Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 549

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

4.Напишите таблицу интегралов.

5.Выведите формулу интегрирования по частям.

6.Каковы частные случаи применения формулы интегрирования по частям?

7.Опишите варианты замены переменной в неопределенном интеграле.

8.Сформулируйте теорему Безу.

9.Что называется корнем кратности k ?

10. Чему обязательно равна степень многочлена Pn x при разложении его на множители?

11.О чем утверждается в теореме о комплексных корнях многочлена с действительными коэффициентами?

12.Сформулируйте теорему о разложении правильной рациональной дроби на простейшие.

13.Каковы простейшие дроби?

14.Опишите универсальную тригонометрическую подстановку.

15.Какая подстановка применяется , если подынтегральная функция нечетна отностительно sin x ?

16.Что называется дробно – линейной подстановкой при интегрировании иррациональных выражений?

17.Каковы варианты тригонометрических подстановок при интегрировании иррациональных выражений?

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить неопределенные интегралы

(Ответ:

ln 3x

9x2

6x 2 C ).

2 ctg2 x

dx (Ответ: 3tg x

2ctg x

C ).

cos2 x

dx (Ответ: x 2

1)2

C ).

ln(

4.	e x5 x 4 dx (Ответ:																1			e x5									C ).
4.	e x5 x 4 dx (Ответ:																5			e x5									C ).
																	5

		1				ln x												2
5.		1				ln x			dx (Ответ:									2				1							ln x 3							C ).
5.					x				dx (Ответ:								3					1							ln x 3							C ).
					x												3
6.				xdx						(Ответ:					1	arcsin											x2					C ).
														2
	2					x4																						2
	2					x4																						2
7.					dx					(Ответ: ln									ln x									1			C ).
					dx

		x 1				ln x
		x 1				ln x								1
8.		xe5x dx (Ответ:												1		5x								1 e5x								C ).
8.		xe5x dx (Ответ:														5x								1 e5x								C ).
												25
9.				xdx			(Ответ: xtgx													ln				cos x								C ).
				xdx

		cos2				x
		cos2				x																				sin 2x x										2			cos2x
10.				x		2 cos2xdx (Ответ:																				sin 2x x										2			cos2x				C ).
10.				x		2 cos2xdx (Ответ:																								2										4			C ).
																														2										4
11.			x arctg xdx (Ответ:																x2							1		arctgx								x		C ).
11.			x arctg xdx (Ответ:																			2						arctgx								2		C ).
																						2														2

12.		arcsin xdx (Ответ: x arcsin x																														1				x2				C ).
13.				x ln 3x						2 dx (Ответ:															x2					2		ln 3x					2			x2		x	C ).
13.				x ln 3x						2 dx (Ответ:																2				9		ln 3x					2			4		3	C ).
																										2				9										4		3
14.		e2x cos3xdx (Ответ:																			e2 x							2 cos3x								3sin 3x						C ).
14.		e2x cos3xdx (Ответ:																														13										C ).
																																13
																	x																arcsin x
15.	1					x2 dx (Ответ:											x					1						x2					arcsin x							C ).
15.	1					x2 dx (Ответ:											2					1						x2				2								C ).
																	2															2
16.		cos ln x dx (Ответ:																	x				cos ln x											sin ln x							C ).
16.		cos ln x dx (Ответ:															2						cos ln x											sin ln x							C ).
																	2
				3x		2		2x			3
17.				3x				2x			3		dx		(Ответ: 3ln																x			ln		x	1			ln	x	1	C ).

				x x			1			x	1
				x x			1			x	1
18.				2x			3			dx (Ответ:																		7								2				C ).

