Методическое пособие 793

ВЫПУСК № 1 (9), 2017

ISSN 2307-177X

инноваций/ Е.А. Жидко,

Л.Г. Попова

соких технологий. - 2016. - №1(16). -С. 43-45.

//Информация и безопасность.- 2012. -Т.15. -

20.

Жидко Е.А., Кирьянов В.К. Эмпи-

№.4.- С. 471-478.

рические

методы

измерения погрешностей

16. Жидко Е.А. Нейро-нечеткое моде-

при взаимосвязанном развитии внешней и

лирование

информационной

безопасности

внутренней среды хозяйствующих субъек-

объектов защиты //Научный вестник Воро-

тов/Е.А. Жидко, В.К. Кирьянов// Инженер-

нежского

государственного

архитектурно-

ные системы и сооружения. -2013. -№ 4 (13).

строительного университета. Серия: Инфор-

-С. 53-60.

мационные

технологии в

строитель-

21. Сазонова, С.А. Методы обоснова-

ных,социальных и экономических системах.

ния резервов проектируемых гидравличе-

2013. №2. С. 24-27.

ских систем при подключении устройств

17. Воробьев О.Ю. Эвентология /О.Ю.

пожаротушения / С.А. Сазонова // Вестник

Воробьев,Сиб.фед.ун-т.-Красноярск,2007,434с.

Воронежского института ГПС МЧС России.

18. Яндекс: эвентология, лингвистиче-

- 2015. - № 4 (17). - С. 22-26.

ская переменная, функция принадлежности,

22. Зайцев А.М., Заряев А.В., Лукин

функция полезности, эвентологическое мо-

А.Н., Рудаков О.Б. Выход токсичных лету-

делирование, эвентологическое распределе-

чих веществ из отделочных строительных

ние, эвентологическое пространство, эвенто-

матеиалов

на

ранней стадии пожа-

логический скоринг.

ра/Научный вестник Воронежского государ-

19. Сазонова С.А. Управление гидрав-

ственного архитектурно-строительного уни-

лическимим системами при резервировании

верситета. Серия: Физико-химические про-

и обеспечении требуемого уровня надежно-

блемы и высокие технологии строительного

сти // Вестник Воронежского института вы-

материаловедения. 2011. № 3-4. С. 127-133.

УДК 517.165

Воронежский филиал ФГБОУ ВО Российский экономический

Voronezh branch of REU G. V. Plekhanov

университет им. Г.В. Плеханова

Lecturer in mathematics A.I. Glushkov,

Преподаватель математики А. И. Глушков,

Russia, Voronezh, E-mail: glushkov_alex_1965@mail.ru

Россия, г. Воронеж, E-mail: glushkov_alex_1965@mail.ru

Student S.I. Chyornaya,

Student I.S. Gudkova

Студентка СПО C. И. Чёрная, Студентка СПО И. С. Гудкова,

упрощать решение многих сложных задач

затруднение, особенно у учеников средней

математики. Многие традиционные элемен-

школы. В школьном курсе математики дан-

тарные задачи

эффективно решаются с по-

ное

неравенство

обычно

доказывается

для

мощью знаменитого неравенства Коши. В

, а затем оговаривается, что это нера-

школьной

общеобразовательной программе

венство справедливо для произвольного ко-

по математике на данную тему

не отведено

личества чисел.

времени, а в школьных учебниках с углуб-

Приведѐм доказательство, для понима-

лѐнным изучением математики материал по

ния которого потребуется только знание

неравенству Коши излагается недостаточно

производной на уровне школьной програм-

полно. В ВУЗах данная тема не изучается,

мы. Неравенство Коши утверждает, что

так как считается, что неравенство Коши от-

среднее арифметическое

неотрицательных

носится к элементарной математике. Это де-

чисел не меньше их среднего геометрическо-

лает ещѐ

больший разрыв между уровнем

го,

т.

е.,

√

,

где

математических знаний выпускников школы

.

Если

, т.

