Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Учебное пособие 410

.pdf
Скачиваний:
8
Добавлен:
30.04.2022
Размер:
410.1 Кб
Скачать

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Воронежский государственный технический университет»

Строительно-политехнический колледж

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для практических и самостоятельных работ по математике для студентов 1-го и 2-гокурса всех специальностей

Воронеж 2020

УДК 512(07) ББК 22.1я7

Составители:

Ю.В. Черная,С. Л. Рыбина, И. И. Корчагин

В.И. Маслова, З. И. Шахбазова, Н. В. Федотова

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ: методические указания для практических и самостоятельных работ по математике для студентов 1-го и 2-гокурса всех специальностей/ ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»; сост.: Ю. В. Черная, С. Л. Рыбина, И. И. Корчагин [и др.]. - Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2020. - 15 с.

Приводятся теоретические сведения по теории пределов и непрерывности функции, приведены примеры вычисления пределов, нахождения и классификации точек разрыва функции, даны задания для самостоятельной работы. Могут использоваться для разработки индивидуальных проектов и для подготовки к сдаче ЕГЭ.

Предназначены для самостоятельной работы по дисциплине «Математика» для студентов 1-го и 2-го курса.

Методические указания подготовлены в электронном виде и содержатся в файле МУ ЛРУ(2) pdf.

УДК 512(07) ББК 22.1я7

Рецензент – М. Ю. Глазкова, канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры прикладной математики и механики ВГТУ

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

2

ВВЕДЕНИЕ

Данные методические указания предназначены для студентов 1-2 курсов Строительно-политехнического колледжа всех специальностей в освоении методов нахождения пределов функций и исследования функций на непрерывность. Сообщаются основные определения и теоремы теории пределов и непрерывности функции, методы вычисления пределов функций, нахождения и классификации точек разрыва функций, приводятся примеры решения практических задач. Методические указания содержат задания для проведения практических занятий и самостоятельной работы и могут использоваться для разработки индивидуальных проектов, а также для подготовки к сдаче ЕГЭ.

Общие положения

Самостоятельная работа студентов представляет собой работу, которую выполняют студенты по заданию и под руководством преподавателя без его непосредственного участия.

Целям и задачами самостоятельной работы студентов являются систематизация и закрепление знаний, умений и навыков, полученных в ходе практических занятий; формирование умений работать со специальной и справочной литературой, а также с Интернет-ресурсами; формирование самостоятельности мышления, стремления к самосовершенствованию и самореализации; формирование и развитие общих компетенций и подготовка к формированию профессиональных компетенций согласно ФГОС СПО; овладение практическими навыками применения информационно-коммуникационных технологий в профессиональной деятельности; развитие исследовательских умений.

3

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Определение предела

Определение 1: Функция y=f(x) имеет предел А при х→х0, если при приближении х к х0 значение функции f(x) подходит как угодно близко к числу

А:

lim =

 

х→х

Читается: предел f(x) при х стремящемся к x0 равен A.

Определение 2: Число А называется пределом функции y=f(х) при х стремящемся к x0, если для любого сколь угодно малого, наперед заданного ε>0 существует такое δ(ε)>0, что для всех х таких, что 0<|х-x0|<δ выполняется неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|f(x) - A|<ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теоремы о пределах

limх→х

 

 

пределы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

limх→х

и

, то существуют

Если существуют конечные пределы

 

 

 

 

 

 

1.

limх→х

 

±lim

 

 

 

= limх→х

± limх→х

 

 

 

limх→х

 

х→х

 

 

 

 

 

∙ limх→х

 

 

 

2.

 

 

 

= limх→х

 

 

3.

limх→х

 

 

=

 

х→х

 

 

,

 

≠ 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х→х

 

 

 

 

 

 

 

 

limх→х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

С = С,

 

= С limх→х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

limх→х

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где С – const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

limх→х

 

 

= limх→х

 

х→х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисление пределов

 

 

 

Пример 1.

 

 

 

 

lim 5х + 3х − 4 = 5 ∙ 2

+ 3 ∙ 2 − 4 = 22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2.

