Учебное пособие 374

Подставляя

начальные

условия f (0) = i c = 0 , получим,

что

c = 0 . Тогда

f (z )= xe x (cos y + i sin y )+ ye x (-sin y + i cos y )= xe xeiy +

+iyex (cos y + i sin y ) = xexeiy + iye xeiy = ze z .

Здесь использована формула Эйлера

cos z + i sin z = eiz .

б)

v = Im f (z )= ex (y cos y + (x -1)sin y ), f (0 )=1 .

Дифферен-

цируя v

по y , получим

¶v

= ex (x cos y - y sin y ) =

¶u

.

¶y

¶x

Тогда, интегрируя, приходим к выражению

u =

ò

ex

(

xcos y - y sin y

)

dx + g

(

y

= ex

((

x -1 cos y - y sin y

)

+ g

(

y

,

)

)

)

ные

¶v

= e x ( y cos y + x sin y ) ,

¶u

= -ex (xsin y + y cos y)+ g¢(y ) и

¶x

¶y

а)

ò(1 + i + z )Re zdz

C : y = x2 , z1 = 0, z2 =1 + i ,

C

б)

ò(1 - i +

)Im

C -прямая, z1 = 0, z2 =1+ i .

z

zdz

C

а) ò(1 + i + z )Re zdz

C : y = x2 , z1 = 0, z2 =1 + i . Так как Re z = x ,

C

ò (1 + i + x + iy )xd z =

то

интеграл

примет

вид

C

= ò(x + x2 + i (x + xy ))dz . Или, переходя к

криволинейным

C

ò(x + x2 )dx - (x + xy )dy + i ò(x + xy )dx + (x + x2 )dy .

интегралам,

C

C

Из

уравнения линии y = x2

имеем dy = 2xdx .

Подставляя y и

= ò1 (x - x2 - 2x4 )dx + iò1 (x + 2x2 + 3x3 )dx = x2 - x3 - 2 x5 1 +

0

0

2

3

5

0

б)

ò(1 - i +

)Im

C -прямая, z1 = 0, z2 =1+ i . Так

как

z

zdz

C

-ò(1- i + x - iy) ydz =

Im

= - y , то интеграл

примет вид

z

= ò(-y - xy +i (y + y2 ))dz . Или, переходя

C

к криволинейным

инте-

C

ò(-y - xy)dx -(y + y2 )dy + iò(y + y2 )dx - (y + xy )dy . Уравне-

гралам,

C

C

Подставляя y

и dy

в выражение для интеграла и учитывая,

что 0 £ x £1, имеем

ò1 (-x - x2 - x - x2 )dx + iò1 (x + x2 - x - x2 )dx =

0

0

1

æ x2

x3 ö

1

æ

1

1

ö

5

ò(

x + x2

)

.

= -2

dx = - 2ç

+

÷

= -2

ç

+

÷

= -

ç

2

÷

2 3

3

0

è

3 ø

0

è

ø

i

1

а) ò z cos zdz ,

б) ò(z + i)ch zdz .

0

i

0

b

b

a

a

u = z ,

dv = cos zdz . Тогда du = dz , v = sin z . Подставим в форму-

лу и получим, что исходный интеграл

i

I = z sin z

i0 - òsin zdz = isin i + cos z

i0 =

0

= i sin i + cos i -1 = -sh1 + ch1-1 =

1

-1 .

1

e

б)

ò (z +i)ch zdz . Для вычисления интеграла нужно

приме-

i

b

b -

b

нить

формулу

интегрирования по частямudv = uv

vdu .

ò

a

ò

a

a

Примем u = z + i ,

dv = ch zdz . Тогда du = dz ,

v = sh z . Подставим

в формулу и получим, что исходный интеграл

1i

1

I = (z + i)sh z

- òsh zdz = (1 + i)sh1 - (i + i

sh) i - ch1 + ch i =

òL

ez+ipdz

L3 : x2

y2

, L1 :

z

= 3 ,

L2 :

z - ip

=1,

+

=1 .

