Учебное пособие 206

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

Кафедра «Высшая математика и физико-математическое моделирование»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по организации учебного процесса изучения дисциплины «Математический анализ»

для студентов специальности 090302.65 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем»

очной формы обучения Часть 2

Воронеж 2015

Составитель: канд. физ.-мат. наук Е.Н. Провоторова

УДК 517.9

Методические указания по организации учебного процесса изучения дисциплины «Математический анализ» для студентов специальности 090302.65 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем» очной формы обучения.Ч. 2 / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост.: Е.Н. Провоторова.

Воронеж, 2014. 22 с.

Методические указания представляют собой единое руководство по организации изучения студентами дисциплины «Математический анализ» в первом семестре, составленное в соответствии с учебными планами специальности 090302.65 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем».

Издание подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе Microsoft Word 2003 и содержится в файле

2бт.doc.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. А.Н. Шелковой

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2014

ВВЕДЕНИЕ

Математика является не только средством решения прикладных задач, но и общепринятым универсальным языком науки, базисным элементом общей и профессиональной культуры современного специалиста. Изучение математического анализа должно приводить, в результате, к формированию у студента целостного представления о месте и роли математики в современном мире, о ее внутренней структуре, о взаимосвязях ее разделов, моделей и методов, о ее возможностях при решении конкретных прикладных задач

Настоящая методическая разработка дает целостную картину процесса изучения курса и будет, несомненно, нужной и полезной для творческого усвоения материала студентами.

Структура указания следующая: объем отдельных видов учебных занятий, вид итогового контроля, содержание дисциплины; перечень контрольных мероприятий, рекомендуемая литература, образцы контрольных работ, теоретические вопросы и образцы задач для подготовки к коллоквиумам, зачетам и экзаменам.

Объем отдельных видов занятий определяется учебными планами специальности 090302.65 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем».

Лекции и практические занятия, относятся к аудиторным видам занятий, которые планируются в расписании занятий, вся остальная самостоятельная работа предполагает внеаудиторную работу студента.

Программа определяет основное содержание тем и разделов дисциплин, подлежащих изучению. В основном материал программы излагается на лекциях, некоторые разделы предлагаются для самостоятельного изучения и определяются в п. 3.

В п. 5 определены виды контрольных мероприятий и сроки их проведения. Наряду с традиционными текущими

заданиями, студенты в течение каждого семестра выполняют типовые расчеты. Каждый типовой расчет содержит теоретические вопросы, теоретические упражнения, расчетную часть – типовые задачи и задачи прикладного характера.

Теоретические вопросы и теоретические упражнения являются общими для студентов, задачи – для каждого студента группы индивидуальные. Номер варианта, выполняемого студентом, соответствует его порядковому номеру в списке группы и сообщается преподавателем студенту.

Теоретические упражнения и расчетные задания выполняются в отдельной тетради и проверяются преподавателем. Завершающим этапом является защита типового расчета. Во время защиты студент должен уметь правильно ответить на теоретические вопросы, пояснить решения теоретических упражнений и задач, решить задачи аналогичного типа.

2. Цели и задачи дисциплины

Учебная дисциплина «Математический анализ» реализует требования федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки (специальности) 090302.65 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем».

Цель дисциплины – ознакомить обучаемых с основными понятиями и методами математического анализа, создать теоретическую и практическую базу подготовки специалистов к деятельности, связанной с проектированием, разработкой и применением электронной аппаратуры для обеспечения безопасности автоматизированных систем.

Задача дисциплины – привить обучаемым навыки использования рассматриваемого математического аппарата в профессиональной деятельности и воспитать у обучаемых высокую культуру мышления, т.е. строгость, последовательность, непротиворечивость и основательность в суждениях,

2

в том числе и в повседневной жизни.

Учебная дисциплина «Математический анализ» является составной частью профессионального образования по направлению подготовки (специальности) 090302.65 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем».

