Учебное пособие 323
.pdf
0 4
F (x)= x
16
1
Так как f (x)= F′(x), то
0 3 f (x)= x
40
при |
x ≤ 0, |
при |
0 < x ≤ 2, |
при |
x > 2. |
при |
x ≤ 0, |
при |
0 < x ≤ 2, |
при |
x > 2. |
2). Построим графики функций F (x)и f (x) (рис. 4 и рис. 5).
F(x)
F(x) =1
1
|
F(x) = |
|
x4 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
F(x) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
||||
Рис. 4. Функция распределения F (x) непрерывной случайной величины X
f (x) 2
|
f (x) = |
x3 |
|
||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = 0 |
|
|
|
|
f (x) = 0 |
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|||
Рис. 5. Функция плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины X
21
3). Просчитаем по формулам (19′), ( 21′), (22) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
∞ |
2 |
x3 |
|
1 |
2 |
4 |
|
1 |
|
x5 |
|
2 |
25 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
M (X )= ∫ |
x f (x)dx = ∫x |
|
dx = |
|
∫x |
dx = |
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
. |
|
4 |
4 |
4 |
5 |
22 5 |
5 |
||||||||||||
−∞ |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отметим, что функция f (x) отлична от нуля на конечном промежутке
0 < x ≤ 2, поэтому от интеграла по всей оси останется только интеграл от нуля до двух. Аналогично
M (X 2 )= ∞∫ x2 f (x)dx = ∫2 x2 |
x3 |
dx = |
|
1 |
|
∫2 x5dx = |
1 |
|
|
x6 |
|
|
|
|
2 |
= |
|
|
1 26 |
= |
|
8 |
; |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
0 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
4 6 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
D (X )= M (X |
2 |
)−(M (X )) |
2 |
|
|
8 |
|
|
8 |
|
|
8 |
|
|
|
64 |
|
|
|
|
200 −192 |
|
8 |
|
|
; |
||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
− |
|
|
= |
|
|
|
− |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
3 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
3 |
25 |
|
|
75 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
σ (X )= |
|
8 |
|
≈ 0,33 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4). По формуле ( |
′` |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P(0 < X <1)= ∫1 |
f (x)dx = ∫1 |
x3 |
dx = |
x4 |
|
|
1 |
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
4 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отметим, что эту вероятность можно было найти по формуле (23).
Нормальный закон распределения
На практике приходится сталкиваться с различными распределениями случайных величин. Наиболее часто непрерывные случайные величины имеют нормальный закон распределения, который задается функцией плотности
|
|
f (x)= |
|
1 |
e− |
(x−a)2 |
|
(25) |
||
|
|
|
2σ2 |
, |
|
|||||
σ |
2π |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
′ |
), параметры a и σ |
|
где множитель 2π гарантирует выполнение условия (17 |
||||||||||
|
||||||||||
– числовые характеристики величины X : M (X )= a , σ (X )=σ , D(X )=σ2 .
22
Графиком функции плотности (25) при a = 0 и σ =1 является кривая Гаусса. При произвольных a и σ график f (x) получен из этой кривой сжатием
по оси Oy в σ раз, растяжением в σ раз и сдвигом на a по оси Ox (рис. 6)
Рис. 6. Функция плотности нормального закона распределения
Точкой максимума этой кривой является x = a . Чем меньше будет σ , тем больше будет максимальное значение функции плотности. В тоже время график будет быстрее прижиматься к оси Ox , так как площадь под всей кривой, в силу (17′), равна 1. Значение двух параметров a, σ дает полную информацию
о данном нормальном законе распределения. В частности, можно подсчитать вероятность попадания значений X в данный интервал (α, β), используя фор-
23
мулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β − a |
|
|
|
|
α − a |
, |
(26) |
|||
P(α < X < β)= Φ |
σ |
|
−Φ |
σ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где функция Φ(x) есть функция Лапласа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
Φ(x)= |
|
∫e− |
|
dz . |
|
|
|
|
(27) |
||
|
2 |
|
|
|
|
||||||
2π |
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отметим, что функция распределения F (x) |
связана с Φ(x) |
простым со- |
|||||||||
отношением:
F (x)= Φ x − a + 0,5.σ
Для случайной величины, распределенной по нормальному закону, можно практически достоверно утверждать, что ее значения отклоняются по модулю от математического ожидания не более чем на три средних квадратических отклонения (рис. 7). Это правило называется – «правилом трех сигм».
