |
10 |
- |
45 |
40 |
|
- |
- |
7 |
10 |
8 |
- |
25 |
50 |
|
- |
- |
- |
5 |
6 |
3 |
14 |
nx |
|
2 |
7 |
19 |
45 |
24 |
3 |
100 |
19
ВАРИАНТ 2 1. Задано интервальное распределение выборки.
52,3-52,7 |
52,7-53,1 |
53,1-53,5 |
53,5-53,9 |
53,9-54,3 |
54,3-54,7 |
54,7-55,1 |
8 |
17 |
26 |
27 |
11 |
8 |
3 |
Составить вариационный ряд. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график. Построить полигон частот и гистограмму относи-
тельных частот. Найти выборочное среднее хв и выборочную дисперсию Dв .
Предполагая, что распределение нормальное, найти доверительный интервал для математического ожидания с надежностью γ = 0,95 и доверительный интервал для среднего квадратического отклонения с надежностью γ = 0,99 .
2. По заданной корреляционной таблице:
а) оценить тесноту линейной корреляционной связи между признаками; б) найти уравнения прямых регрессии Yx .
|
x |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
ny |
y |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
3 |
3 |
- |
- |
- |
- |
6 |
10 |
|
- |
4 |
6 |
- |
- |
- |
10 |
13 |
|
- |
- |
8 |
28 |
9 |
- |
45 |
16 |
|
- |
- |
7 |
10 |
8 |
- |
25 |
19 |
|
- |
- |
- |
5 |
6 |
3 |
14 |
nx |
|
3 |
7 |
21 |
43 |
23 |
3 |
100 |
ВАРИАНТ 3 1. Задано интервальное распределение выборки.
31,7-32,9 |
32,9-34,1 |
34,1-35,3 |
35,3-36,5 |
36,5-37,7 |
37,7-38,9 |
38,9-40,1 |
9 |
16 |
25 |
28 |
10 |
8 |
4 |
Составить вариационный ряд. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график. Построить полигон частот и гистограмму относи-
тельных частот. Найти выборочное среднее хв и выборочную дисперсию Dв .
Предполагая, что распределение нормальное, найти доверительный интервал для математического ожидания с надежностью γ = 0,95 и доверительный интервал для среднего квадратического отклонения с надежностью γ = 0,99 .
2. По заданной корреляционной таблице:
а) оценить тесноту линейной корреляционной связи между признаками; б) найти уравнения прямых регрессии Yx .
20