Методическое пособие 768

Рис. 1.2. Схема движения частиц

Рассмотрим один частный случай движения жидкости, когда вращение частиц отсутствует. В этом случае x y z 0 . Такое движение называется

безвихревым.

Важность этого частного случая движения определяется тем обстоятельством, что, как показывает опыт, при обтекании тела с плавными обводами вращение частиц наблюдается только в тонкой пристенной области и за кормой. Во всем остальном потоке движение осуществляется практически без вращения частиц. Поэтому безвихревое движение имеет особое значение для теории удобообтекаемых тел (таких, как современные самолеты, ракеты, корабли, проточные части турбомашин). Особенно большое значение имеет теория безвихревого движения для решения задачи о распределении давлений на поверхность обтекаемого тела.

При плоском (двухмерном) течении равенство нулю угловой скорости вращения приводит к выражению

vy vx .x y

Если обратиться к рис. 1.1, то угловая скорость ребра AB при этом будет

v

y и положительна (ребро AB вращаетсяпротив часовой стрелки). Уг-

AB x

v

ловая скорость ребра AD будет x и отрицательна (ребро AD вращает-

AD y

ся по часовой стрелке). Средняя скорость вращения

равная угловой скорости биссектрисы исходного прямого угла, в случае безвихревого движения равна нулю; частица перемещается без вращения, несмотря на наличие деформационного движения. В этом случае поплавок, опущенный в жидкость, будет перемещаться вместе с потоком таким образом, что стрелка-индикатор остается все время параллельной самой себе.

10

Безвихревое циркуляционное течение. Интересным и практически важным примером безвихревого движения является круговое течение, в котором скорость обратно пропорциональна расстоянию от оси вращения частиц

(рис. 1.3):

Хотя линии тока этого течения криволинейны, но поток является безвихревым частицы деформируются, но не вращаются.

Течение, в котором скорость подчиняется закону (1.4), называют безвихревым циркуляционным потоком (иногда – менее точно – плоским вихрем).

Рис. 1.3. Круговое течение

Рассмотрим безвихревое циркуляционное течение с непрерывно убывающим радиусом. Скорость течения и ее градиент вблизи оси вращения должны непрерывно нарастать и в пределе стать бесконечно большими (рис. 1.3). В реальной жидкости это невозможно из-за действия вязкости; опыт показывает, что центральная область вихря приходит во вращение и вращается как твердое тело с угловой скоростью . За пределами этого ядра вихря (заштрихованный круг на рис. 1.3) скорость изменяется по закону (1.4). Примерами подобных потоков являются круговые течения у отверстия стока воды в ванне, атмосферные смерчи и т.д. Возрастание скорости с приближением к оси потока приводит к понижению давления, поэтому свободная поверхность жидкости принимает воронкообразную форму. В свою очередь, и местное понижение давления в жидкости приводит через некоторое время к формированию такого поля скоростей, которое приближается к безвихревому циркуляционному течению.

Важным примером использования в технике безвихревого циркуляционного течения является движение газов в спиральной камере с тангенциальным подводом газа (рис. 1.4). Газовый поток вращается в камере; выход газов осуществляется через окна прорезанные в торцевых стенках камеры вблизи от ее оси. Хотя линии тока являются спиралями, но радиусы их кривизны приближенно можно считать равными радиусу соответствующей окружности r, про-

11

веденному из оси камеры. Распределение скоростей оказывается близким к заданному формулой (1.4). Скорость сильно возрастает с приближением к оси камеры.

Рис. 1.4. Схема движения в спиральной камере

Возрастание скорости с приближением к оси спиральной камеры позволяет использовать ее в качестве циклонной установки для сепарации твердых частиц из газового потока центробежные силы; действующие на частицы при движении с большой скоростью по криволинейным траекториям, отбрасывают их к стенкам камеры.

Другое применение спиральной камеры так называемые рециркуляционные печи, используемые при термической обработке крупных поковок или отливок. Обрабатываемое изделие (садка) размещается у оси камеры. За счет большой скорости газов, обтекающих поверхность садки, происходит интенсивный теплообмен между потоком и поверхностью, что позволяет сократить сроки термообработки.

