Методическое пособие 406

полной механической энергии:

(Ek Eп )2 (Ek Eп )1 A

Разность механических энергий в начальном и

конечном состояниях равна работе, которую

совершает двигатель.

m 22

mgh2

A ,

2

0

m 2

mgh

N

2

t

Для нахождения конечной

скорости

2

воспользуемся уравнениями

h 2

gh)

3

10002

3

m(2

t

3

10

(2 602

9,8 10 )

N

518 кВт.

t

60

m 1000 кг ,

если длина разбега l 300 м ,

взлетная скорость 1 30 м / с ,

коэффициент сопротивления 0,03.

Дано:

СИ:

Решение:

m 1000 кг

При разбеге самолета необходимо совершить работу,

1 30 м / с

часть которой пойдет

на увеличение кинетической

энергии самолета, а другая часть – на преодоление сил

l 300 м

сопротивления.

0,03

A A Ек А'сопрот

N ?

Работа, совершаемая силами сопротивления, равна:

Асопрот (F

r ) F r cos ,

где модуль перемещения совпадает с длиной разбега, угол между силой

сопротивления и вектором перемещения равен , сила сопротивления

равна:

Fсопрот N mg .

Тогда работа, совершаемая силами сопротивления равна:

Aсопрот Fсопрот l cos mgl .

29

A

m 2

mgl .

1

2

at

2

s

2

at

или a t ,

откуда

l s

t2

t

2

2t

t

2l

N (

m 2

mgl )

2

2l

(

1000 900

0,03 1000 9,8 300)

30

26910Вт 26,91 кВт.

2

600

Ответ: N 26,91 кВт.

2.30. Парашютист массой

m 80 кг

совершает затяжной прыжок и через

t 14 с

имеет

скорость

60 м / с .

Считая движение парашютиста

равноускоренным, найти работу по преодолению сопротивления воздуха.

Дано:

СИ:

Решение:

m 80 кг

Работа силы сопротивления, при условии, что сила

60 м / с

постоянна, определяется выражением:

Aсопр

Fсопр s cos Fсопр s ,

t 14 с

где угол - угол между направлениями действия

Асопр ?

силы и

перемещения, cos 1,

т.к. сила сопротивления воздуха и

перемещение направлены вдоль одной прямой противоположно друг другу.

Работа по преодолению сопротивления воздуха равна:

30

A'сопр Aсопр Fсопр s .

(1)

Для равноускоренного движения справедливы формулы:

at

2

s

t

0

2

at

0

s

t

2

Запишем II закон Ньютона в векторной форме:

ma

mg

Fсопр ,

в скалярной форме:

F mg ma mg m

.

(2)

сопр

t

Подставив (2) в формулу (1), получим:

A m(g )s m t

gt

m

(gt )

сопр

t

2

t

2

80 60

(9,8 14 60) 185,3 кДж.

2

Ответ:

Aсопр 185,3 кДж.

колеса равна

m 50

кг , диаметр колеса d 120 см ,

коэффициент трения

между колодкой и ободом колеса 0,5 .

Дано:

СИ:

Решение:

d 120 см

1,2 м

Момент сил, вызывающих торможение колеса равен:

n 30 об / с

M Fт R

t 20 c

Сила трения определяется прижимающей силой и

m 50 кг

коэффициентом трения:

Fт F

0,5

M

F ?

F

Т.о., прижимающая сила равна:

.

(1)

R

Воспользуемся уравнением моментов в скалярном виде, где изменение

момента импульса во времени определяется изменением угловой скорости

31

J mR 2

.

2

F

J

0

mR 2

2 n

0

mR n

0

md n

0

50 1,2 3,14 30

240 ,2 Н .

R t

2R t

t

2 t

2 0,5 20

цилиндрическую

струю

воздуха

того

же

диаметра, равен d 8м .

Определите мощность мотора, если вертолет неподвижен?

Дано:

СИ:

Решение:

m 3 103 кг

На вертолет, неподвижно висящий над землей,

d 8м

действуют сала тяжести и подъемная сила:

N ?

ma F

mg

Поскольку ускорение вертолета равно нулю, получаем:

F mg .

(1)

Согласно III закону Ньютона, подъемная сила, действующая на вертолет

равна по модулю и противоположна по направлению силе, действующей на

воздух со стороны винта. Эта сила равна изменению импульса воздуха:

F

d

(M возд ) .

dt

Масса перекачиваемого за время t

винтом воздуха равна:

M возд

воздV

d

2

возд

t .

4

Т.о., модуль подъемной силы равен:

F

d

(M возд )

M

возд

d 2

2 t

d 2 2

возд

возд

.

dt

t

4

t

4

Плотность воздуха при нормальных условиях равна отношению молярной

массы воздуха к объему, занимаемому одним молем газа:

32

m

29

1,3 кг / м3 .

V1моля

22,4

mg

d 2

2

возд

.

4

Отсюда возд

4mg

.

d

2

M

возд

2

d

2

2

A

возд

t

возд

2

4

возд

2

d

2t 4mg

4mg

d 2t

m3 g 3

t

m3 g 3

.

4

d 2

2 d 2

d 2

d 2

N

m3 g 3

33 109

9,83

312 103

Вт 312 кВт.

d

2

1,3 3,14

8

2

Ответ: N 312 кВт.

2.33.

