Учебное пособие 323

Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»

Кафедра высшей математики

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

методические указания для выполнения контрольной работы №1 для студентов 2-го курса заочного факультета,

обучающихся по направлению подготовки бакалавров «Экономика»

Воронеж 2013

УДК 517.8 ББК 22.17

Составители:

М.Д. Гончаров, А.М. Дементьева, В.В. Горяйнов

Теория вероятностей: методические указания для выполнения контрольной работы №1 для студ. 2-го курса ЗФ, обуч. по направ. подготовки бакалавров «Экономика» / Воронежский ГАСУ; сост.: М.Д. Гончаров, А.М. Дементьева, В.В. Горяйнов. – Воронеж, 2013. –32 с.

Методические указания содержат краткие сведения по теории вероятностей и рекомендации по решению задач, входящих в контрольную работу, программу и задания для контрольной работы по разделу «Теория вероятностей» курса «Теория вероятностей и математическая статистика». Даны ссылки на литературу, которой можно пользоваться при подготовке к экзамену и выполнении контрольной работы.

Предназначены для студентов 2-го курса заочного факультета Воронежского ГАСУ, обучающихся по направлению подготовки бакалавров «Экономика».

Библиогр.:6 назв.

УДК 517.8 ББК 22.17

Печатается по решению редакционно–издательского совета Воронежского ГАСУ

Рецензент – Е.И. Макаров, доктор экономических наук, профессор кафедры экономики и основ предпринимательства Воронежского ГАСУ

2

ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Без преувеличения можно сказать, что нас окружает во многом случайный мир. Родится мальчик или девочка, окажется данное изделие стандартным или бракованным, совпадут ли номера в лотерее, иначе говоря, произойдет некоторое событие или нет – все это является делом случая. В то же время у человека со школьной скамьи складывается убеждение, что все в мире происходит по однозначным, строгим законам и поэтому кажется, что там, где имеет место случай, нам просто пока не хватает данных и знаний, чтобы объяснить, почему произошло именно это событие, а не другое. Оказалось, что это не так. В микромире, как это следует из законов квантовой механики, все устроено случайным образом; например, нельзя достоверно утверждать, расположен электрон в данной области пространства или нет, а можно говорить только о шансах его нахождения там. Раздел математики, разработанный для событий, которые не могут быть строго или точно предсказаны, называется теорией вероятностей.

По теории вероятностей студенту предлагается выполнить контрольную работу, состоящую из пяти задач. С одной стороны, для их решения не требуется значительных знаний из предшествовавших разделов математики, с другой стороны, существенной трудностью является то, что желательно проникнуться качественно новым, вероятностным взглядом на окружающий нас мир.

ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Данная контрольная работа является первой из двух работ, выполняемых студентами по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика». Контрольная работа должна быть выполнена и зачтена для получения допуска к экзамену. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. Условия задач следует переписывать полностью. Оформление должно быть аккуратным, записи четкими, а решение должно сопровождаться подробными пояснениями с необходимыми ссылками на теорию.

Приступать к выполнению контрольной работы можно лишь после изучения необходимого теоретического материала и разбора решения аналогичных задач, используя рекомендации, приведенные в методических указаниях.

В контрольной работе студент выполняет вариант, номер которого совпадает с последней цифрой шифра его зачетной книжки. Если этой цифрой является ноль, то следует выполнять десятый вариант.

ВОПРОСЫ ПРОГРАММЫ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №1

Раздел 1. Случайные события

1. Случайные, достоверные и невозможные события. Примеры. Частота появления события в п опытах. Свойство устойчивости частоты. Статистиче-

3

ское определение вероятности. Несовместные события. Полная группа событий. Противоположное событие.

2.Элементарные и равновероятные события (исходы опыта). Классическое определение вероятности. Примеры.

3.Геометрическое определение вероятности. Примеры.

3.Элементы комбинаторики: размещения, перестановки и сочетания.

4.Сумма и произведение событий. Формулы вычисления вероятности суммы событий. Примеры. Вероятность противоположного события.

5.Условная вероятность события. Независимые события. Формулы вычисления вероятности произведения событий. Примеры.