1.2. Функция тока и потенциал скорости

Уравнение линии тока. Вектор скорости частицы v направлен по касательной к линии тока s. Для плоского течения это показано на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Линия тока при плоском течении

Пусть vx,vy – проекции вектора скорости на координатные оси. Из рис. 1.5 следует, что

12

где ds – элемент дуги линии тока. Составим производные пропорции:

dx ds, dy ds , vx v vy v

откуда

Мы получили уравнение линии тока для плоского течения. В случае трехмерного (пространственного) потока уравнения линии тока выводятся аналогично и имеют вид

1.2.1. Функция тока для двухмерного течения

Дифференциальное уравнение линии тока плоского течения (1.5) может быть представлено в виде

Введем такую «функцию тока» x, y , полный дифференциал которой равен левой части выражения (1.7):

Поскольку на линии тока согласно формуле (1.7) d 0, очевидно, что функция тока сохраняет вдоль линии тока постоянное значение.

Полный дифференциал функции двух переменных имеет вид

d dx dy.

x y

Сравнивая это выражение с формулой (1.8), получаем, что производные функции тока определяются зависимостями

13

Сама функция тока может быть определена интегрированием выражения

(1.9).

Контур поверхности тела, обтекаемого потоком идеальной жидкости, сам является линией тока: в некоторой «критической» точке набегающий поток раздваивается и огибает тело. Следовательно, на обтекаемой поверхности функция тока постоянна. Но можно, наоборот, рассматривать любую линию тока как контур сечения твердого тела. Действительно, если заменить область, ограниченную линией тока твердым телом, то остальные линии тока не изменятся (так как жидкость мы считаем идеальной, трение отсутствует). Они дают картину обтекания такого тела. В этом состоит принцип отвердения линий тока, широко применяемый в гидродинамике идеальной жидкости. Если, например, считать отвердевшими линии тока, показанные на рис. 1.6 по координатным осям x,y, то получится картина течения внутри прямого угла.

Рис. 1.6. Линии тока

1.2.2. Потенциал скорости

Функцией скоростного потенциала или сокращенно – потенциалом скорости x, y,z называется такая функция, частные производные которой равны

составляющим вектора скорости по соответствующим координатным осям:

Полный дифференциал функции равен

d dx dy dz,

d vxdx vydy dzdz.

Сама функция скоростного потенциала определяется интегрированием выражения (1.11).

14

Введение потенциала скорости позволяет заменить векторно еполе скорости течения (для изучения которого нужно знать три компоненты по координатным осям) распределением в пространстве одной скалярной функции , что значительно упрощает исследование. В механике твердого тела вводится аналогичное понятие «потенциала силы»; это скалярная функция, производные от которой равны составляющим силы по координатным осям. Такую же природу имеет в электротехнике понятие потенциала электрического поля: вместо задания в пространстве векторной величины напряженности поля вводится скалярная функция потенциала V , производные от которой по координатным осям равны соответствующим компонентам вектора напряженности.

Придавая функции определенные значения, получим уравнения поверхностей равного потенциала, или эквипотенциальных поверхностей (в случае двухмерного течения – линий равного потенциала, или эквипотенциалей).

Рассмотрим связь потенциала скорости и функции тока. В случае плоского (двухмерного) течения vz 0; дифференциал функции тока выражается формулой (1.8), дифференциал функции скоростного потенциала из равенства (1.11) формулой

d vxdx vydy.

Пусть линия тока const такого течения представлена на рис. 1.7 сплошной линией, эквипотенциаль const– пунктирной линией.

Рис. 1.7. Линия тока

Проведем к этим линиям касательные в точке их пересечения A. Угол наклона прямой AB к оси абсцисс определится согласно уравнению (1.7) выражением

tg 1 dy vy , dx vx

угол наклона прямой AD выражением

15

tg 2 dx vx . dx vy

Очевидно, что tg 1tg 2 1 и угол между касательными равен 90º. Таким образом, функция тока и потенциал скорости взаимно ортого-

нальны; линии тока и эквипотенциали пересекаются всегда под прямым углом. Это позволяет по известным эквипотенциалям строить линии тока и наоборот. Семейства линий x,y const и x,y const, нанесенные на один чертеж,

называются гидродинамической сеткой течения. Пример такой сетки приведен на рис. 1.6.

Сравнивая выражения для составляющих скорости плоского течения vx и

В математике эти условия называются условиями Коши-Римана. При их соблюдении оказывается возможным использовать для исследования функцийи математический аппарат теории функций комплексной переменной, который широко применяется в теории потенциального обтекания геометрически правильных тел.

Угловая скорость вращения жидкой частицы в плоском потоке определяется формулами (1.2). Если течение потенциально, т.е. существует некоторая функция скоростного потенциала , производные которой равны соответствующим компонентам вектора скорости, то использу (1.10) имеем

Равенство нулю угловой скорости вращения свидетельствует о том, что потенциальное течение – безвихревое, т.е. вращение частиц в нем отсутствует. Как будет показано в дальнейшем, у твердых поверхностей, ограничивающих поток, вследствие вязкости всегда формируются зоны вращательных движений, поэтому вблизи стенок теория потенциального обтекания неприменима. Однако для изучения внешнего потока теория потенциала используется с большим успехом.

Применим к потенциальному течению несжимаемой жидкости уравнение неразрывности

16

vx vy vz 0.x y z

Подставляя в него выражения для компонентов скорости через функцию скоростного потенциала (1.10), получаем

Это уравнение известно в математической физике под названием уравнения Лапласа. Таким образом, для нахождения функции , полностью определяющей кинематику потенциального потока, необходимо решить уравнение Лапласа.

Дифференциальное уравнение в частных производных (1.13) имеет бесчисленное множество решений, поэтому должны быть заданы дополнительные (граничные) условия для данной конкретной задачи. К таким условиям относятся задание скорости в удалении от обтекаемого тела v и условие равенства нулю на поверхности тела нормальной составляющей скорости. При этом предполагается, что жидкость обтекает тело без отрывов. У поверхности тела скорость направлена по касательной (имеет место «скольжение» жидкости).

В силу того, что сумма любого числа частных решений уравнения Лапласа является также его решением, оказывается возможным суммировать потенциалы скорости простейших течений для получения картины сложного течения. В этом состоит идея метода наложения потенциальных потоков.

1.3. Вихревое движение жидкости 1.3.1. Интенсивность вихря

Угловая скорость вращения жидкого элемента выражается через производные скорости течения формулами (1.2). Угловой скорости при этом приписывается векторный смысл: по определению, это – вектор, нормальный к плоскости вращения частицы и ориентированный таким образом, что из его конца вращение кажется происходящим против часовой стрелки. Величина этого вектора равна геометрической сумме его компонентов x, y, z :

Как и всякий вектор, вектор угловой скорости имеет некоторое распределение в пространстве – «вихревое поле». Отметим, что в некоторых курсах гидромеханики удвоенную величину угловой скорости вращения называют «вихрем скорости» или «ротором скорости»; в частности, в случае плоского течения

17

rotzv 2 z vy vx .

x y

Точно так же, как была определена линия тока, можно ввести понятие вихревой линии – это такая линия, в каждой точке которой вектор угловой скорости направлен по касательной к ней. Очевидно, вихревая линия представляет собой мгновенную ось вращения частиц жидкости, располагающихся на ней. Дифференциальные уравнения вихревых линий подобны уравнениям линии тока:

x y z

Вихревые линии, проведенные через все точки замкнутого элементарного контура, взятого в потоке (рис. 1.8), образуют вихревую трубку (аналог элементарной струйки, поверхность которой составлена из линий тока). Обозначим площадь нормального сечения вихревой трубки через dF, и будем считать угловую скорость вращения постоянной по ее сечению.

Рис. 1.8. Вихревая трубка

Интенсивностью dJ элементарной вихревой трубки называется удвоенное произведение угловой скорости вращения на площадь сечения

Интенсивность вихревой трубки конечных размеров, для которой нельзя пренебрегать изменением угловой скорости по сечению, равна

J dJ 2 dF 2 срF ,

F F

где ср – средняя величина угловой скорости по сечениюF вихревой трубки.

1.3.2. Циркуляция скорости. Теорема Стокса

Выделим в движущейся жидкости произвольный контур l, в некоторой точке которого вектор скорости равен v, а его проекция на касательную к кон-

18

туру равна vl (рис. 1.9). Произведение этой проекции на длину элемента контура называется элементарной циркуляцией dГ :

dГ vldl vcos v,l dl.

Знак циркуляции, вычисленной по замкнутому контуру, зависит от направления его обхода. Положительным направлением обхода контура считают такое, когда ограниченная им область остается слева. Размерность циркуляции м2 /с.

Понятие циркуляции в гидромеханике аналогично понятию работы в физике, только вместо вектора скорости в работу входит вектор силы. Действительно, работа силы f на элементарном пути dl равна произведению касатель-

ной составляющей силы на путь fldl . Работа на некотором конечном пути получается интегрированием, как и для формулы (1.17).

Рис. 1.9. Произвольный контур

Циркуляция скорости по контуру непосредственно связана с интенсивностью вихревой трубки, натянутой на этот контур. Пусть, например, контур в плоском потоке представляет собой прямоугольник с элементарными сторонами dx,dy площадью dF dxdy (рис. 1.9). Вычислим циркуляцию по этому элементарному контуру. Она складывается из четырех частей

Таким образом, циркуляция оказалась равна интенсивности вихря для вихревой трубки, натянутой на элементарный контур. Для контура, охватыва-

19