				x		2 3																2 x						2 2							x		2

		19.							x4				2x3							3x 4					dx			(Ответ:											x 2		2x			4	ln			x	1
									x4				2x3							3x 4																			x 2					4
												1						x3																			2						3
												1						x3																			2						3
		2		ln x2					x			1				8				arctg			2x				1					C ).
		3
																		3									3
																		3									3
		20.									x			dx (Ответ:

									x3
									x3			1
1	ln					x	1									1				arctg		2x					1				C ).
																						2x
3
					x 2		x				1							3
					x 2		x				1							3							3
										3x				1																						1			ln x2								3x		1
		21.								3x				1					dx (Ответ: ln											x						1						1					3x		1
		21.						x x				2		1		2			dx (Ответ: ln											x					2							1				2 x2			1
												2				2																			2											2 x2			1

		3	arctg x							C ).
		2	arctg x							C ).
		2
		22.								dx					(Ответ:						1							x	1						1								C ).
										dx											1			ln				x	1						1			arctg x
								x4				1									4			ln				x	1						2			arctg x
								x4				1									4							x	1						2
		23.												dx							(Ответ:										1						2 tg x / 2						1					C ).
														dx																	1		ln				2 tg x / 2						1
								3sin x									4 cos x														5		ln						tg x / 2				2
								3sin x									4 cos x														5								tg x / 2				2
																dx																								tg x / 2			5
		24.														dx										(Ответ:									ln					tg x / 2			5					C ).
		24.																								(Ответ:									ln					tg x / 2			3					C ).
							8					4sin x								7 cos x																				tg x / 2			3
		25.					sin3 xdx (Ответ: cos x																											cos3 x								C ).
		25.					sin3 xdx (Ответ: cos x																														3					C ).
																																					3
		26.					sin3 x cos2 x dx (Ответ:																									cos5 x									cos3 x						C ).
		26.					sin3 x cos2 x dx (Ответ:																												5							3					C ).
																																			5							3
		27.						cos3 x							dx (Ответ:													1							sin x						C ).
		27.						sin 2 x							dx (Ответ:													sin x							sin x						C ).
								sin 2 x																				sin x
		28.															dx											(Ответ:										1		ln1		5ctgx						C ).
																	dx																					1
								sin2 x								5sin x cos x																					5
								sin2 x								5sin x cos x																					5
		29.													dx						(Ответ:																1					C	).

										sin x						cos x 2																		tgx 1

30.	sin 3x sin 5xdx (Ответ:						sin 2x			sin8x		C ).
30.	sin 3x sin 5xdx (Ответ:							4		16		C ).
								4		16

				6		x7			6 x5
			x	6							26 x
31.			x		dx (Ответ: 6						26 x	arctg6 x C ).

		3 x				7		5		3
		3 x		1		7		5		3

	32.					x						dx (Ответ:

		3
			x 1						x		1
			x 1						x		1

6(	x 1 3 3			x 1		4 6 x 1 7 x 1												6 x 1 5						3 x 1					2	)
6(	9				8						7			6					5								4			)
	9				8						7			6					5								4
	33.					dx							(Ответ:								x	2					C ).


				x	2	4x					7	3				3					x2	4x	7
				x		4x					7

				x 2		5										x2			5
	34.			x 2		5		dx (Ответ:								x2			5			ln x					x2		5
	34.			x 2				dx (Ответ:									x					ln x					x2		5
				x 2													x
					x3											49					x 2	3
	35.				x3					dx (Ответ:						49					x 2		49 49						x 2
																			3
			49			x	2
							2

														x		2							2arcsin					x	2
	36.		4x			x2 dx					(Ответ:			x		2			4x			x2						x	2
	36.		4x			x2 dx					(Ответ:			2					4x			x2							2
														2															2

				x 2		1																			x2		1
	37.			x 2		1	dx (Ответ: ln								x					x2		1			x2		1			C
	37.			x 2			dx (Ответ: ln								x					x2		1				x				C
				x 2																						x

C ).

3. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

3.1.Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть	произвольная	функция	y	f	x определена и
непрерывна на отрезке a, b , a < b .
С помощью точек x0		a, x1, x2,..., xn		b разобьѐм отрезок
a, b на n	частичных отрезков		x0 , x1 ,		x1 , x2 ,…, xn 1 , xn

произвольным образом. Обозначим длину частичных отрезков x1 x1 x0 , x2 x2 x1 , ... xn xn xn 1 ,... . В каждом из частичных отрезков выберем произвольную внутреннюю точку

k
xk 1	k	xk	(k=1,…, n ) и вычислим значение функции f(x) в
этих точках:			f (	k )	(k=1,… n ). Умножим найденные значения
функции		f (	k )	на	соответствующие длины отрезков		xk :
f (	k ) xk .
	Составим сумму Sn всех подобных произведений:
					n
					Sn	f ( k ) xk .
					k	1
	Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x)
на данном отрезке.
	Найдем предел интегральной суммы Sn при n						, если

длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю, т.е. max xk 0 . Если такой предел существует, т.е. не зависит от

способа разбиения отрезка на n частей и выбора точек внутри частичных отрезков, то этот предел и называется

определенным	интегралом от				функции			y	f x на отрезке
			b
a, b и обозначается			f	x dx . Таким образом,
			a
			b				n
			f	x dx	lim		f	k	xk .
			a		n	k	1
			a			k	1
Числа a	и b	называются нижним и верхним пределами
интегрирования,		f	x	-подынтегральной функцией, x -
переменной	интегрирования,						отрезок		a, b -областью
(отрезком) интегрирования.
Функция y		f	x ,	для которой существует определѐнный
интеграл на отрезке			a, b , называется интегрируемой на этом

отрезке.

На вопрос о существовании определенного интеграла

дает ответ теорема Коши.
Теорема Коши: Если функция y		f	x непрерывная на
отрезке a, b , то она	интегрируема	на	этом отрезке (без
доказательства).
Таким образом,	непрерывность		функции является

достаточным условием интегрируемости функции. Среди разрывных функций могут быть как интегрируемые, так и не интегрируемые функции.

В частности, можно доказать, что для всякой ограниченной на отрезке a, b функции, имеющей на нѐм

конечное число точек разрыва, существует определѐнный интеграл.

3.2. Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке a, b задана непрерывная функция

y f x 0 . Фигура, ограниченная сверху графиком y f	x ,
снизу осью Ox , с боков двумя вертикальными прямыми x	a

и x b ,	называется криволинейной	трапецией.	Найдѐм
площадь этой фигуры.
Для	этого разобьѐм отрезок	a, b на n	частей

произвольным образом. Обозначим длину частичных отрезков x1 x1 x0 , x2 x2 x1 , ... xn xn xn 1 . В каждом из частичных отрезков выберем произвольную внутреннюю точку

k	xk	k	xk 1	(k=1,…, n ). Вычислим значение функции f(x)
в	этих	точках:		f ( k ) (k=1,… n ). Через точки деления
x1	, x2 ,..., xn 1		проведем прямые, параллельные оси Oy . Каждую

часть криволинейной трапеции, расположенную между вертикальными прямыми, заменим прямоугольником с тем же

самым основанием xk и высотой f(	k ) (k=1,… n ). Площадь
каждого прямоугольника равна f ( k )	xk .

При этом криволинейная трапеция заменяется ступенчатой фигурой (рис. 5), площадь которой равна сумме площадей элементарных прямоугольников:

Sn	f 0 x0 f 1 x1 ... f k xk ... f n 1 xn 1 =

f k xk .

k 1

y f x

					n 1	x
			3

	1	2
a x0 x1		x2	x3	xn 1	b x
O					n
O			Рис.5.
			Рис.5.

x1 , ... xn

xn 1 .

max xk

Площадь Sn ступенчатой фигуры является лишь

приближѐнным значением искомой площади криволинейной трапеции. Очевидно, что это приближение будет тем более точным, чем меньше длина частичных отрезков и больше их число. Способ разбиения отрезка на n частей при n , если длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю, т.е.

0 , называется способом равномерного измельчения.

При равномерном измельчении отрезка a, b . ломаная линия будет теснее примыкать к кривой y f (x) , а точность

приближения площади криволинейной трапеции площадью ступенчатой фигуры будет возрастать.

