Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 476

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Sn < u1

ком запишется в виде u1 u2 u3 u4 ... un 1 . Площадь прямо-

угольников с недостатком запишется в виде u2 u3 u4 ... un .

Исходя из геометрического смысла определенного интеграла и учитывая соотношения между площадями, запишем неравенство

			n
u2	u3	u4	... un < f	x dx < u1		u2 u3	u4	...	un 1	или
			1
				n
			Sn	u1 < f x dx < Sn			un .
				1
	Предположим, что несобственный интеграл							f x dx сходит-
							1
					n
ся.,	т.е.	f	x dx =А. Так	как	f	x dx <А,	то	Sn	u1 <А	или
		1			1

A . Последовательность частичных сумм числового ряда с положительными членами монотонно возрастает и, как показано выше, ограничена величиной u1 A , следовательно, имеет предел,

что означает сходимость числового ряда.

Если несобственный интеграл f x dx расходится, то инте-

		1
	n
грал	f	x dx неограниченно возрастает с ростом n . Поскольку
	1
	n
Sn >	f	x dx + u n , то Sn стремится к бесконечности при неограни-
	1

ченном возрастании n , что соответствует расходимости числового ряда.

Следует отметить, что выбор нижнего предела интегрирования достаточно произволен и связан с исключением из области интегрирования точек разрыва второго рода подынтегральной функции, если таковые имеются.

Пример 9. Исследовать на сходимость гармонический ряд

1 .

n 1 n

Решение: Применим интегральный признак Коши к ряду.

Функция f x

удовлетворяет интегральному признаку сходи-

мости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл

1 x

Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и соответствующий ему гармонический ряд.

2.8. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

u u

...

1 n 1u

...

1 n 1u

, где u

для

n 1

всех n N . Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости, называемый признаком Лейбница.

Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд

1 n 1 un сходится, если члены знакочередующегося ряда моно-

n 1

тонно	убывают	по	абсолютной	величине,	т.е.
			52

u3 ...

... ,

а предел общего члена ряда стремится к

нулю: limun

0 .

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму четного числа

2m членов ряда

1 n 1 un . Имеем

n 1

S2m

u2 u3

...

u2m 1

u2m

...

u2m 1

u2m .

Выражение в каждой скобке, согласно первому условию тео-

ремы,

положительно,

поэтому

сумма

S2m

u1 u2

u4 ...

u2m 1

u2m

возрастает с

возрастанием номера 2m . Частичную сумму S 2m

можно записать

по-другому:

S 2m

...

u2m 2

u2m 1 u2m .

Очевидно,

что

S2m

u1 . Поскольку

последовательность

S2 , S4 , S6 , ..., S2m , ...

возрастает и ограничена с верху, то она имеет

предел lim S2m

S , причем 0

u1 .

Рассмотрим

теперь

частичные

суммы нечетного числа

членов ряда

1 n 1 un . Так как S2m 1

S2m

u2m 1 , то

n 1

lim S2m 1

lim S

u2m 1

lim S2m

S ,

где было использовано, что lim u2m 1

0 .

Так как lim Sn S как при четном n , так и при нечетном n ,

то знакочередующийся ряд сходится, причем 0 S u1 .

Ряды, для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими.

Соотношение 0 S u1 имеет широкое применение, так как позволяет получить удобную оценку ошибки, которую мы до-

пускаем, заменяя		сумму S	знакочередующегося		ряда частичной
суммой	Sn .	N -ный	остаток	знакочередующегося ряда
1 n 1	un 1 un 2	.. представляет		собой также	знакочередую-

щийся ряд, сумма которого по модулю меньше первого члена этого

ряда, т.е. Sn un	1 . Поэтому ошибка должна быть меньше модуля
первого из отброшенных членов.
Пример	10. Вычислить приблизительно сумму ряда

1 n 1	1	.

n 1	n2
Решение: Данный ряд является сходящимся, поскольку вы-

полняются все условия признака Лейбница. Для приближенного вычисления суммы ряда ограничимся шестью первыми членами ряда:

S6	1	1		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0,81	,

		2	2	32	42	52	62		4	9	16	25	36

Посчитав шесть первых членов знакочередующегося ряда, сделаем при приближенном вычислении суммы ряда ошибку, мень-

шую, чем	1	0,02 .