 

 

 

 

х→

 

 

 

х

− 1

 

7

 

 

2

− 1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

=

7

= 0

 

 

 

Пример 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х→( х − 2х − 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

х

,−2

 

= −2

= ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х→+

+ 3х

 

0

 

 

 

 

Здесь под записью 02 подразумевается деление на бесконечно малое число.

4

При нахождении предела функции часто подстановка предельного значе-

ния аргумента приводит к неопределенным выражениям вида -+. , -(. ,

/∞ −

∞, 1∞

и др. Нахождение предела функций в таких случаях называют+ (

рас-

 

крытием неопределенности. Для раскрытия неопределенности прежде, чем перейти к пределу, производят преобразование выражения под знаком предела.

Пример 4. lim х

− 6х + 8

= 4

− 6 ∙ 4 + 8

= 304 =

При х=4 имеем

х

− 5х + 4

4

− 5 ∙ 4 + 4

0

х→,

 

 

 

 

 

неопределенность. В подобных случаях, когда в числителе и знаменателе многочлены обращаются при х=а в нули, их необходимо со-

= lim х − 2

х − 4

= lim х − 2

= 2

кратить на (х-а) после предварительного разложения на множители:

х→, х − 1

х − 4

х→, х − 1

3

1. Задачи на нахождение пределов от дробно-рациональных функций при неопределенности вида -55.

 

limх→

х8

 

 

 

 

 

limх→,

х8,

1.

limх→

789х8

 

 

 

7.

 

limх→;

х78?х: +

 

х786х:

 

 

 

 

 

х78=х:;

2.

limх→,

х789х:;

 

 

 

8.

 

 

х78@ х:6;

 

х7

 

 

 

 

 

limх→8@ х:@

3.

limх→8

х<7: х

 

 

 

9.

 

limх→а

х<:@

 

х:

 

 

 

 

 

х<<

4.

limх→8

х7

8,

 

 

 

10.

 

хBB

 

х<

8 =

 

 

 

 

 

 

 

5.

limх→

68х

 

 

 

 

 

 

 

 

х78;х:>

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

х8

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5.

2

− 3х −

25

 

=

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

lim 1 + х + 3х

 

 

-.

 

 

 

 

 

 

х→∞

 

 

 

 

 

, необходимо разделить

Для того, чтобы раскрыть неопределенность

 

числитель и знаменатель на х в старшей степени.

-.

 

Разделим числитель и знаменатель на х2:

5

Пример 6.

 

,

 

 

 

х,

 

 

 

 

2

 

 

lim х

 

− 2х

= -. = lim х,

− х,

= lim

1 − х6

= 1 = ∞

х→( х − 1

х→( х

1

 

х→( 1

1

0

 

 

6

 

 

 

х6

 

 

х

1

3

 

 

Пример 7.

 

 

 

 

 

х,

х,

 

 

 

х,

 

 

lim х

 

 

9− 3х

= -. = lim

х99х9

 

= lim х

х, = 0

= 0

х→(

+ 7

х→(

7

 

х→(

 

7

5

 

 

 

 

 

 

 

х9

+ х9

 

 

5 + х9

 

 

2. Задачи на нахождение пределов от дробно-рациональных функций при неопределенности вида -((.

1.

limх→(

х789х:;

 

 

 

4.

limх→(

х<8@ х:6;

х786х:

 

 

 

 

 

 

 

86х<

8=х:;

2.

limх→(

х7

:6

 

 

 

5.

limх→(

х<8@

 

 

хC7

 

 

 

 

 

 

limх→(

<

7

 

 

 

6.

limх→(

х:@

 

3.

хD:6х

 

 

 

 

9х8,

 

 

х 8х :=х

х

=

0

 

 

 

∙9

 

Пример 8.