6.Полная группа несовместных событий. Примеры. Формула полной вероятности.

7.Повторение независимых опытов (испытания Бернулли). Формула Бер-

нулли вычисления вероятности Pn (k ) появления события А в n испытаниях

ровно k раз.

9. Вычисление Pn (k ) в случае большого числа испытаний. Локальная и интегральная формулы Лапласа. Формула Пуассона.

Литература: [1, гл. XX. §§1-6], [2, гл. 1-4, 5 §§ 1,2,3], [3, гл. 1, гл. 2, гл. 3 §§1.2], [4, §§1-4], [5, лекции 1-3], [6].

Раздел 2. Случайные величины

1. Понятие случайной величины. Примеры. Дискретная случайная величина и ее закон распределения.

2. Математическое ожидание M (X ) дискретной случайной величины X. 3. Дисперсия D (X ) дискретной случайной величины X и формулы для ее вычисления. Среднее квадратическое отклонение σ (X ) случайной величины X.

4. Независимые случайные величины. Сумма и произведение случайных величин. Примеры.

5. Свойства математического ожидания и дисперсии.

6. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Вычисление вероятности попадания значений случайной величины в интервал [α; β).

7 Функция распределения и функция плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины. Их свойства. Вычисление вероятности попадания значений непрерывной случайной величины в (α; β) или [α; β].

8. Формулы для вычисления M (X ), D (X ), σ (X ) для непрерывной случайной величины.

9.Биномиальное распределение и его числовые характеристики.

10.Распределение Пуассона и его числовые характеристики.

11.Равномерное распределение и его числовые характеристики.

12.Нормальное распределение и его числовые характеристики. Вероят-

4

ность попадания значений в заданный интервал и ее вычисление с помощью таблиц функции Лапласа Φ(x). Правило трех сигма.

Литература: [1, гл. XX, §§7, 9-17, 20], [2, гл. 6 §§ 1-5, гл. 7 §§ 1-4. гл. 8 §§ 1-5,7, гл. 10, гл. 12 §§1-8 ], [3, гл. 4, §§1, 3, гл. 6 §§1-5], [4, гл. V, §§5, 6, 8, 9, 11], [5, лекции 4-7], [6].

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: в 2 т. /

Н.С. Пискунов. – М.: ИНТЕГРАЛ–ПРЕСС, 2002. – Т. 2. – 544 с.

2.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е.

Гмурман. – М.: Высшая школа, 2003. – 479 с.

3.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2003. – 405 с

4.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. / П.Е.

Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова.– М.: Издательский дом «ОНИКС 21

Век»: Мир и Образование, 2003. – Ч.2.– 416 с.

5.Алейников С.М. Элементы теории вероятностей и математической статистики: курс лекций / С.М. Алейников, А.М. Дементьева; Воронеж. гос. арх.– строит. ун–т. – Воронеж, 2002. – 84 с.

6.Теория вероятностей: Методические указания и контрольные задания к типовому расчету № 8 по курсу математики для студ. 2-го курса / Воронежский гос. арх.-строит. ун.-т; Составители: Л.В. Акчурина, А.Б. Кущев, Е.И. Ханкин –

Воронеж, 2010. – 46 с.

Указания по обращению к рекомендуемой литературе даны в тексте программы. Номер источников из приведенного выше списка пишут в квадратных скобках. Например, [2, гл. 1-4, 5 §§ 1,2,3] обозначает учебник Гмурман В.Е. «Теория вероятностей и математическая статистика» главы 1-4 и глава 5, §§ 1,2,3.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Элементы комбинаторики

Напомним основные формулы комбинаторики и решим несколько примеров на эту тему.

Пример 1. Сколькими способами можно выбрать старосту, физорга и профорга из группы в 25 человек?

5

Решение. Пусть сначала мы выбираем старосту, что дает 25 вариантов. При выборе физорга остается 24 возможности, причем каждой кандидатуре старосты соответствуют эти 24 варианта. Поэтому старосту и физорга можно выбрать 25 24 способами. Аналогично при выборе профорга для каждого из предшествующих 25 24 вариантов имеется 23 возможности. Следовательно, трех человек из 25 на три разные должности можно выбрать 25 24 23 =138000 способами.