72

2.9. Знакопеременные ряды

Числовой ряд	un называется знакопеременным, если по-
n	1

ложительные и отрицательные члены ряда не обязательно чередуются между собой. Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема . Если сходится числовой ряд, составленный из мо-

дулей членов знакопеременного ряда

...

... ,

то схо-

дится и сам знакопеременный ряд u1

... un ....

Доказательство.

Пусть

дан

знакопеременный

ряд

u1 u2

... un ....

Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов

ряда

un и

n 1

...

n 1

Поскольку 0

для всех n

N , а ряд

n 1

сходится в силу условия теоремы и свойства числовых рядов, то на

основании первой теоремы сравнения сходится и ряд		un	un	.
		n 1
Поскольку исходный знакопеременный ряд	un	представляет
	n 1

собой

разность

двух

сходящихся

рядов

, то на основании свойства числовых

n 1

рядов он сходится.

Следует заметить, что из сходимости числового ряда

un не

n 1

следует сходимость ряда

2.10.Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Знакоперем4енный ряд	un	называется абсолютно сходя-
	n 1
щимся, если ряд, составленный из модулей его членов				un	, схо-
щимся, если ряд, составленный из модулей его членов				un	, схо-
			n 1
дится.
Знакопеременный ряд	un	называется условно сходящим-
	n 1

ся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов

un , расходится.

n 1

Пример 11. Исследовать сходимость ряда	1 n 1	1	.

n 1	n

Решение: Для данного знакочередующегося ряда выполняются условия признака сходимости Лейбница: члены ряда монотонно

убывают по абсолютной величине 1	1	1	...	1	..., предел

	2	3		n

общего члена ряда стремится к нулю. Поэтому, указанный ряд сходится. Однако ряд, составленный из модулей членов данного ря-

да1	1		1	1	...		1	,	расходится как гармонический ряд.
да1	2	3		4	...	n 1 n		,	расходится как гармонический ряд.
	2	3		4		n 1 n
	Пример 12. Исследовать сходимость ряда												1	n 1 2n
	Пример 12. Исследовать сходимость ряда											n 1	1		n!
															n!

						1			n 1 2n
	Решение: Ряд										абсолютно сходится, т. к. ряд , со-
	Решение: Ряд										абсолютно сходится, т. к. ряд , со-
						n 1				n!
						n 1

ставленный из модулей его членов, сходится по признаку Даламбера:

2n 1

l lim

un 1

lim

n 1 !

2 lim

0 <1.

n 1 !

Абсолютно сходящиеся ряды среди знакопеременных рядов занимают особое место, поскольку наследуют основные свойства конечных сумм (переместительность, сочетательность, распределительность).

Приведем в виде теорем основные свойства абсолютно сходящихся рядов.

Теорема Дирихле. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S , то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S , что и исходный ряд .

Теорема о сумме абсолютно сходящихся рядов. Абсолют-

но сходящиеся ряды	un и	vn с суммами S1 и S2 можно
n 1		n 1

почленно складывать. В результате получается абсолютно сходя-

щийся ряд с суммой S1			S2 .
	Теорема о произведении абсолютно сходящихся рядов.
Произведение двух абсолютно сходящихся рядов						un и	vn с
						n 1	n 1
суммами S1		и S2	есть	абсолютно	сходящийся		ряд
u1v1	v1v2	u2v1 ...	u1vn	u2 vn 1 ... un v1	... ,
сумма которого равна S1S2 .
	Для условно сходящихся рядов соответствующие теоремы
не имеют места.
	Теорема Римана. Перестановкой членов условно сходяще-

гося ряда можно получить сходящийся ряд с суммой, равной любому наперед заданному числу, или расходящийся ряд.

Переставляя члены условно сходящегося ряда, можно добиться того, что сумма ряда изменится. Например, ряд

1	1	1	1	... S условно сходится по признаку Лейбница.

	2	3	4

Переставим члены ряда так, что после одного положительного члена будут находиться два отрицательных. Получим ряд


(1		1		)	1		(	1	1		)	1		(	1			1	)		1		...		1	1	1	1		1	...
(1				)			(				)			(					)				...								...
		2			4			3	6			8			5		10			12					2	4	6	8	10
	1		1			1		1		1			1			1	...					1		S .
2			1		2			3	4			5			6		...			2				S .
2					2			3	4			5			6					2

Сумма числового ряда изменилась, поэтому действия над рядами нельзя производить, не убедившись в их абсолютной сходимости.

2.11. Функциональные ряды

Ряд, членами которого являются функции un xот x , назы-

вается функциональным рядами:

un x	u1 x1	u2 x	...	un x ... .
n 1
Функциональный ряд при определенном значении x x0 дает
числовой ряд u1	x0	u2 x0	...	un x0 ... , который может быть

как сходящимся, так и расходящимся.

Если	полученный		числовой	ряд
u1 x0 u2 x0	... un x0	... сходится, то точка x0		называется
точкой сходимости ряда		un	x . Если же ряд расходится при

xx0 , то x0 называется точкой расходимости функционального

ряда.

Областью сходимости функционального ряда называется множество числовых значений аргумента x , при которых функциональный ряд сходится.

В области сходимости функционального ряда сумма ряда яв-

ляется некоторой функцией от x : S S x и определяется стан-

дартным образом как предел последовательности частичных сумм:

S x lim Sn x , где Sn x u1 x u2 x ... un x - частичная

сумма ряда.

Пример 13. Исследовать сходимость функционального ряда

sin nx

n 1 2n

Решение: Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:

			sin x	sin 2x	...		sin nx	... .

			2	22			2n
			2	22			2n
При	любом действительном				x	имеет место неравенство

sin nx	1	. Ряд с общим членом			1	представляет собой сходя-

2n	2n				2n

щуюся геометрическую прогрессию. По признаку сравнения ряд

sin nx

сходится при всех действительных x .

n 1 2n

Функциональный ряд

называется мажорируемым в

n 1

области D , если существует такой сходящийся числовой ряд

n 1

с положительными членами, что для всех x

D выполняется нера-

< an .

венство

un x

Функциональный ряд

называется равномерно схо-

n 1

дящимся в области D , если для любого сколь угодно малого поло-

жительного

найдется такое значение

N ,

что для всех n > N бу-

дет выполняться неравенство

для всех x из области

D .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.7 Mб22Методическое пособие 471.pdf
#
30.04.20221.7 Mб2Методическое пособие 472.pdf
#
30.04.20221.7 Mб3Методическое пособие 473.pdf
#
30.04.20221.72 Mб4Методическое пособие 474.pdf
#
30.04.20221.76 Mб2Методическое пособие 475.pdf
#
30.04.20221.76 Mб2Методическое пособие 476.pdf
#
30.04.20221.76 Mб3Методическое пособие 477.pdf
#
30.04.20221.76 Mб5Методическое пособие 478.pdf
#
30.04.20221.77 Mб5Методическое пособие 479.pdf
#
30.04.2022186.88 Кб3Методическое пособие 48.doc
#
30.04.2022308.47 Кб3Методическое пособие 48.pdf


(1		1		)	1		(	1	1		)	1		(	1			1	)		1		...		1	1	1	1		1	...
(1				)			(				)			(					)				...								...
		2			4			3	6			8			5		10			12					2	4	6	8	10
	1		1			1		1		1			1			1	...					1		S .
2			1		2			3	4			5			6		...			2				S .
2					2			3	4			5			6					2


(1		1		)	1		(	1	1		)	1		(	1			1	)		1		...		1	1	1	1		1	...
(1				)			(				)			(					)				...								...
		2			4			3	6			8			5		10			12					2	4	6	8	10
	1		1			1		1		1			1			1	...					1		S .
2			1		2			3	4			5			6		...			2				S .
2					2			3	4			5			6					2


(1		1		)	1		(	1	1		)	1		(	1			1	)		1		...		1	1	1	1		1	...
(1				)			(				)			(					)				...								...
		2			4			3	6			8			5		10			12					2	4	6	8	10
	1		1			1		1		1			1			1	...					1		S .
2			1		2			3	4			5			6		...			2				S .
2					2			3	4			5			6					2