3.Место дисциплины в структуре ООП

«Математический анализ» входит в математический и естественнонаучный цикл (базовая часть) и относится к числу фундаментальных математических дисциплин, поскольку служит основой для изучения учебных дисциплин как математического и естественнонаучного, так и профессионального цикла.

Для успешного усвоения данной дисциплины необходимо, чтобы обучаемый владел знаниями, умениями и навыками, сформированными в процессе изучения математики в средней школе, а также дисциплины «Алгебра и геометрия».

Знания, полученные обучаемыми по дисциплине «Математический анализ», непосредственно используются при изучении дисциплин базового цикла:

«Физика»; «Теория вероятностей и математическая статисти-

ка»;

«Теория информации».

Учебная дисциплина «Математический анализ» составит основу и для циклов дисциплин специализаций.

4. Требования к результатам освоения дисциплины

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:

3

способность логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь на русском языке, готовить и редактировать тексты профессионального назначения, публично представлять собственные и известные научные результаты, вести дискуссии (ОК-7);

способность к логически-правильному мышлению, обобщению, анализу, критическому осмыслению информации, систематизации, прогнозированию, постановке исследовательских задач и выбору путей их решения на основании принципов научного познания (ОК-9);

способность самостоятельно применять методы и средства познания, обучения и самоконтроля для приобретения новых знаний и умений, в том числе в новых областях, непосредственно не связанных со сферой деятельности, развития социальных и профессиональных компетенций, изменения вида своей профессиональной деятельности (ОК-10);

способность выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, и применять соответствующий физико-математи- ческий аппарат для их формализации, анализа и выработки решения (ПК-1);

способность применять математический аппарат, в том числе с использованием вычислительной техники, для решения профессиональных задач (ПК-2);

способность применять современные методы исследования с использованием компьютерных технологий (ПК10);

В результате изучения дисциплины обучаемый дол-

жен:

Знать:

основные положения теории пределов и непрерывных функций, теории числовых и функциональных рядов,

основные теоремы дифференциального и интегрального исчисления функций одной и нескольких переменных.

4

основные понятия теории функций комплексной переменной;

основные методы решения простейших дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений;

Уметь:

троить и изучать математические модели конкретных явлений и процессов для решения расчётных и исследовательских задач;

определять возможности применения теоретических положений и методов математических дисциплин для постановки и решения конкретных прикладных задач;

решать основные задачи на вычисление пределов функций, дифференцирование и интегрирование, на разложение функций в ряды;

Владеть:

навыками использования стандартных методов и моделей математического анализа и их применения к решению прикладных задач;

навыками решения задач с применением аппарата

теории функций комплексной переменной;

навыками использования стандартных методов ре-

шения типовых дифференциальных уравнений;

навыками пользования библиотеками прикладных

программ для решения прикладных математических задач.

5. Содержание дисциплины

5.1.Наименование тем и виды занятий

б) дополнительная литература:

1.Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа /под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М., 1987. Ч.I и II.

2.Ильин В.А. Основы математического анализа / В.А. Ильин, Э.Г., Позняк М., 1980. Ч.1,2.

3.Данко Л.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / Л.Е. Данко, А.П. Попов М., 1986. Ч. I и II.

4.Шипачев В.С. Высшая математика. М.: «Высшая школа», 2002.

5.Никольский С. М. Курс математического анализа С.М. Никольский. М.: Наука, 1973. Т.1,2.

6.Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа / Г.М. Фихтенгольц . М.: Лань, 2002 г. Т.1.

7.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов.Т.1. М.: Наука, 1985.

8.Кисилев Л.И. и др. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., "Высшая школа", 2001.

9.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

10.Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.:"Ижевск НИЦ ", 2004.

в) методическая литература:

.

1. Методические указания к решению прикладных задач / сост. Е.Г. Глушко, А.П. Дубровская, Е.Н. Провоторова.

2. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты / Л.А. Кузнецов. М., 2005.

3.Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики. Типовые расчеты / В.Ф. Чудесенко. М., 1995.