 

lim

 

 

= 304 =

 

 

 

 

 

х→+

√1 + х − 1

 

√1 + 0 − 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

иррациональности в знамена-

Раскроем неопределенность. Избавимся от

 

 

0

 

 

теле дроби, для чего домножим знаменатель и числитель на выражение, сопряженное знаменателю (дополняющее иррациональное выражение до полного

lim

х √1 + х + 1

= lim х √1 + х + 1

= lim х √1 + х + 1 =

квадрата, куба и пр.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х→+ √1 + х − 1

√1 + х + 1

х→+

1 + х − 1

х→+

1 + х − 1

 

= lim х √1 + х + 1 = lim √1 + х + 1

= √1 + 0 + 1 = 2

 

х→+

 

х

х→+

 

8 − 8

 

0

 

 

 

Пример 9.

 

х6 − 8

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

х − 2

=

2 − 2

=

3 4 =

 

 

 

 

 

х→

 

 

0

 

 

 

 

= lim х − 2 х + 2х + 4

= = lim х

+ 2х + 4 = 12

 

х→

 

х − 2

 

 

х→

 

 

 

 

 

3. Задачи на нахождение пределов от иррациональных функций

 

limх→+ ,:х8

 

при неопределенности вида -55.

 

68х

 

 

 

 

 

 

 

limх→6

 

1.

х

 

 

 

 

 

2.

 

 

6: х86

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

limх→9

 

8√х8@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

limх→@;

х8

 

3.

 

 

 

х78 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

 

 

 

B

 

 

х→,

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

limх→ =

х8,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

<

 

 

lim

 

х8√6х:,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х8 =

 

 

 

 

@;8х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

√х86

 

 

 

 

 

 

Первый замечательный предел

 

 

 

 

При вычислении пределов тригонометрических функций часто использу-

ется формула

limF→+ G FH F

= 1,

которая

называется первым замечательным

пределом и позволяет раскрывать неопределенности вида -++..

 

lim sin 3х

= sin 0 = 304 = − 1 lim 3sin 3х

= − 3 lim sin 3х = − 3 ∙ 1 = − 3

Пример 10.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х→+

−2х

 

 

0

 

0

2 х→+

 

 

2 х→+

 

 

2

2

Пример 11.

 

 

 

 

 

 

 

 

+ K

 

sin

 

− K

 

 

 

 

 

 

 

lim sin х − sin K = lim 2cos

2

 

 

 

2

 

=

 

 

 

 

 

 

х→а

 

 

− K

 

 

х→а

 

 

 

− K

 

− K

 

 

 

= lim cos

+ K ∙ lim

2 sin

− K

= cos K + K ∙ lim sin

 

= cos K ∙ 1 = cos K

2

 

2

2

 

х→а

 

2

 

х→а

 

− K

 

 

 

2

 

х→а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− K

 

 

 

 

 

 

4. Задачи на нахождение пределов с помощью

 

 

limх→+ G H х

первого замечательного предела

х8U

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

limх→U

 

limх→+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G H х

 

2.

NO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

limх→@

V 7х8@

 

3.

limх→@

G H х8@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

 

8@

 

 

 

 

@8х

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

 

PQR

 

4.

limх→+

G H х G H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

limх→B

G H 8STG

 

 

 

9х7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

limх→+

 

х7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

PQR х8STG 6х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Второй замечательный предел

 

 

 

 

Вторым замечательным пределом называется[

предел вида

 

 

 

 

 

lim

 

X1 + FY

 

= lim

 

1 + Z

 

 

= ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F→±(

 

@

F

F→+

 

 

 

\

 

 

 

, e=2,71828…,

 

с помощью которого можно раскрывать неопределенность вида /1(^.

 

Пример 12.

 

 

lim

1 + 3 =

/1(^ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приведем предел ко второму замечательному. Преобразуем степень:

7

lim

 

6

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

= lim

 

 

 

 

 

 

`

;

= ];

1 + 3 6

 

_ 1 + 3 6

`

 

_ 1 + 3 6

 

→(

 

 

 

 

 

 

 

→(

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

→(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 13.