(z2 + p2 )(z - ip)

16

замкнутому

контуру L1

равен

, нулют. е.

I = ò

ez +ipdz

= 0 .

(z + ip) (z - ip)2

L

б) Рассмотрим интеграл I по контуру L2 . Данный контур

– это окружность на плоскости xOy

радиуса R =1 с центром в

ez +ip

dz

2pi d æ ez +ip ö

I =

z + ip

=

=

ç

÷

ò(z - ip)2

1! dz

è z + ipø

z =ip

L

= 2pi

ez+ip (z + ip)- ez+ip

= 2pi

e2pi (2pi -1)

.

(z + ip)2

z =ip

-4p2

I = -

i

(2pi -1)(cos 2p + i sin 2p) =1 +

i

.

2p

2p

в) Рассмотрим интеграл I

по контуру L3 . Данный контур

грал I

по контуру L3 равен сумме интегралов I1 и I2 по кон-

турам

g1 и

g2 вокруг

точек z = -ip и z = ip

соответственно.

Интеграл I2

по контуру g2 равен интегралу I

по контуру L2

(см. п. «б»), т.е. I

2

=1+

i

. Рассмотрим интеграл I по контуру

2p

1

ez +ip

dz

I1 = ò

(z - ip)2

.

z + ip

g

Тогда, согласно интегральным формулам Коши, интеграл I1

от

аналитической функции по замкнутому контуру g1

равен

ez +ip

dz

I1 = ò

(z - ip)2

ez +ip

1

i

= 2pi

= 2pi

= -

.

z + ip

(z - ip)

2

-4p2

2p

g

z =-ip

Следовательно,

интеграл

I

по

контуруL3

равен

I = I + I

2

= -

i

+1 +

i

=1 .

1

2p

2p

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в указанной

области.

z

1.

, а) 6 <

z

< 7 , б)

z

> 7 , в) 0 <

z + 7

<13 .

z2

+ z - 42

2.

z + 5

,

z + 7

>1 .

z2

+13z + 42

3.

z +1

,

0

<

z + 6

<13 .

z2

- z - 42

4.

z - 5

,

z - 6

>1.

z2

-13z + 42

Р е ш е н и е. В данной задаче будет использовано разло-

жение в ряд суммы геометрической прогрессии

1

¥

=

å(-1 n) zn

z

<1.

1 + z

n=0

1. а)

f (z )=

z

6 <

z

< 7 . Представим функцию f (z)

z2 + z - 42

в виде суммы простейших дробей

f (z )=

z

=

7

1

+

6

1

.

z2 + z - 42

13 z + 7 13 z - 6

7 1

=

1

1

.

13 z + 7

z

13 1 +

7

7 1

1 1

1

¥

n æ z ön

1

¥

n zn

=

=

å

(-1 ) ç

÷

=

å

(-1 )

.

z

13

13

7n

13 z + 7 13

1

+

n=0

è

7 ø

n=0

7

что и для первого,

6

1

= -

1

1

, то аналогичный ряд бу-

z

13 z - 6

13 1 -

6

дет расходиться, так как

z

> 6. Поэтому разделим числитель и

знаменатель на z. Получим

6 1

6

1

6

¥

n æ

6

ön

6

¥

6n

1

¥

6n

=

=

å

(-1 ) ç

-

÷ =

å

=

å

.

6

13z

z

13z

zn

13

zn

13 z - 6 13z

1

-

n=0

è

ø

n=0

n=1

z

Этот ряд сходится, так как

z

> 6 . Итак,

1 ¥

n zn

1

¥ 6n

f (z )=

å

(-1 )

+

å

.

7n

13 n=0

13 n=1 zn

1. б) f (z )=

z

=

7

1

+

6

1

z

> 7 . Как и в пре-

z2 + z -42

13 z +7 13 z -6