и требованиями ВУЗов. Неравенство Коши

е., хотя бы одно из чисел

,

используется при решении различных урав-

то неравенство будет верным. Пусть все чис-

нений, неравенств и систем методом оценок,

ла

. Для

доказательства

в задачах

на

нахождение наибольшего и

воспользуемся тем фактом, что сумма мак-

наименьшего значений,

встречается также в

симумов

функций на

заданном

отрезке

тестах ЕГЭ по математике. Решения задач с

,

-

не

меньше

максимума

суммы

этих

использованием неравенства Коши записы-

ваются проще, так как данное неравенство

функций на данном отрезке, то есть

(

)

( )

представляет собой общий метод для реше-

,

-

,

-

ния многих задач математики и, как правило,

,

-

(

)

,

-(

(

)

(

)

даѐт более эффективно решение. Считаем

(

)).

целесообразным изучение неравенства Коши

Действительно,

пусть

( )

включить

в

изучение

такой

темы, как

(

)

(

) достигают своих максимумов

«Наибольшее и наименьшее значение функ-

в точках

, т.е.,

,

-

(

)

ции на промежутке». Во-первых, данная те-

(

)

,

-

(

)

ма изучается как в школьном курсе матема-

(

)

,

-

( )

(

)

.

Нахо-

тики, так и в ВУЗах. Во-вторых,

доказатель-

дим

сумму

максимумов

данных

функций

ство данного неравенства с использованием

,

-

(

)

,

-

( )

дифференциального исчисления

показывает

,

-

(

)

(

)

(

)

общность такого математического аппарата,

(

).

как производная, которая является источни-

Обозначим

сумму заданных

функций

ком получения новых фактов элементарной

через

( )

(

)

(

)

(

) .

математики. В – третьих, при изучении этой

Пусть максимум суммарной функции дости-

темы можно показать прикладную направ-

гается

в

точке

.

Тогда

(

)

ленность неравенства Коши.

,

-

(

)

(

)

(

)

(

)

Существуют различные доказательства

-(

(

)

(

)

(

))

Так

как

неравенства Коши, такие как

индукция

,

вверх и вниз, анализ и множители Лагранжа,

(

)

(

)

(

)

(

)

доказательство Бора, основанное на геомет-

(

)

(

)

,

то

(

)

(

)

рических рассуждениях и т. д. Традиционное

(

)

(

)

(

)

(

)

доказательство

по индукции принадлежит

,

-

(

)

Коши и приводится во многих учебных по-

,

-

(

)

,

-

( )

собиях [2]. Все эти доказательства, за ис-

(

)

,

-(

(

)

(

)

( )) .

ключением метода индукции, могут вызвать

Используя свойство

максимумов

функций,

ВЫПУСК № 1 (9), 2017

ISSN 2307-177X

докажем неравенство Коши. Предварительно

слагаемых нужно разбить данное число, что-

исследуем

на

максимум

функцию

вида

бы

произведение

этих

слагаемых

было

(

)

,

где

наибольшим? Обозначим данное число через

,

а количество слагаемых через .

Чтобы

. (

)

( )

,

если

.

выполнялось условие задачи, т. е., произве-

Так как

( )

при любом значе-

дение слагаемых было наибольшим, данные

слагаемые должны быть равны. Тогда каж-

нии

,

то

есть точка максимума.

дое слагаемое равно

, а произведение этих

Тогда

(

)

(

)

слагаемых

(

) . Выясним, при каком

В

частности,

если

данное

произведение

будет

наибольшим.

Рассмотрим функцию

(

)

(

)

и

то

(

)

) (

)

исследуем,

в

какой

точке

она

принимает

(

наибольшее значение.

.

Рассмотрим

семейство

функций

Обозначим

(

) .

Тогда

Дифференцируя

обе

части

(

)

,

где

.

Каждая функция

семейства имеет минимум

равенства,

получаем

(

)

( )

.

Пусть

Откуда

.

/

(

)

(

)

∑

(

)

∑

(

)

(

)

.

Макси-

(

) .

Находим

критические

точки

функции

( )

(

)

:

(

)

мум

данной функции

(

)

(

)

.

Так

как

(

)

при

и

. Так как сумма максиму-

(

)

при

, то

-

точка мак-

мов

функций на заданном промежутке не

симума.