За точное значение площади криволинейной трапеции

принимают предел, к		которому стремиться Sn при
равномерном измельчении отрезка				a, b	(если такой предел
существует):
			n		b
S lim Sn	lim		f (	k ) xk	f x dx .
n	n	k	1		a
		k	1		a

Таким образом, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции, в чем и состоит геометрический смысл определенного интеграла.

			3.3. Работа переменной силы
	Пусть	материальная точка M		перемещается	под
действием силы F			по оси Ox . Сила F	действует вдоль оси
Ox	и является функцией координаты			x . Найдем работу A
силы F x		по перемещению точки M вдоль оси Ox от точки
x	a до точки x		b . Для этого разобьѐм отрезок a, b		на n

частей произвольным образом. Обозначим длину частичных отрезков x1 x1 x0 , x2 x2 xn В

каждом из частичных отрезков выберем произвольную внутреннюю точку k

xk	k	xk 1	(k=1,…, n ).
Вычислим значение силы в каждой точке				k :
F1 f	1 , F2	f (	2 ), ... Fn f (	n ) .

Если разбиение достаточно мелкое, то сила Fk незначительно меняется на элементарном отрезке xk 1 , xk и может приближенно считаться на этом отрезке постоянной. В

этом	случае		элементарная				работа		на	частичном отрезке
xk 1 , xk		равна		Ak	f ( k )		xk . Тогда работа силы при
перемещении вдоль всего отрезка								a, b	примерно равна сумме
элементарных работ:
						n
				An			f (	k ) xk .
						k 1
	Точное значение работы А определяется как предел An ,
при	n	,	если	измельчение				отрезка		a, b	производится
равномерным образом:
						n
				A	lim		f ( k )		xk	,
					n	k	1
						k	1
										b
что и соответствует определенному интегралу											F x dx .
										a
	Таким		образом,		физический				смысл		определенного

интеграла –это работа переменной силы F x , действующей на материальную точку M на отрезке a, b .

3.4.Свойства определенного интеграла

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определѐнного интеграла:

			b		b
				Af (x)dx A f (x)dx .
			a		a
Доказательство:
b			n				n	b
Af (x)dx	lim		Af (	k ) xk	A lim		f ( k ) xk	A f (x)dx.
a	n	k	1		n	k	1	a
a		k	1			k	1	a

2. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на a, b , то

интегрируема на этом отрезке и сумма данных функций, т.е. определѐнный интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:

			b				b	b
			f ( x)	g( x) dx			f (x)dx	g(x)dx .
			a				a	a
	Доказательство:
	b				n
		f (x)	g(x) dx	lim		f (	k ) g( k )	xk
	a			n	k	1
	a				k	1
		n	n				b	b
lim		f (	k ) xk	g( k )		xk	f (x)dx	g(x)dx .
n	k	1	k 1				a	a
	k	1	k 1				a	a

Свойство 2 распространяется на любое конечное число слагаемых. Следует отметить, что свойства 1 и 2 выделяются, образуя свойство линейности операции интегрирования:

b	b	b
	Af (x) Bg(x) dx A f (x)dx B g(x)dx .
a	a	a
b	a

3.f (x)dx f (x)dx .

Доказательство свойства становится очевидным, если учесть то, что при назначении нового порядка разбиения

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.2 Mб6Методическое пособие 544.pdf
#
30.04.20222.21 Mб3Методическое пособие 545.pdf
#
30.04.20222.21 Mб2Методическое пособие 546.pdf
#
30.04.20222.22 Mб2Методическое пособие 547.pdf
#
30.04.20222.27 Mб7Методическое пособие 548.pdf
#
30.04.20222.28 Mб2Методическое пособие 549.pdf
#
30.04.20221.83 Mб2Методическое пособие 55.doc
#
30.04.2022321.13 Кб2Методическое пособие 55.pdf
#
30.04.20222.29 Mб9Методическое пособие 550.pdf
#
30.04.20222.3 Mб8Методическое пособие 551.pdf
#
30.04.20222.31 Mб2Методическое пособие 552.pdf