Обобщим только что решенную задачу. Легко видеть, что k различных предметов из n штук в случае, когда порядок выбора важен, можно выбрать n(n −1) ... (n − k +1) способами.

Число

называется числом размещений из n по k . (Отметим, что в предыдущем примере n = 25 и k = 3). Этим числом выражается также количество вариантов, сколькими можно расставить k различных предметов, имея n мест (1 ≤ k ≤ n). В частном случае, когда k = n , получается число перестановок

Пример 2. Сколькими способами можно рассадить 26 студентовзаочников в аудитории, в которой стоят 13 парт?

Решение. Так как за каждой партой сидят два человека, то всего у нас 26 мест, то есть столько же, сколько и студентов. Следовательно, количество раз-

личных вариантов по формуле (2) равноP26 = 26! ≈ 4 1026 .

Это число настолько огромно, что если бы вы пересаживались каждую секунду, то, чтобы перебрать все варианты, вам бы понадобилось 12,8 1018 лет, то есть почти в миллиард раз больше времени существования нашей Вселенной.

Теперь рассмотрим, сколькими способами можно выбрать k различных предметов из n , если порядок выбора несущественен. Каждый способ называется сочетанием из k предметов. Число всех сочетаний из n по k и равно

Действительно, если выбрать k предметов из n (неважно в каком порядке, что и дает Сnk вариантов), а затем начать переставлять их в каждом варианте (что дает Pk перестановок), то получатся все возможные размещения, то есть Ank = Сnk Pk , откуда и следует (3). Часто формулу (3) пишут (домножив и разде-

6

лив на (n − k)!) в форме

Пример 3. Сколькими способами можно из группы в 25 человек выбрать трех делегатов на конференцию?

Решение. Так как порядок выбора не существенен, то это количество будет равно числу сочетаний из 25 по 3:

С3 = 25 24 23 =100 23 = 2300 . 25 1 2 3

Замечание 1. Число сочетаний Сnk дает для множества из n элементов количество его подмножеств, содержащих k элементов. В частности, при k = 0 получается только одно пустое подмножество, то есть Сn0 =1. В то же время по

формуле (3′) Сn0 = 0!nn! ! , поэтому по определению считают 0!=1.

Замечание 2. Формула бинома Ньютона имеет вид:

k =0

поэтому коэффициенты Сnk также называют биномиальными. Из формулы (3′) следует полезное для практики свойство биномиальных коэффициентов:

Сnk = Сnn−k .

Например:

С3028 = С302 = 301 229 = 435.

Классическое определение вероятности

Основная идея теории вероятностей состоит в том, что каждому случайному событию А ставится в соответствие неотрицательное число P( A)

(0 ≤ P ≤1) , которое отражает шансы наступления события А, называемое веро-

ятностью события А.

Классическое определение вероятности: вероятностью события А назы-

вается отношение числа m благоприятных этому событию элементарных исхо-

7

дов опыта к общему числу n всех равновозможных элементарных исходов:

Невозможному событию (которое никогда не происходит в данном опыте) соответствует вероятность P = 0 (так как m = 0 ), а достоверному (которое всегда происходит) – P =1(так как m = n ).

Пример 4. Студент идет сдавать экзамен, зная 18 вопросов из 25. Какова вероятность вытянуть счастливый билет (в котором все вопросы известны), если в билете 2 вопроса?

Решение. Когда преподаватель составляет билет, он выбирает по 2 вопроса из 25, причем порядок, в котором написаны вопросы, не существенен.

Следовательно, общее число исходов n = С252 .

Чтобы произошло событие А – достался счастливый билет, нужно, чтобы оба вопроса из 18 были известны студенту, то есть количество благоприятных

исходов m = С182 . По формуле (6)

Ответ: P(A) =0,51.

Как вы думаете, уменьшится вероятность P( A) или нет, если в билете 3 вопроса?

Вероятность суммы и произведения событий

Вводятся следующие операции над событиями:

Сумма событий A+B – событие, происходящее когда появляется или событие А или событие В, или оба вместе. Например, стреляют два стрелка, событие А – первый стрелок попал в мишень, событие В – второй стрелок попал в мишень. Тогда A+B – хотя бы одно попадание в мишень.

Произведение событий АВ – событие, происходящее когда появляется и событие А и событие В. В случае, когда стреляют два стрелка по одной мишени, АВ – оба попали.

Для суммы произвольных событий доказывается формула

Если события А и В несовместны, то есть не могут происходить одновре-

8

менно, то АВ – невозможное событие, P( AB) = 0 и формула (7) превращается в более простую:

Если в результате опыта обязательно происходит одно из двух несовместных событий, то эти события называют противоположными.

Событие, противоположное событию А, обозначают через A . Например,

если событие А – стрелок попал в мишень, то A - не попал в мишень.

Так как события A и A несовместны, а их сумма A + A есть достоверное

События А и В называют независимыми, если вероятность любого из них не зависит от появления другого.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей их событий:

События А и В зависимы, если вероятность события В зависит от того, произошло событие А или нет, и наоборот. В этом случае вводят условную вероятность PA (B) наступления события В при условии, что событие А про-

изошло. Тогда

Формулы (8), (10) легко обобщаются в случае трех (или большего) количества событий.

Пример 5. Вероятность отказа насоса на атомной станции P = 0,01. Какова вероятность аварии из-за насосной системы, если кроме основного поставить параллельно один запасной насос?

Решение. Пусть событие А заключается в том, что отказал основной насос, а В - отказал запасной насос. Тогда событие С – произошла авария – заключается в том, что оба насоса отказали, то есть С=АВ и по формуле (10).

P(C) = P( AB) = P( A) P(B) = 0,01 0,01 = 0,0001.

Ответ: дублирование насоса приводит к уменьшению вероятности ава-

рии до 0,0001.

Найдите вероятность аварии, если ставятся два запасных насоса.

Приведем второй способ решения примера 4.

Введем события: А – первый вопрос билета известен, В второй вопрос из-

9

вестен. Нас интересует событие АВ – и первый вопрос известен, и второй. Найдем P( AB) по формуле (11). Так как студент знает 18 вопросов из 25, то

P( A) = m1 = 18 . Вероятность P(B) зависит от того, будет ли первый вопрос из- n1 25

вестен (если да, то количество благоприятных исходов для В – 17, если нет – то (18). Для того чтобы по формуле (6) найти PA (B) , отметим, что общее число

Замечание 3. Для эффективного решения задач при переводе словесного описания событий на язык алгебры событий полезно помнить, что союзу «и» соответствует произведение АВ, союзу «или» сумма А+В, частице «не» - проти-

воположное событие A .

Пример 6. По цели залпом стреляют два орудия. Вероятность попадания в цель первым орудием P1 = 0,6 ; вторым - P2 = 0,7 . Найти вероятность пораже-

ния цели, которое происходит в случае хотя бы одного попадания снаряда в цель.

Решение. Введем события: А – первое орудие поразило цель, В – второе орудие поразило цель. По условию P(A) = 0.6 ; P(B) = 0,7 . Хотя бы одно попа-

дание в цель складывается из следующих случаев: первый снаряд попал, или второй снаряд попал, или оба вместе попали, поэтому - это сумма событий А+В. По формулам (7) и (10), учитывая, что А и В независимые, получим

P( A + B) = P( A) + P(B) − P( AB) = 0,6 +0,7 −0,6 0,7 =1,3 −0, 42 = 0,88 .

Ответ: вероятность поражение цели 0,88.

Этот пример хорошо обосновывает выгодность батарейной стрельбы.

Пример 7. Стреляют одновременно три стрелка по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком – 0,9; вторым – 0,8 и третьим – 0,5. Найти вероятности следующих событий: а) А – все три стрелка попали в мишень;

б) В – никто не попал; в) С – хотя бы один попал; г) D – только одно попадание; д) Е – ровно два попадания.

Решение. Рассмотрим события:

A1 - первый стрелок попал, P(A1 ) = 0,9; P( A1 ) =1 − P( A1 ) =1 −0,9 = 0.1

10