Несущий

винт вертолета МИ-8

имеет диаметр d 21,3 м , массу

m 705 кг

и

состоит

из

5

лопастей

шириной b 0,4 м . Для подъема

Дано:

СИ:

Решение:

m 705 кг

Воспользуемся

законом сохранения

момента

d 21,3

м

импульса:

b 0,4

м

Lвинта Lпули

0 .

n 3 об / с

Для

ответа

на

поставленный вопрос

найдем

максимальную скорость вращения винта, при

mпули 8 г

0,008 кг

которой остановка осуществима. Будем считать,

33

800 м / с

что пуля летела навстречу движению винта, в

лопасти

лопасти

m

R

2

(R2 b2 )

R2

J 5 J

0

5 (J1

) m(

)

5

12

4

2

винта

mпули

пули

R

0,008 800

10,65

0,003 рад / с .

J

26663

,7

Дано:

СИ:

Решение:

J 3,0г м 2

3 10 3 кг м2

По

определению

угловая

скорость

l 12cм

0,12м

определяется выражением:

d

m 0,36кг

dt .

(1)

360 рад / с

На

рисунке видно,

что

угловое

30

приращение d равно:

прецессии ?

dL

d

,

L sin

где L J - момент импульса гироскопа.

На рисунке красным показано начальное

положение

вектора

L ,

его

конечное

положение выделено черным.

Используем уравнение моментов:

dL M .

dt

Отсюда модуль вектора dL - приращения

момента импульса за время dt равен:

dL Mdt mgl sin dt .

На рисунке вектор dL обозначен зеленым цветом.

Подставляя найденные величины в (1), получим:

прец

d

mgl sin dt

mgl

0,36 9,8 0,12

0,4 рад / с .

J sin dt

J

dt

3 10 3

360

Ответ: прец

0,4 рад / с .

Следует обратить внимание на разность

между

частотой прецессии и

Дано:

СИ:

Решение:

R 5см

0,05м

Воспользуемся формулой, полученной в

l 10cм

0,1м

предыдущей задаче. При этом учтем, что на

a 9м / с2

гироскоп действует не только сила тяжести, но

35

nпрецесс 0,5 об / с

и сила инерции, возникающая за счет

30

движения ракеты с ускорением a .

F

ma .

?

инерц

Поэтому в расчетную формулу войдет

эффективное ускорение aэфф g a .

m(g a)l

J прецесс

Момент инерции гироскопа относительно оси

симметрии диска равен:

J

mR 2

,

2

тогда:

2m(g a)l

2(g a)l

(g a)l

(9,8 9) 0,1

479 рад / с.

R2 2 n

mR 2

прецесс

R2 n

0,052 3,14 0,5

прецесс

прецесс

Ответ: 479 рад / с .

2.36. Гироскоп,

масса которого m 0,9 кг

и момент инерции относительно

собственной

оси

J 4,5

г м2 ,

вращается с

частотой 400рад/ с .

Расстояние между

точкой

опоры

и центром

масс

l 10 cм . Гироскоп

ускорением a 2м / с2 .

Найти модуль и

направление

вектора прецесс -

угловой скорости прецессии гироскопа.

Дано:

СИ:

Решение:

J 4,5 г м2

4,5 10 3 кг м2

l 10 cм

0,1 м

m 0,9 кг

400рад/ с

a 2м / с2

прецесс ?

?

Воспользуемся формулой, полученной в задаче 2.34. При этом учтем, что

на гироскоп

действует

не только сила

тяжести, но

и сила инерции,

возникающая

за счет движения ракеты

с ускорением

a . Эффективное

ускорение в данном случае равно g

a .

Модуль эффективного ускорения согласно геометрическому рисунку

равен:

36

a

эфф

g 2

a2

ml

g 2 a2

0,9 0,1

9,82 22

прецесс

0,5 рад/ с

J

4,5 10 3 400

arctg

a

arctg

2

11,5 .

g

9,8

Ответ: прецесс 0,5

рад/ с , 11,5 .

R 0,2

м и массой

m 1200 г ,

если в течение t 6 c угловая скорость

доводится до 150

с 1 ? Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

СИ:

Решение:

m 1,2

кг

При вращательном движении работа определяется

t 6 c

следующим образом:

R 0,2

м

A M d M d M

150

с 1

0

0

Тогда мощность, развиваемая двигатель, может быть

N ?

вычислена через совершенную им работу:

N

A

M

(1)

t

t

Момент сил найдем с помощью основного уравнения динамики

вращательного движения:

M J

Момент инерции гироскопа, имеющего форму диска, равен:

J

mR 2

.

2

Тогда

M

mR 2

2

Угловое ускорение найдем с помощью уравнения кинематики для

вращательного равноускоренного движения:

0 t , следовательно

.

t

Поскольку движение неравномерное, угловое перемещение, совершенное

за указанное время, необходимо находить следующим образом:

37

t

t

t

t

2

t

2

t

(t)dt ( 0

t)dt tdt

2

t

2

0

0

0

2

N

mR 2

t

1

mR 2 2

1,2 0,22 150

2

45 Вт .

2

t

2

t

4t

4 6

Ответ:

N 45 Вт .

2.38. Найдите момент M гироскопических сил, действующих на вал со

стороны пропеллера, если самолет, имея скорость

u 300 км / ч ,

делает

поворот радиуса

R 100

м . Пропеллер с моментом инерции

J 7

кг м2

вращается с частотой n 1000 об / мин .

Дано:

СИ:

Решение:

u 300 км / ч

83,3

м / с

Гироскопическими

силами

называются

R 100 м

силы,

с

которыми

ось

гироскопа

действует

на

подставку. Момент

J 7

кг м2

гироскопических сил

равен векторному

n 1000 об / мин

16,7

об / с

произведению

угловой

скорости

M ?

поворота тела и момента импульса,

которым обладает тело в результате собственного вращения: