Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 374

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

394.09 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

где a1, a2 ,...,	an – полюса функции R (z ) , лежащие в верхней по-
луплоскости (Im z > 0) .
Б) Пусть R (sin x, cos x) = F (z ) , если положить eix = z . Тогда
	2 p
	ò R (sin x, cos x ) d x = 2 p×s ,				(32)
	0
где s есть сумма вычетов функции F (z )/ z					относительно по-
люсов, заключенных внутри окружности			z	=1.
люсов, заключенных внутри окружности			z	=1.
	II. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Следующие выражения записать в алгебраиче-
ской форме:	б) cos (1 + i);	в) sh (1 + i );			Ln ( 3 + i );
а) e2+2i ;	б) cos (1 + i);	в) sh (1 + i );	г)		Ln ( 3 + i );
д) Arcsin 3; е) Arcсtg 2i;		ж) Arsh i;	з)		Arch1.

Р е ш е н и е. При решении задачи 1 используются формулы (8) – (17). Решение задачи сводится к последовательным

преобразованиям исходных выражений с помощью данных формул.


		а)		e2+2i = e2 × e2i = e2 (cos 2 + i sin 2).
		б)		cos(1+i) = cos1cosi -sin1sin i = cos1ch1 - i sin1sh1.
		в)		sh (1 + i) = sh1ch i + ch1sh i = sh1 cos1 + i ch1sin1.
		г)		Ln ( 3 + i ). Представим комплексное число в скобках в
виде			z = x + iy = 3 + i ,		т.е. x = 3,	y =1 . Тогда модуль z	равен
	z	=	x2 + y2 = 3 +1 = 2 .		Аргумент	комплексного числа z	опре-

деляется

из

выраженийcos(arg z) =

, sin(arg z) =

Следовательно, arg z = p/ 6 . Тогда [см. формулу (12)]

Ln(

3 + i) = ln

+ i (arg z + 2kp) = ln 2 + i (p / 6 + 2kp).

д) Arcsin 3 = -i Ln (z +

1 - z2 )= -i Ln (3i + 1 -32 )=

= -i Ln (i (3 ±

8 )). Далее вычисляем согласно пункту «г». Пред-

ставим комплексное

число

скобках

видеz = x +iy =i (3±

8),

т.е. x=0, y =3± 8.

Тогда модуль z

равен

x2 + y2 =

3±

Аргумент

комплексного

числаz

определяется из

выражений

cos(arg z) =

=0 ,

sin(arg z) =

3 ±

=1 .

Следовательно,

3 ±

arg z =

. Тогда

æ p

öö

Arcsin 3 = -i çln

± 8

+ i ç

+ 2kp÷÷

+ 2kp - i ln

3 ±

øø

æ 2i - i ö

æ 1 ö

е) Arcctg 2i =

÷ =

÷ .

вычисляем

со-

è 2i + i

гласно пункту «г». Представим комплексное число в скобках в

виде

z = x + iy =1/ 3 , т.е.

x =1/ 3,

y = 0 .

Модуль

равен

x2 + y2 = 1/ 3 . Аргумент комплексного числа z

определя-

ется

из выраженийcos(arg z) =

=1 , sin(arg z) =

= 0 .

Тогда

arg z = 0 . Итак, Arcctg 2i =

çln

+ i (0 + 2kp)÷

= -kp -

ln 3 .

ж) Arsh i =Ln (z + z2 +1)=Ln (i + i2 +1 )= Ln i . Далее вы-

числяем согласно пункту «г». Представим комплексное число

в скобках в

видеz = x + iy = i ,

т.е. x =0,

y =1.

Модуль z

равен

x2 + y2 =1. Аргумент комплексного числа z определяется

из

выражений cos(arg z) =

= 0 ,

sin(arg z) =

=1.

Тогда

æ p

arg z =

. Итак, Arsh i = ln1+ i ç

+ 2kp÷

= i ç

+ 2kp÷ .

è 2

з) Arch1 =Ln (z + z2 -1 )=Ln (1 + 1 -1 )= Ln1 . Далее вычис-

ляем согласно пункту«г». Представим комплексное число в

скобках в виде z = x + iy =1, т.е. x =1,			y = 0 . Модуль z равен
	z	= x2 + y2 =1. Аргумент комплексного	числа z определяется

из выражений cos(arg z) =	x	=1,	sin(arg z) =	y	= 0 . Тогда arg z = 0 .
	z			z

Итак, Arch1 = ln1 + i (0 + 2kp) = 2kpi .

Задача 2. Извлечь корень соответствующей степени из данного числа. Ответ записать в алгебраической форме.

а) 3 -2 + 2i , б)

, в)

4 i , г)

6 -64 .

3-2 + 2 i

Ре ш е н и е. При вычислении корня из комплексного числа используется формула (4).