Наибольшее произведение будет

меньше максимума суммы этих функций на

данном промежутке, имеем неравенство

равно

. Так как

,

то в качестве

Исследуемые 3

в работе системы газо-

деления их вероятностей. Отсюда даже если

снабжения (СГС) есть все основания считать

сигналы – носители информации имеют де-

динамическими системами, поскольку они

терминированный вид, воздействия будут

подвержены в процессе функционирования

случайными. Во-вторых: физические сигна-

многочисленным случайным воздействиям в

лы, (данные, получаемые от контрольно-

виде заявок потребителей на целевой про-

измерительных приборов) всегда случайны

дукт. В рамках теории статистических реше-

из-за наличия многих неучитываемых фак-

ний системы обработки информации, на ос-

торов случайного происхождения. Эти фак-

нове которой осуществляется принятие тех

торы приводят к появлению шумов и помех,

или иных решений называют информацион-

с которыми взаимодействуют полезные сиг-

ными [1].

налы.

Случайность

входных воздействий

Вполне уместно процедуру обработки

свойственна не только самим объектам

информации [4] о состоянии объекта управ-

управления, но и сопутствующим им инфор-

ления рассматривать как функционирование

мационным системам [2, 3], что обусловлено

информационной системы [5]. Разумеется, в

двумя обстоятельствами. Во-первых: сведе-

этом случае создание такой информацион-

ния, закодированные во входных сигналах, в

ной системы должно основываться на спе-

большинстве случаев считаются неизвест-

цифических критериях оптимальности, кото-

ными, поскольку неизвестны законы распре-

рые принято относить к категории информа-

ционных. Среди них обычно используются

ВЫПУСК № 1 (9), 2017

ISSN 2307-177X

мощности шума; энергии сигнала к спек-

Пространство решений может быть как дис-

тральной плотности шума; дисперсию оцен-

кретно, так и непрерывно.

ки какой-либо физической величины, харак-

Проверка гипотезы согласно [1] должна

теризующей состояние объекта управления и

выполняется на основании анализа данных,

т.д. Заметим, что именно последний вариант

поступающих на вход информационной си-

критерия построения информационной си-

стемы, поэтому основным оказывается во-

стемы использовался при решении задачи

прос о том, что представляют собой эти дан-

оценивания и двух последних вопросов диа-

ные. Основной информацией, получаемой от

гностики утечек. То есть оба типа этих задач

объекта управления, может быть только ма-

вполне можно относить к одному классу.

нометрическая съемка. Однако непосред-

Факт обнаружения утечки [6] в СГС с

ственное использование ее результатов не

целью обеспечения безопасности при ее

может рассматриваться в качестве таких

функционировании, также можно рассмат-

данных при обнаружении утечек, поскольку

ривать как одну из функций информацион-

узловые потенциалы являются полезной ин-

ной системы слежения за объектом управле-

формацией только для решения задачи ста-

ния, но очевидно, что последняя принадле-

тического оценивания состояния [8, 9]. По-

жит к другому классу и как следствие требу-

этому предлагается исходными данными для

ет изменения информационного критерия.

информационной системы обнаружения уте-

Выбор

класса информационной системы

чек считать непосредственно результаты ре-

имеет принципиальное значение, поскольку

шения задачи определения их величины и

на нем основана стратегия ее построения.

координаты на основе метода, изложенного в

Для такой системы будем оценивать ее ква-

[10]. Таким образом, программный ком-

лификацию как проверку двухальтернатив-

плекс, обеспечивающий получение указан-

ной гипотезы, поскольку величины несущие

ных данных можно рассматривать в качестве

информацию, имеют дискретное распреде-

"приемника сигналов", то есть информации о

ление вероятностей, которое можно интер-

величине утечки.

претировать как дискретное множество си-

Исключим на данном этапе из рассмот-

туаций принципиально отличающихся друг

рения понятие координаты утечки. Обозна-

от друга (есть или нет утечки). Двухальтер-

чим величину сигнала через Xν, где ν опре-

нативность гипотезы следует, если постули-

деляет номер шага наблюдения за объектом.