Рис. 7. Правило трех сигм
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
ВАРИАНТ 1
1.Ребенок играет с 33 карточками разрезной азбуки, на которых написаны разные буквы русского алфавита. Какова вероятность, что из наугад сложенных в ряд четырех карточек получится слово «небо»?
2.Всхожесть семян некоторого злака составляет 80%. Найти вероятность того, что из посеянных 1000 семян взойдет:
а) ровно 780 семян б) от 780 до 840 семян.
24
3. Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же цели.
Вероятность |
попадания в цель для них соответственно равна |
p1 = 0,7; p2 |
= 0,9 ; p3 = 0,4. Составить закон распределения числа попаданий. |
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий.
4. Случайная величина X задана функцией распределения
|
|
|
|
0, |
x ≤1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
(x |
2 |
− x), |
|
|
F (x)= |
|
|
1 < x ≤ 2; |
||
2 |
|
||||
|
|
|
1, |
x > 2. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Построить график функции F (x). Найти функцию плотности вероятно- |
|||||
сти f (x) и построить ее график. |
Найти математическое ожидание и среднее |
||||
квадратическое отклонение случайной величины. Найти вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал (1; 1,8).
5. На станке изготавливаются детали, длина которых представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием a = 50 и средним квадратическим отклонением σ = 0,2 . Записать функцию плотности данного нормального распределения и построить ее график. Найти вероятность того, что длина детали попадает в интервал (48, 2; 50,4).
ВАРИАНТ 2
1.Бросаются два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма очков на них окажется равной 8?
2.Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность безотказной работы каждого из них равна 0,9 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность того, что безотказно будут работать:
а) 920 элементов, б) не менее 920 элементов?
3.Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же цели.
Вероятность |
попадания в цель для них соответственно равна |
p1 = 0,8 ; p2 |
= 0,5; p3 = 0,5. Составить закон распределения числа попаданий. |
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий.
4. Случайная величина X задана функцией распределения
0, |
x ≤ 0; |
|
|
F (x)= x3 , 0 < x ≤1; |
|
|
x >1. |
1, |
|
Построить график функции F (x). Найти функцию плотности вероятно-
25
сти f (x) и построить ее график. Найти математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение случайной величины. Найти вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал (0,2; 0,28).
5. На станке изготавливаются детали, длина которых представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием a =100 и средним квадратическим отклонением σ = 0,3. Записать функцию плотности данного нормального распределения и построить ее график. Найти вероятность того, что длина детали попадает в интервал (91,2; 100,5).
ВАРИАНТ 3
1.Студент идет на экзамен, выучив 25 вопросов из 37. Какова вероятность вытянуть счастливый билет, в котором все три вопроса известны?
2.Вероятность удовлетворить стандарту для каждой из 400 изготовленных деталей равна 0,85. Какова вероятность того, что окажется:
а) ровно 350 стандартных деталей, б) не менее 350, но не более 395 стандартных деталей?
3.Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же цели.
Вероятность |
попадания в цель для них соответственно равна |
p1 = 0,6; p2 |
= 0,7; p3 = 0,3. Составить закон распределения числа попаданий. |
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий.