а)

3 -2 + 2i . Подкоренное выражение можно представить в

виде

z = x + i y = -2 + 2i . Тогда

x = -2, y = 2 . Следовательно,

= (-2 )+2 =2 2 ,

cos arg (z )=

= -

sin arg (z )=

Значит,

arg z =

. Окончательно

2 æcos

æ p

2kp

+ i sin

æ p

2kp

öö

, k = 0,1, 2 .

÷÷

è 4

3 øø

б)

. При решении этой задачи числитель и знаме-

3 -2 + 2 i

натель дроби удобно умножить на сопряженное выражение

3 -2 - 2 i

3 -2 - 2i

i .

= 3 -

3 -2 + 2 i

3 -2 + 2i 3 -2 - 2i

3 4 + 4

4 4

Подкоренное выражение можно представить в виде

z = x + i y =

= -

i .

Тогда x = -

, y = -

. Откуда

1 ö

1 ö2

cos arg (z )=

ç -

= -

4 ø

2 2

sin arg (z )=

= -

Значит,

arg z =

т.е.

w =

æcos æ

2kp

+ i sin

2kp

öö ,

k = 0, 1, 2 .

÷÷

2 è

è 12

3 ø

è 12

3 øø

в) 4 i . Подкоренное выражение можно представить в виде

z = x + i y = i , откуда x = 0, y =1 . Следовательно,

= 02 +12 =1 ,

cos arg (z )=

= 0 ,

sin arg(z )=

= 1. Значит,

arg z =

. Тогда

= æ cos æ

ö + i sin æ

öö ,

k = 0, 1, 2, 3 .

÷÷

è 8

2 ø

è 8

øø

г) 6 -64 . Подкоренное выражение можно представить в

виде

z = x + i y = -64 .

Откуда

x = -64, y = 0 .

Следовательно,

(-64)2 + 02 = 64 , cos arg (z )=

= -1 ,

sin arg(z )=

= 0 . Зна-

чит, arg z = p . Тогда

w = 2

æcos æ

2kp

+ i sin æ

2kp

öö

, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 .

÷÷

è 6

øø

Или

3 ± i,

± 2i,

3 ± i .

Задача 3. Выяснить геометрический смысл соотношений:

а) z + 3 + z - 3 =10 , б) z + 3i + z - 3i <10 ,

в)

Im z2 > 2 , г)

, д)

z + a + i b

z + c + i d

Re ç

è z

Р е ш е н и е.

а) z + 3 + z - 3 =10 . Введем обозначения: c = 3; a = 5 . Тогда равенство можно записать в видеz + c + z - c = 2a . Модуль z +c есть расстояние между точками z и -c ; z -c – расстояние

между точками z и c . По условию сумма расстояний от точки z до двух данных точек -c и c есть величина постоянная.

Значит, точка z лежит на эллипсе. Уравнение этого эллипса имеет вид

x2	+	y2	=1 ,
a2		b2

где b2 = a2 - c2 . Так как в нашем случае b2 = 52 - 32 =16 = 42 , то

решением задачи будет уравнение эллипса

=1 .

б)

z + 3i

z - 3i

<10 . Введем

обозначения:

c = 3; b = 5 . То-

гда неравенство

можно

записать

в видеz +i c

z -ic

< 2b . Рас-

смотрим случай

равенства

z + i c

z - i c

= 2b .

Модуль

z + i c

есть расстояние

между

точками z и -i c ;

z - i c

– расстояние

между точками z

и i c .

По условию сумма расстояний от точ-

ки z до двух данных точек -i c

и i c есть величина постоянная.

Значит, точка z лежит

на эллипсе. Уравнение этого эллипса

имеет

вид

=1 ,

где

a2 = b2 - c2 .

Так

как

a2 = 52 - 32 =16 = 42 ,

то

случае

равенства точкаz

лежит

на

эллипсе

=1 .

нашем

случае решением задачи будет

внутренность эллипса

<1 .

в) Im z2 > 2 . Имеем z2 = (x + i y)2 = x2 - y2 + i 2xy

и, следова-

тельно, Im z2 = 2xy . По условию 2xy > 2 или xy >1 .

Последнее

неравенство определяет множество точек в первом и третьем квадрантах, соответственно над и под гиперболой.

г) Re

æ 1

Имеем

1 ö

æ x - i y ö

Re ç

= Re ç

è z z ø

è z

z ø

. По условию

или x2 + y2 - 4x = 0 . Это ок-

x2 + y2

ружность (x - 2)2 + y2 = 4 .

д)

z + a + i b

z + c + i d

. В левой и правой частях равенства

модули соответственных величин z + a + i b

и z + c + i d . Вычис-

лим

модули,

приравняем

их

и возведем

квадрат. Получим

(x + a)2 + (y + b )2 =

x( + c )2 + (y + d )2 .

Или,

после

раскрытия

скобок

приведения

подобных, 2(a - c)x + 2(b - d ) y + a2 +

+b2 - c2 - d 2 = 0 . Это уравнение прямой линии.

Задача 4. Решить уравнение (ответ дать в алгебраической

форме).

а) sin z + cos z =1,

б) e2 z - (1+ i)ez +1+

= 0 ,

в) sh z + ch z =1,

г) sh2 z + ch2 z =1 .

Р е ш е н и е.

а)

sin z + cos z =1 . Так

как sin

= cos

умножим

левую

правую

части

уравнения

на.

Получим

sin z cos

+ cos z sin

или sin ç z +

Отсюда

вы-

разим z :

z = -

+ Arcsin

= -

- i Lnçi

= -

- i Ln ç

+ i

÷ .

Имеем два множества решений уравнения z1 и z2 . Для множе-

ства

аргумент логарифма Ln

равен w

= x + i y =

+ i

т.е.

x =

y =

Тогда

модуль w

равен

=1.

Аргумент

определяется

выражениями cos arg w =

sinargw =

и равен arg w =

. Тогда решение примет вид

æ 2

2 ö

æ p

= 2kp .

z = -

- i Ln ç

+ i

= -

- i

ln1

+ i

+ 2kp

÷÷

è 2

Для

множества

аргумент

логарифма

равен

w = x + i y = -

+ i

, т.е. x = -

, y =

Тогда модуль w

равен

=1. Аргумент w

определяет-

ся выражениями cos arg w =

= -

, sin argw =

и равен

arg w =

. Тогда решение примет вид

2 ö

æln1+ i

æ 3p

öö

= -

- i Ln ç-

+ i

= -

- i

+ 2kp

+ 2kp.

÷÷

øø

б)

e2z -(1+ i)ez +1+

= 0 . Введем промежуточную перемен-

ную w = ez

и решим квадратное уравнение w2 -(1+i)w +1+

= 0

относительно

w .

Решение

уравнения

естьw

1,2

æ 1

ö2

- 1 -

± i .

Следовательно,

e z

i ,

è 2

. Из первого равенства имеем

= Ln

i ö

= ln

+ i (arctg 3 + 2k p) ,

è 2

так как

x2 + y2

æ 1 ö2

+ æ

ö2 =

, tg arg w =

= 3 .

2 ø

Из второго равенства имеем

æ 1

, так как

= Ln ç

÷ = -

ln 2 + i ç

+ 2kp÷

x2 + y2 =

æ 1 ö2

æ-

ö2

, tg arg w =

= -1.

2 ø

e z - e- z

e z + e- z

в)

sh z + ch z = 1 . Так как sh z =

, ch z =

, то

данное

уравнение

можно

представить

	ez - e-z	+	ez + e-z	=1 или, после преобразований, ez =1 . Таким
2
		2
образом, наше				уравнение сводится к задаче«б». А именно,

z = ln1 + i (0 + 2kp) = 2kpi .

г)

sh 2 z + ch 2 z = 1 . Аналогично пункту

«в»

подставля-

ем

уравнение

значения sh z

ch z .

Получим

- e

- z ö2

+ e

-z ö2

+ ç

÷ =1 . После раскрытия скобок и преоб-

разований

e2 z + e-2 z

= 2 . Умножим

обе части

равенства на

e -2 z . Получим уравнение e4z - 2e2 z +1 = 0 , откуда e2 z =1 . Тогда 2z = Ln (1) = ln 1 + i (2kp) = i2kp . Окончательно имеем z = pki .

Задача 5. Восстановить аналитическую функцию по данной действительной или мнимой части ее.

а)	Re f (z )= ex (x cos y - y sin y ), f 0( =) 0 ,
б)	Im f (z )= ex (y cos y + (x -1)sin y ), f (0 )=1.

Р е ш е н и е. При решении данной задачи используется то обстоятельство, что для аналитической функции должны выполняться условия Коши–Римана (18).

а)

u = Re f (z )= ex (x cos y - y sin y ), f

=) 0 . Дифференцируя

u по x , получим

¶u

= ex

((

x +1 cos y - y sin y

)

¶v

. Тогда, интегри-

¶x

)

¶y

руя, приходим к выражению

v =

((

x +1 cos y - y sin y

)

dy + g

(

x = ex

(

x sin y + y cos y

)

+ g

)

( , )

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022239.58 Кб4Учебное пособие 37.pdf
#
30.04.2022392.25 Кб14Учебное пособие 370.pdf
#
30.04.2022393.09 Кб6Учебное пособие 371.pdf
#
30.04.2022393.48 Кб3Учебное пособие 372.pdf
#
30.04.2022393.91 Кб1Учебное пособие 373.pdf
#
30.04.2022394.09 Кб1Учебное пособие 374.pdf
#
30.04.2022394.69 Кб3Учебное пособие 375.pdf
#
30.04.2022394.95 Кб2Учебное пособие 376.pdf
#
30.04.2022395.17 Кб3Учебное пособие 377.pdf
#
30.04.2022395.3 Кб4Учебное пособие 378.pdf
#
30.04.2022395.36 Кб4Учебное пособие 379.pdf