ровать условие ординарности утечек, причем

Объем наблюдаемой выборки Xn={x1,...,xn}

это допущение согласно [7] не является

может быть задан. Если Xν сигнал на ν -м

принципиальным, а имеет цель упростить

шаге наблюдений, это означает, что задано

задачу без потери общности разрабатывае-

число шагов, на которых производятся

мых методов ее решения. Именно такой под-

наблюдения, после чего принимается реше-

ход принят за основу, а его реализация, в си-

ние. При переходе к непрерывному времени

лу универсальности методов теории приня-

это означает, что задано время T наблюдения

тия решений, заключается в интерпретации

сигнала x(t) до принятия решения. Может

специфики гидравлических систем категори-

применяться процедура последовательного

ями математической статистики. Для этого

анализа, при которой объем выборки не за-

рассмотрим общую идеологию метода.

дан, решение может быть принято на любом

Стратегия проверки гипотез, в том чис-

ν -м шаге наблюдений (в любой момент вре-

ле и двухальтернативных, заключается в ми-

мени), но в случае отсутствия достаточных

нимизации функции потерь (выражающей

данных на ν-м шаге, наблюдение может быть

ущерб от принятия того или иного решения),

продолжено. При принятии гипотезы наблю-

ее будем обозначать g(u1,u2,un). Здесь эле-

дение прекращается. Наконец, может иметь

ментами

u U обозначено множество воз-

место процедура проверки гипотез, при ко-

можных решений, формирующих вектор U.

торой число шагов наблюдения не фиксиру-

ется, решение принимается на каждом шаге

U. В работе [1] показано, что U и U(X) раз-

(отказ от принятия решения не допускается),

ные множества. Первое из них является

но на последующих шагах это решение

множеством решений, а второе – правил (ал-

уточняется и может быть заменено другим.

горитмов) принятия решений с использова-

К

проверке статистических

гипотез

нием наблюдений.

сводятся все те задачи, в которых на основе

В общем случае информационной си-

наблюдений необходимо произвести некото-

стеме приходится функционировать при не

рую классификацию, то есть определить, к

полностью известной обстановке. Для опи-

какому из заданных классов распределений

сания

этой неопределенности используется

вероятностей относится закон распределе-

вектор λi(i=1,...,m). Если основные ситуации

ния, описывающий наблюдаемые сигналы

описываются дискретными распределениями

Xν. К таким задачам относится обнаружение

вероятностей, то есть существует конечное

сигналов в шумах или помехах, а следова-

заданное число m ситуаций, то каждой из

тельно, обнаружение объектов, связанных с

них нужно поставить в соответствие некото-

этими сигналами, обнаружение дефектов в

рое решение ui, что равноценно принятию

объектах наблюдения и т.д. Особенностью

гипотезы Hi, связанной с ситуацией λi Нали-

традиционного

функционирования

инфор-

чие неопределенности можно интерпретиро-

мационных систем является то, что наблю-

вать так, что относительно X и λ известно не

даемые сигналы являются физическими, по-

все, а нечто такое, что не дает возможности

скольку поступают от всевозможных прибо-

считать задачу построения информационной

ров: оптических и радиолокаторов, лазерных

системы полностью бессмысленной, но и не

локаторов и т. д. Таким образом, специфика

позволяет воспользоваться байесовым под-

создаваемой информационной системы диа-

ходом со всеми его преимуществами и воз-

гностики утечек заключается в том, что вме-

можностями.

сто физического сигнала используется циф-

Разумеется, при наличии информаци-

ровой, получаемый в результате предвари-

онной неопределенности и функция потерь

тельной обработки манометрической съемки.

будет зависеть от параметра λ, выражающего

Под классической процедурой, соглас-

дефицит информации для определения вели-

но [1], будем понимать принятие решения

чины потерь при принятии конкретного ре-

после наблюдения входных данных, описы-

шения. Совокупность параметров λ образует

ваемых

выборкой

заданного

объема

множество Λ такое, что для u U, λ Λ. Ма-

Xn={x1,...,xn}, либо в случае непрерывного

тематическое ожидание g(u,λ,x) принято

наблюдения сигналов во времени после

называть риском оценки ожидаемых послед-

наблюдения, в общем случае, векторной

ствий принятия решений. Основным поняти-

функции времени [x(t)={x1(t),...,xi(t)} на дан-

ем является апостериорный риск, выражаю-

ном интервале (0,Т). Такая процедура имеет

щий

условное математическое ожидание

смысл, когда принятия решения до оконча-

функции потерь для данного решения, кото-

ния заданного интервала времени не требу-

рый определяется из соотношения Байеса.

ется, а после принятия решения совершают-

Таким образом, в случае информаци-

ся некоторые необратимые операции, так что

онной определенности считаются известны-

изменить решение уже невозможно.

ми плотности вероятностей P(x ׀ λ) и P(λ), и

Задание решающего правила означает

соответствующее правило решения называ-

установление

однозначного соответствия

ется байесовым. Поскольку указанные плот-

u=u(x) определенного для всех возможных

ности вероятностей часто оказываются неиз-

значений x Xи u U. В зависимости от кон-

вестными, имеет смысл понятие степени ин-

кретного способа задания X и U это преобра-

формационной неопределенности. Послед-

зование может быть функционалом или лю-

няя зависит от того, насколько известны све-

бым другим отображением X во множестве

дения о виде и параметрах законов распре-

ВЫПУСК № 1 (9), 2017

ISSN 2307-177X

деления вероятностей для тех ситуаций, све-

туры. В роли параметров αλ

и βλ могут вы-

дений, событий, величин, информация о ко-

ступать интенсивности полезных сигналов и

торых приводит к выполнению системой ее

сопровождающих их помех, время корреля-

функций, а также для сигналов, являющихся

ции, характеристики объектов управления,

носителями этой информации. Формально

параметры аппроксимирующих функций или

эта неопределенность выражается отсутстви-

дифференциальных уравнений, используе-

ем какой-либо информации о распределении

мых при описании процессов λ. Наконец ес-

P(x ׀ λ) или P(λ).

ли X и λ имеют конечное множество значе-

Анализ возможных ситуаций, связан-

ний, то в качестве параметров αλ и βλ могут

ных с ограничениями в априорной информа-

рассматриваться сами эти значения.

ции относительно P(λ) показывает [1], что их

Величину λ в задачах проверки мно-

общей чертой является то обстоятельство,

гоальтернативных

гипотез

представляют

что вместо распределения вероятностей для

скаляром, который может принимать только

параметров λ с плотностью P(λ) можно за-

значения λi (i=1,...,m), где m- число конкури-

дать только класс таких распределений Ω0, к

рующих гипотез, так что каждому λi соответ-

которому относятся все возможные в рамках

ствует гипотеза Hi.

конкретной задачи распределения

P(λ) Ω.

В практическом смысле задача диагно-

Такой класс является исходным описанием

стики утечек представляет наибольший ин-

задачи и характеризует информационную

терес именно для СГС. В первую очередь,

неопределенность тем большую, чем шире

информация о наличии утечки в таких си-

задаваемый класс.

стемах должна поступать в диспетчерские

Относительно статистического описа-

пункты посредством опроса системы по при-

ния по данным наблюдений X в [1] показано,

борам контроля (датчикам давления) и впо-

что в соответствии с фактическим объектом,

следствии, оперативно обрабатываться с це-

информация о нем в функции правдоподо-

лью предотвращения аварий на объектах

бия, может быть определена с той же степе-

управления. Во вторую очередь, задача

нью детализации. То есть аналогично классу

представляет интерес, так как при ее реали-

Ω0 можно ввести класс Ωλ распределений

зации можно отслеживать факты несанкцио-

вероятности (функции правдоподобия) для

нированного отбора целевого продукта. При

наблюдаемых данных X, к которому принад-

этом, разработанный комплекс математиче-

лежат все возможные при данном состоянии

ских моделей позволит определить коорди-

имеющихся знаний распределения вероятно-

нату и объем таких отборов. В состав ком-

стей λ[P(x ׀ λ) Pλ]. Однако наиболее уни-

плекса

указанных

математических моделей

версальным и предпочтительным считается

входят:

соответствующие

математические

параметрический способ [1].

модели

анализа

потокораспределения [11,

Параметрическое описание

является

12], математические модели задачи оценива-

удобным средством для учета обычно име-

ния состояния [8, 9], математические модели

ющихся качественных представлений о ста-

диагностики утечек [6, 10], позволяющие

тистическом поведении наблюдаемых дан-

определить ее местоположения в системе и

ных X и параметров λ в сочетании с отсут-

ее величину. С помощью проверки двухаль-

ствием информации о количественных ха-

тернативной гипотезы станет возможным

рактеристиках, определяющих это описание.

установление факта существования утечки.

Для представления параметрического спосо-

Оценку погрешностей необходимо рассмот-

ба вводятся дополнительные параметры αλ,

реть ав рамках решаемой задачи [13].

βλ (параметры обстановки), которые сосре-

Комплекс моделей реализуется в сле-

дотачивают в себе имеющуюся неопреде-

дующей последовательности. В состав зада-

ленность, не допускающую дальнейшую де-

чи оценивания состояния входят математи-

тализацию и уточнение качественной струк-

ческие модели потокораспределения [11, 12].

В диспетчерском пункте на объекте управ-

данных для распределительных гидравличе-

ления должен быть произведен одновремен-

ских сетей / И.С. Квасов, В.Е. Столяров, С.А.

ный опрос датчиков давления. Результаты

Сазонова // В сборнике: Информационные

манометрической

съемки

фиксируются

в

техноло-гии и системы Материалы III Все-

информационной системе и являются исход-

российской научно-технической конферен-

ными данными для первой численной реали-

ции. - 1999. - С. 113-115.

зации математических моделей задачи оце-

5. Квасов, И.С. Информационные си-

нивания [8, 9]. После этого выполняется вто-

стемы технической диагностики трубопро-

рой опрос системы. Далее проверяется факт

водных сетей / И.С. Квасов, С.А. Сазонова,

существования утечки и задействуются ма-

В.Е. Столяров // В книге: Математическое

тематические модели задачи диагностики

моделирова-ние в естественных и гумани-

утечек [6, 10]. В результате, между двумя

тарных науках Тезисы докладов. Воронеж-

опросами системы выполняется диагностика

ский государственный университет. - 2000. -

утечек и тем самым обеспечивается безопас-

С. 105.

ность функционирования СГС.

6. Николенко, С.Д. Дистанционное об-

При обеспечении безопасности СГС

наружение утечек в гидравлических систе-

необходимо дополнительно комплкксно ре-

мах с целью обеспечения безопасности

шить целый ряд инженерных задач, начиная

функционированияпри своевременном

пре-

от монтажа и укладки в траншеи [14], учи-

дупреждении аварий / С.Д. Николенко, С.А.

тывая так же возможные экологические про-

Сазонова // Научный вестник Воронежского

блемы [15, 16, 17] в случае возникновения

государственного

архитектурно-

аварий и пожаров [18, 19, 20] на объектах

строительного университета. Серия: Инфор-

защиты, и заканчивая потребностью в обес-

мационные технологии в строительных, со-

печении требуемого уровня безопасности

циальных и экономических системах. - 2016.

труда [21, 22, 23, 24], возникающие при осу-

- № 1 (7). - С. 151-153.

ществлении монтажа и в процессе обслужи-

7. Надежность систем энергетики и их

вания функционирующих СГС, относящихся

оборудования: Справочник. В 4 т. Т. 3.

к опасным производственным объектам.

Надеж-ность систем газо- и нефтеснабже-

Библиографический список

ния. Том 3. Под ред. М. Г. Сухарева. - М.:

Недра, 1994. Кн. 1. - 414 с., кн. 2. - 288 с.

1. Репин, В.Г. Статистический

синтез

8. Квасов, И.С. Оценивание

парамет-

при априорной неопределенности и адапта-

ров трубопроводных систем / И.С. Квасов,

ция информационных систем / В.Г. Репин,

В.Е. Столяров, С.А. Сазонова // В сборнике:

Г.П. Тартаковский. - М.: Советское

радио,

Информационные

технологии

и

системы

1977. - 432 с.

Материалы

III

Всероссийской

научно-

2. Жидко,

Е.А. Методология

форми-

технической конференции. - 1999. - С. 112-

рования системы

измерительных шкал

и

113.

норм ин-формационной безопасности объек-

9. Квасов, И.С. Оценивание

парамет-

та защиты / Е.А. Жидко // Вестник Иркут-

ров трубопроводных систем на основе функ-

ского государ-ственного технического уни-

цио-нального

эквивалентирования

/

И.С.

верситета. - 2015. - № 2 (97). - С. 17-22.

Квасов, С.А. Сазонова // В книге: Понтря-

3. Жидко,

Е.А. Логико-вероятностно-

гинские чтения - Х. - 1999. - С. 219.

информационное

моделирование информа-

10. Квасов, И.С. Диагностика утечек в

цион-ной безопасности /

Е.А. Жидко, Л.Г.

трубопроводных

системах при

неплотной

Попова // Вестник Казанского государствен-

манометрической съемке / И.С. Квасов, М.Я.

ного техни-ческого университета им. А.Н.

Панов, С.А. Сазонова // Известия

высших

Туполева. - 2014. - № 4. - С. 136-140.

учебных заведений. Строительство. - 1999. -

4. Квасов,

И.С. Синтез систем сбора

№ 9. - С. 66-70.

ВЫПУСК № 1 (9), 2017

ISSN 2307-177X

11. Сазонова, С.А. Итоги разработок

18. Сазонова, С.А. Численное решение

математических моделей анализа потокорас-

задач в сфере пожарной безопасности / С.А.

пре-деления для систем теплоснабжения /

Сазонова, С.Д. Николенко // Моделирование

С.А. Сазонова // Вестник Воронежского гос-

систем и процессов. - 2016. - Т. 9. - № 4. - С.

ударствен-ного технического университета. -

68-71.

2011. - Т. 7. - № 5. - С. 68-71.

19. Сазонова, С.А. Расчет коэффици-

12. Сазонова, С.А. Особенности фор-

ента теплопотерь на начальной стадии пожа-

мирования структурных графов для систем

ра с применением информационных техно-

тепло-снабжения при анализе потокораспре-

логий / С.А. Сазонова, С.Д. Николенко //

деления в задачах обеспечения безопасности

Моделирова-ние систем и процессов. - 2016.

/ С.А. Сазонова // Научный журнал. Инже-

- Т. 9. - № 4. - С. 63-68.

нерные системы и сооружения. - 2016. - № 1

20. Сазонова, С.А. Обеспечение пожа-

(22). - С. 106-112.

ровзрывобезопасности и безопасности труда

13. Жидко, Е.А. Эмпирические методы

на асфальтобетонных заводах / С.А. Сазоно-

измерения погрешностей при взаимосвязан-

ва, М.В. Манохин, С.Д. Николенко // Моде-

ном развитии внешней и внутренней среды

лирова-ние систем и процессов. - 2016. - Т. 9.

хозяйствующих субъектов / Е.А. Жидко, В.К.

- № 2. - С. 54-57.

Кирья-нов // Инженерные системы и соору-

21. Сазонова, С.А. Влияние запылен-

жения. - 2013. - № 4 (13). - С. 53-60.

ности рабочей зоны операторов смесителей

14. Николенко, С.Д. Обеспечение без-

ас-фальтобетонных заводов на оценку без-

опасности земляных работ с применением

опасности труда / С.А. Сазонова, С.Д. Нико-

расче-тов прикладной механики / С.Д. Нико-

ленко, М.В. Манохин, В.Я. Манохин // Мо-

ленко, С.А. Сазонова // Моделирование си-

делирование систем и процессов. - 2016. - Т.

стем и про-цессов. - 2016. - Т. 9. - № 4. - С.

9. - № 3. - С. 53-56.

47-51.

22. Жидко, Е.А. Теоретические основы

15. Сазонова, С.А. Расчет рассеивания

проектирования и конструкции жидкостных

параметров выброса вредных веществ на

пылеулавливающих устройств / Е.А. Жидко,

про-мышленной площадке и выбор эффек-

В.В. Колотушкин, Э.В. Соловьева // Безопас-

тивных мер по обеспечению безопасности

ность труда в промышленности. - 2004. - №2.

труда / С.А. Сазонова, М.В. Манохин, В.Я.

- С.8-11.

Манохин // Моделирование систем и процес-

23. Сазонова, С.А. Требования к без-

сов. - 2016. - Т. 9. - № 2. - С. 51-54.

опасности труда на асфальтобетонных заво-

16. Манохин, М.В. Защита атмосферы

дах при погрузочно-разгрузочных работах /

от выбросов и оценка условий труда на ас-

С.А. Сазонова, В.Я. Манохин, С.Д. Николен-

фаль-тобетонных заводах / М.В. Манохин,

ко // Моде-лирование систем и процессов. -

В.Я. Манохин, С.А. Сазонова // Моделиро-

2016. - Т. 9. - № 2. - С. 57-60.

вание систем и процессов. - 2016. - Т. 9. - №

24. Сазонова, С.А. Обеспечение без-

3. - С. 42-45.

опасности труда на асфальтобетонных и це-

17. Сазонова, С.А. Особенности обес-

ментобетонных заводах при эксплуатации

печения безопасности труда и охрана окру-

машин и оборудования / С.А. Сазонова, М.В.

жаю-щей среды на асфальтобетонных заво-

Манохин, С.Д. Николенко // Моделирование

дах / С.А. Сазонова, С.Д. Николенко, В.Я.

систем и процессов. - 2016. - Т. 9. - № 2. - С.

Манохин // Моделирование систем и процес-

63-66.

сов. - 2016. - Т. 9. - № 3. - С. 49-52.

Воронежский филиал ФГБОУ ВО Российский экономический

Voronezh branch of REU G. V. Plekhanov

университет им. Г.В. Плеханова, Россия, г. Воронеж,

Lecturer in mathematics A.I. Glushkov,

Преподаватель математики А. И. Глушков,

Russia, Voronezh, E-mail: glushkov_alex_1965@mail.ru

E-mail: glushkov_alex_1965@mail.ru

Student M. A. Berezkina,

Студентка СПО М.А. Березкина,

Student I. I. Sirotina

Студентка СПО И. И. Сиротина

Концепция 4 развития математического

от студентов определѐнной исследователь-

образования в Российской Федерации пред-

ской деятельности, умения выдвигать и про-

полагает, что преподавание математики

верять различные гипотезы, проводить логи-

должно стать прагматичным, быть направ-

ческие построения и делать умозаключения.

ленным на то, чтобы учить людей ориенти-

Данный тип уравнений не изучается в школе,

роваться в жизни, разбираться в нестандарт-

так как для решения таких уравнений потре-

ных ситуациях, обеспечивать свою безопас-

буются знания и умения по теме «Предел

ность в самом широком смысле [1]. В кон-

функции и последовательности». Пределы

цепции математического образования сказа-

функций и последовательностей в средней

но, что студенты, изучающие математику,

школе

изучаются

на

ознакомительном

должны уделять больше времени

решению

уровне. В ССУЗах и ВУЗах в условиях уве-

творческих

и исследовательских задач [1].

личения часов для самостоятельной работы

Это означает, что нужно учить решать не

студентов и сокращения аудиторных занятий

только стандартные, но и находить время

при изучении данной темы основной упор

для изучения алгоритмов решения нестан-

делается на умение находить пределы функ-

дартных задач. В качестве примера исследо-

ций и последовательностей без сочетания

вательской

задачи рассмотрим

уравнения

фундаментальной и прикладной их направ-

вида

(

)

, где

выражение

( ) со-

ленности, что приводит к низкому качеству

держит бесконечное число операций [2].

математических знаний. Поэтому решение

Примерами

таких

уравнений

являются

данного типа уравнений можно изучать как с

учениками старших классов математических

школ,

так и

со

студентами

ВУЗов и

√

√

√

и т. д.

Здесь -

ССУЗов.

Решение уравнения

по-

произвольное число, т. е., является парамет-

дробно рассмотрено в [2]

и [3]. Мы рассмот-

ром.

Решение задач с параметрами требует

рим общий подход к

решению таких урав-

нений, хотя единого алгоритма для таких

©

Глушков А.И., Березкина М.А., Сиротина И.И., 2017

уравнений нет.

Необходимо проводить ис-