4. Случайная величина X задана функцией распределения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
x |
≤ 0; |
|
|
||||
|
1 |
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
F (x)= 3x |
|
+ 2x, 0 |
< x ≤ |
|
; |
||||
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1, |
x |
> |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Построить график функции F (x). Найти функцию плотности вероятности f (x) и построить ее график. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Найти вероятность попадания
|
1 |
|
2 |
|
случайной величины X в заданный интервал |
|
; |
|
. |
|
9 |
|||
12 |
|
|
||
5. На станке изготавливаются детали, длина которых представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием a = 76 и средним квадратическим отклонением σ = 0,3. Записать функцию плотности данного нормального распределения и построить ее график. Найти вероятность того, что длина детали попадает в интервал (75,5; 76,4).
26
ВАРИАНТ 4
1.Человек забыл две последние цифры телефона, но помнит, что среди них есть цифра пять. Опустив в автомат единственный жетон , он пытается наугад дозвониться. Какова вероятность набрать правильный номер?
2.По данным проверки качества выпускаемых напильников пригодные составляют в среднем 93%. Определить вероятность того, что в партии из 5000 напильников число годных будет:
а) ровно 4600, б) не менее 4600.
3.Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же цели.
Вероятность |
попадания |
в цель для них соответственно равна |
p1 = 0,5; p2 |
= 0,8; p3 = 0,3. |
Составить закон распределения числа попаданий. |
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий.
4. Случайная величина X задана функцией распределения
|
0, |
x ≤ 2; |
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
F (x)= |
|
−1, 2 < x ≤ 4; |
||
2 |
||||
|
|
x > 4. |
||
1, |
||||
|
|
|
|
|
Построить график функции F (x). Найти функцию плотности вероятности f (x) и построить ее график. Найти математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение случайной величины. Найти вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал (2,5; 3,6).
5. На станке изготавливаются детали, длина которых представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием a = 50 и средним квадратическим отклонением σ = 0,2 . Записать функцию плотности данного нормального распределения и построить ее график. Найти вероятность того, что длина детали попадает в интервал (48, 2; 50,4).
ВАРИАНТ 5
1.Из шести кубиков с буквами сложено слово «карета». Ребенок перемешивает кубики и снова складывает их в один ряд. Какова вероятность, что получится «ракета»?
2.Вероятность попасть в цель при каждом выстреле одна и та же и равна 0,75. Найти вероятность того, что при 125 выстрелах будет:
а) ровно 85 попаданий, б) не менее 85 и не более 90 попаданий.
3.Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель для них соответственно равна
27
p1 = 0,3; p2 = 0,18; p3 = 0,9. Составить закон распределения числа попаданий.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий.
4. Случайная величина X задана функцией распределения
0, |
x ≤ 0; |
|
|
|
|
F (x)= |
x2 |
, 0 < x ≤ 3; |
|
||
9 |
x > 3. |
|
1, |
||
|
|
|
Построить график функции F (x). Найти функцию плотности вероятности f (x) и построить ее график. Найти математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение случайной величины. Найти вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал (1,5; 2,8).
5. На станке изготавливаются детали, длина которых представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием a = 60 и средним квадратическим отклонением σ = 0,1. Записать функцию плотности данного нормального распределения и построить ее график. Найти вероятность того, что длина детали попадает в интервал (59,6; 60,1).
ВАРИАНТ 6
1.Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет одно и тоже число очков?
2.Из одного пункта в другой перевозятся 1600 бутылок. Вероятность разбиться в пути для каждой бутылки равна 0,18. Какова вероятность того, что при перевозке сохранится:
а) ровно 1300 бутылок, б) от 1300 до 1500 бутылок?
3.Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же цели.
Вероятность попадания |
в цель для них соответственно равна |
p1 = 0,6; p2 = 0,7; p3 = 0,9. |
Составить закон распределения числа попаданий. |
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий.
4. Случайная величина X задана функцией распределения
|
0, |
x |
≤ − |
π |
; |
|
|
2 |
|||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
− |
< x ≤ 0; |
|||
F (x)= cos x, |
2 |
|||||
|
1, |
|
|
|
|
|
|
x > 0. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
Построить график функции F (x). Найти функцию плотности вероятности f (x) и построить ее график. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Найти вероятность попадания
|
− |
π |
; |
− |
π |
случайной величины X в заданный интервал |
3 |
. |
|||
|
|
|
|
4 |
5. На станке изготавливаются детали, длина которых представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием a =84 и средним квадратическим отклонением σ = 0,2 . Записать функцию плотности данного нормального распределения и построить ее график. Найти вероятность того, что длина детали попадает в интервал (83,7; 84,6).
ВАРИАНТ 7
1.Обезьяна нажимает на пишущей машинке три клавиши подряд. Какова вероятность, что будет напечатано слово мир, если имеется всего 61 клавиша?
2.ОТК проверяет детали на стандартность. Для каждой детали вероятность быть стандартной равна 0,86. Какова вероятность того, что в партии из 144деталей:
а) ровно 120 окажутся стандартными, б) не менее 120 окажутся стандартными?
3.Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же цели.
Вероятность попадания |
в цель для |
них соответственно равна |
p1 = 0,8; p2 = 0, 4; p3 = 0,7. |
Составить закон |
распределения числа попаданий. |
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий.
4. Случайная величина X задана функцией распределения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
x ≤ −1; |
|
|
|||
|
|
3 |
|
1 |
|
|||||
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
F (x)= |
|
x + |
|
, |
−1 < x ≤ |
|
; |
|||
4 |
4 |
3 |
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
1, |
|
|
x > |
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Построить график функции F (x). Найти функцию плотности вероятности f (x) и построить ее график. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Найти вероятность попадания
|
|
1 |
|
|
случайной величины |
X в заданный интервал |
|
; 0 |
. |
|
||||
|
3 |
|
|
|
5. На станке изготавливаются детали, длина которых представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием a = 95 и средним квадратическим отклонением σ = 0,3. Записать функцию
29
плотности данного нормального распределения и построить ее график. Найти вероятность того, что длина детали попадает в интервал (94,6; 95,7).
ВАРИАНТ 8
1.Какова вероятность того, что при бросании двух кубиков произведение двух выпавших на них очков равно 12?
2.Имеется партия электрических лампочек в количестве 300 штук. Вероятность проработать менее месяца для каждой лампочки равна 0,25 . Какова вероятность того, что:
а) 240 лампочек проработают больше месяца, б) от 240 до 270 лампочек проработают больше месяца?
3.Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же цели.
Вероятность попадания |
в цель для |
них соответственно равна |
p1 = 0,3; p2 = 0,6; p3 = 0,9. |
Составить закон |
распределения числа попаданий. |
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий.
4. Случайная величина X задана функцией распределения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
x ≤ 0; |
|
|
||
|
|
π |
|
||||
F (x)= |
|
|
0 < x ≤ |
; |
|||
2sin x, |
6 |
||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
1, |
x > |
. |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Построить график функции F (x). Найти функцию плотности вероятно- |
|||||||
сти f (x) и построить ее график. |
Найти математическое ожидание и среднее |
||||||
квадратическое отклонение случайной величины. Найти вероятность попадания
|
|
π |
|
π |
|
случайной величины X в заданный интервал |
|
|
; |
. |
|
18 |
|||||
|
|
9 |
|||
5. На станке изготавливаются детали, длина которых представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием a = 72 и средним квадратическим отклонением σ = 0, 2 . Записать функцию плотности данного нормального распределения и построить ее график. Найти вероятность того, что длина детали попадает в интервал (71,9; 72,8).
ВАРИАНТ 9
1.Игрок в «Спортлото» зачеркивает 5 чисел из 36. При розыгрыше вынимают пять шаров из 36 с различными номерами от 1 до 36. Найти вероятность угадать все номера.
2.Вероятность для каждого из данных 100 спортсменов выполнить норму
30