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

:6 = /1(^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

→(

 

 

=

3 + 2 +

−2

 

= 1 + −2

 

 

 

 

 

= 3 + 2 − 2

 

 

 

 

Преобразуем выражение

под знаком предела:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

3 + 2

.

 

 

3

 

 

+ 2

 

 

 

 

 

3

+ 2

3 + 2

 

 

3

 

+ 2

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

+ 2 O = −2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выразим6 :x:= O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 O + 2O = −2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 O = −2O − 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

−2O

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3O

 

3O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a → 5

 

 

 

 

 

 

 

 

−2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выразим

 

 

при

b → ∞

 

 

3O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3 = −2

2 + 3 = 7 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

степень через t:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:6

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдем к пределу по

переменной t:

 

3

3O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

3O

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim 1 + O

686V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→(

 

 

 

+ 2

 

 

 

 

 

V→+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По свойству степеней:3

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim 1 + O

@

6

∙ 1 + O

= ]6

 

= ]6

 

 

 

 

 

 

 

 

V

6

∙ 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V→+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Задачи на нахождение пределов с помощью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

второго замечательного предела

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

lim →+ 1 + 3

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

 

6 :

 

 

 

89

 

 

 

 

[

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim →( X6 86Y

 

 

 

 

 

 

3.

lim →+ 1 − 2

 

7

 

[

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim →( X :@89Y

8@

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

lim →+ 1 + def

 

<c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

lim →( X :6Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim →( X99 :8;Y

c

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

 

 

 

 

5.

lim →( X 89:9Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.lim →( X1 +

:@@ Y

 

 

− gf

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim →(

gf

 

+ 1

8

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК РАЗРЫВА

Непрерывность функций. Точки разрыва

Определение 1: Функция y=f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только

тогда, когда

limх→х 8+ = lim = + ,

х→х 8+

х→х :+

х→х :+

односторонние пределы (левосторонний и пра-

где lim

и lim

восторонний соответственно).

Пример 1.

Рассмотрим рис. 1. Если приближаться по оси Ох к точке k слева (х→k-

0), то соответствующие значения у будут стремиться по оси Оу к точке m. Запишем левосторонний предел:

Рис. 1. Непрерывная функция

При приближении к точке k справа (х→k+0), у также стремится к значению m. Запишем правосторонний предел:

Значение функции в самой точке k равно m: f(k)=m, следовательно, выполнены все условия непрерывности функции в точке:

1)функция определена в точке k, то есть существует значение f(k);

2)односторонние пределы конечны и равны;

3)существует общий предел функции в точке k, равный значению

функции в этой точке .

Определение 2. Функция y=f(x) непрерывна на интервале (a; b), если она непрерывна в каждой точке данного интервала.

9

Определение 3. Если функция y=f(x) в точке х0 не является непрерывной, то она называется разрывной в точке х0, а точка х0 точкой разрыва

функции.

Классификация точек разрыва

Определение 4. Точкой разрыва первого рода называют такую точку х0 разрыва функции, в которой существуют и конечны оба односторонних

предела этой функции.

0

 

устранимого

 

lim

х→х 8+

=

 

 

 

 

 

 

 

Определение 5. Если

 

выполняется

условие

 

 

limх→х0+0 ≠ 0

, то точка х

 

– точка

 

 

разрыва.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Исследовать функцию h = G H на непрерывность, найти точки разрыва, классифицировать их.

Рис. 2. Точка устранимого разрыва

Данная функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки х=0. Функция не определена в точке х=0, а значит, терпит разрыв в данной точке.

Односторонние пределы в этой точке существуют и равны:

, но не равны значению функции в точке х=0. Следовательно, в точке х=0 функция претерпевает устранимый разрыв. «Устрани-

мый», т.к. возможно доопределить функцию в данной точке и устранить разрыв, например, таким образом:

Определение 6. Если выполняется условие

 

х→х 8+

 

 

limх→х0+0 ≠ 0

 

разрыва. В точке х

 

 

, то точка х0 – точка неустранимого

 

lim

 

0

функция терпит разрыв первого рода со скачком.

Пример 3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва, классифицировать их.

10