4.Провоторова Е.Н. «Дифференциальные уравнения первого порядка». Учебное пособие. ВГТУ, магнитный носитель 4,6 изд.листа.18.04.2011.

5. Сборник тестовых заданий по курсу «Математический анализ» для студентов спец. 090102 «Компьютерная безопасность», 090105 « Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем», 230101 «Вычислительные машины комплексы, системы, сети», 220300 «Системы автоматизированного проектирования» очной формы обучения. ВГТУ, 2007.

6. Контрольные мероприятия.

Четкая организация изучения дисциплины «Математический анализ» основана на правильном сочетании аудиторных учебных занятий, продуктивной самостоятельной работе студентов и систематическом контроле, играет основополагающую роль в глубоком математическом образовании современного студента. Исходя из этих принципов, рекомендуются следующие контрольные мероприятия, обеспечивающие систематическую работу студентов и ее контроль в течение семестра и, в совокупности, охватывающие почти весь материал этой дисциплины:

IIсеместр

1.Типовой расчет № 1 «Неопределенные и определенные интегралы» (выдача 3-я неделя, прием 10 неделя).

Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. М.: 1994

2.Контрольная работа № 1 «Неопределенный интеграл» (7-ая неделя).

3.Коллоквиум «Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных » (12-ая неделя).

(выдача 13-ая неделя, прием 15 неделя).

Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. М.: 2007.

6.Прием отчета по самостоятельной работе (17-ая неде-

ля).

7.Экзамен.

7.Рекомендации по самостоятельному изучению разделов курса

Тема 1. Применение определенного интеграла к решению геометрических и физических задач.

1). Зорич В.А. Математический анализ / В.А. Зорич. М.: МЦНМО, 2002. Гл.6, п.4,стр.436.

2). Кудрявцев. Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: 1987. Гл.1, п.3, стр. 32.

3). Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов.Т.1. М.: Наука, 2005. Гл.12, п. 8.

4). Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. М.: 2001. Гл.10. п.1.

Тема 2. Связь между криволинейными интегралами первого

ивторого рода. Геометрические и физические приложения.

1.Кудрявцев. Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: 1989. Гл 5 ,п.44.

3.Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные и квадратичные множители

4.Разложение рациональных дробей на простейшие дроби.

5.Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства интегралов.

6.Интегрирование подстановкой, интегрирование по

частям.

7.Интегрирование простейших дробей. Интегра-

8.Интегрирование рациональных дробей.

9.Интегрирование некоторых классов тригонометрических выражений.

10.Интегрирование некоторых иррациональных функ-

ций.

12.Определенный интеграл: определение, свойства определенного интеграла.

11.Суммы Дарбу. Свойства.

12.Критерий интегрируемости функций.

13.Классы интегрируемых функций.

14.Интеграл с переменным верхним пределом, формула Ньютона–Лейбница

15.Интегрирование по частям, замена переменной в определенном интеграле.

16.Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат, в полярной системе координат и в случае параметрического задания кривой.

17.Вычисление длины дуги кривой декартовой системе координат, в полярной системе координат и в случае параметрического задания кривой.

18.Вычисление объема тела.

19.Несобственные интегралы 1 рода. Признаки сходимости

20.Несобственные интегралы 2 рода. Признаки сходимости

21.Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла. Условия существования.

22.Вычисление, свойства двойного интеграла. Двойные интегралы в полярных координатах. Применение двойных интегралов.

23.Тройные интегралы. Определение. Вычисление, свойства.

24.Цилиндрические и сферические координаты. Применение тройных интегралов.

25.Криволинейные интегралы первого рода. Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла. Определение. Вычисление, свойства.

26.Криволинейные интегралы второго рода. Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла. Определение. Вычисление, свойства. Приложения криволинейных интегралов первого рода.

27.Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

28.Приложения криволинейные интегралы второго рода. Отыскание потенциала векторного поля.

9.Примеры практических заданий для подготовки к коллоквиуму

1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: