Методическое пособие 612

для роботов циклового типа, предназначенных для многократно повторяющихся движений. Заметим, что такой способ можно эффективно использовать и для управления механическими конечностями шагающих роботов, также совершающими циклические движения. В тех случаях, когда экономия энергозатрат оправдывает вычислительные затраты на планирование каждой отдельной операции (например, в космической робототехнике), этот метод может быть использован и для управления крупными манипуляторами, перемещающими большие инерционные нагрузки. Метод был разработан в середине 80-х годов в Институте машиноведения АН СССР [57;

58].

Рассмотрим метод планирования собственных движений на примере манипулятора, имеющего кинематическую схему, приведенную на рис. 4.5. Это двухзвенник, причем массы звеньев сосредоточены на концах жестких стержней. Такую конструкцию называют двойным плоским маятником.

Будем считать, что манипулятор снабжен устройствами статического уравновешивания. Поэтому в уравнении Лагранжа второго рода (§6.1) можно положить U=0; кроме того, Q =0, так как рассматривается собственное движение, и мы получим

Кинетическая энергия К представляет собой квадратичную форму относительно скоростей обобщенных координат:

Коэффициенты aij нетрудно определить (см. § 6.1 ). Они равны в данном случае:

Нетрудно видеть, что эти коэффициенты не зависят от q1 ,. Поэтому и из первого уравнения системы (4.86) мы получим

Физический смысл параметра — это кинетический

момент механизма относительно оси О подвеса манипулятора..

Второе уравнение (4.86) может быть использовано для получения уравнения движения. Для его анализа нужно также принять во внимание, что в свободном движении

раметра. При его изменении меняются также размеры главных полуосей эллипса a, b и углы их наклона.

4.7.3. Планирование движения манипулятора по собственной траектории

В точках 5 и 6, координаты которых нетрудно определить, 0 . При свободном движении изображающая точка на плоскости q1 , q2 должна принадлежать семейству эллипсов

(меняющихся в зависимости от текущего значения q2). С другой стороны, в силу условия (4.88), эта точка должна совпадать в каждый момент времени с теми точками эллипсов, которые соответствуют одному и тому же значению кинетического момента. Последнее определяется при задании начальных условий q10 , q20 , q20 ; теперь условие (4.88) представляет собой еще

одно ограничение, связывающее q2 с текущими значениями q1 , q2 . Нетрудно получить параметрические уравнения траектории изображающей точки в форме [58]

Разбивая пределы интегрирования на интервалы, в каждом из которых q2 сохраняет постоянный знак, можно определить этот интеграл, используя выражения (4.90) и (4.91). Левая часть выражения (4.92), т.е. q1 , задана условиями задачи. Известно также и q1 q1 (T ) q1 (t0 ) , относительно этой величины предположим, что q2 2.

Из соотношения (4.92) можно с использованием численных методов найти . В соответствии с (4.90) и (4.91) по вычисленным значениям определяют начальные значения скоро-

163

стей q10 и q20 , траекторию движения в пространстве обобщенных координат, а также время движения. Последнюю величину можно вычислить по формуле

вий [58]. На рис. 4.7, а показано перемещение, в результате которого конфигурация механизма сохраняется, но с поворотом

рис. 4.7, в показано движение, которое приводит к зеркальному изменению положения манипулятора относительно оси, соединяющей точку подвеса маятника и центра тяжести второго звена.

Полученные траектории существенно отличаются от программных траекторий, найденных традиционными метода-

пространстве сцены. В [58] показано, что движение по собственной траектории на рис. 4.7; б экономичнее в 1,23 раза, чем движение по программной траектории в случае «а» и в 4 раза, чем в случае «б». Рассматриваемый метод в дальнейшем был усовершенствован и распространен на механизмы с тремя и более степенями подвижности [58]. Он позволил создать семейство промышленных роботов, обеспечивающих существенную экономию энергозатрат. Аналогичный подход был положен и в основу разработки исполнительных механизмов с динамическим уравновешиванием звеньев.

164

166

4.5.1.Декомпозиция уравнений динамики манипуляционного механизма……………………….

4.5.2.Декомпозиция управляющих сигна-